数学教学中问题链创设的实践与思考

【摘 要】数学课堂教学的过程是提出问题、解决问题、提出新问题、解决新问题的过程。可见问题的提出与解决对数学教学至关重要。数学问题链是指教师在课外预设，并在课堂上以多种方式呈现给学生的、有序的主干问题序列，它既为学生提供了数学学习的骨架，又为学生发展高水平的思维提供了可能性。数学问题链有助于数学知识的生成，促进学生对数学的深刻理解。一个有效的问题链的创设需体现整体性、思维性、主体性和发展性。

【关键词】问题链;整体性;思维性;主体性;发展性

【作者简介】何睦，浙江师范大学教师教育学院博士研究生，一级教师，张家港市学术带头人，新青年数学教师工作室成员，张家港市罗建宇名师工作室成员，主要研究方向为数学课程与教学研究。

数学家哈尔莫斯曾指出，问题是数学的心脏。数学的发展过程可以看成是以下模式：问题的提出→问题的解决→新的问题的提出→新的问题的解决……可见问题的提出与解决对于数学研究至关重要。数学课堂教学是关于数学的教学，因此，数学课堂教学的过程也可以认为是提出问题、解决问题、提出新问题、解决新问题的过程。数学新课程改革倡导“问题—建立模型—解释、应用与拓展”的课程模式。可见，课程改革将问题作为数学知识产生的源头，是课堂教学的起点。以问题链的形式开展数学教学无疑有助于数学知识的生成，促进学生对数学的深刻理解。下面笔者结合数学问题链的教学实践，谈谈自己的一些研究和思考。

一、问题链的概念与内涵

数学核心素养是当前数学教育课程改革的核心要素与主题，而问题链教学正是开展深度学习的重要途径，同时也为核心素养的落地提供了现实载体[1]。鉴于此，越来越多的研究者关注问题链教学，他们有的从理论层面探讨问题链教学与思维的关联[2]与教学价值[3]，也有从实践层面探讨问题链教学设计与实施过程[4]。近年来，以浙江师范大学唐恒钧、张维忠教授领衔的研究团队在系统研究“问题”与“问题解决”的基础上，提出了“问题链”的基本概念。他们认为，数学问题链是指教师在课外预设，并在课堂上以多种方式呈现给学生的、有序的主干问题序列，它既为学生提供了数学学习的骨架，又为学生发展高水平的思维提供了可能性[5]。其内涵主要包括以下五个方面：第一，问题链是由主干问题组成的;第二，问题链中的问题是有序的;第三，问题链是在课外预设的，但并非线性的、僵化的;第四，问题链教学倡导用主干问题驱动学生思考，为学生提供冷静思考的时间和充分表达的机会;第五，尽管问题链中的问题以教师课外预设为主，课堂上却是在师生交互作用下得以呈现的。

二、数学教学中问题链创设的教学实践

不管是数学概念的形成还是数学规律的建构，都离不开问题的引导。可以说，问题是数学课堂教学的重要组织形式。现以笔者执教的一节市级公开课“函数的零点与方程的解”为例，谈谈笔者的做法和思考。

“函数的零点与方程的解”是人教A版高中数学必修第一册第四章第五节的内容。本节内容要求学生了解函数的零点与方程解的关系;结合具体连续函数及其图象的特点，了解函数零点存在定理。本节课的难点在于函数零点存在定理的导出，教学过程以“概念—定理—应用”的线索展开。因此，笔者将教学设计分解为函数零点的概念、函数零点存在定理的导出、函数零点存在定理的应用。

环节一：通过问题链引出函数零点的概念

问题1：下列方程有实数根吗？

（1）x2-2x-3=0;（2）x3+x-2=0;（3）lnx+2x-6=0。

人类用智慧架设的无数座从已知通向未知的金桥中，方程的求解是其中最璀璨的一座。 数学情境的引入有两种方式：一是从现实情境出发，引导学生从现实情境逐步抽象数学问题;二是从数学情境出发。本节课主要探讨函数零点与方程的解的关系，因此从数学情境（解方程）入手，能引发学生更深层次的思考。

问题2：二次函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）与一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有何联系？

（1）方程x2-2x-3=0的解为_________，函数y=x2-2x-3的图象与x轴有_________个交点，坐标为_________。

（2）方程x2-2x+1=0的解为_________，函数y=x2-2x+1的图象与x轴有_________个交点，坐标为_________。

（3）方程x2-2x+3=0的解为_________，函数y=x2-2x+3的圖象与x轴有_________个交点，坐标为_________。

问题3：根据问题2的研究，你有什么发现？

教师以学生熟悉的二次函数与一元二次方程引入，引导学生观察、发现一元二次方程的根与二次函数与x轴交点的横坐标相等这一事实，自然引出本节课的基本概念：函数的零点。

环节二：函数零点存在定理的导出

问题4：对于二次函数f（x）=x2-2x-3，观察它的图象，发现它在区间[2，4]上有零点，这时，函数图象与x轴有什么关系？在区间[-2，0]上是否也有这种关系？

问题5：图1的（1）（2）（3）分别为函数y=f（x）在三个不同范围的图象，能否仅依据其中一个图象，得出函数y=f（x）在某个区间只有一个零点的判断？为什么？

问题6：从二次函数图象直观地看，图象只要穿过x轴函数就有零点（不穿过也不一定没有零点），这是从图形上来看的，但是图形不一定准确，需要利用严格的数学推理得出相应的结论，那么如何从数学上更准确地描述穿过x轴？

问题4仍然从学生熟悉的二次函数入手研究连续函数在给定区间上存在零点的几何特征：图象穿过x轴。 但是当自变量取值范围不同时，学生有可能会因为图象呈现出的细节不同会导致错误的判断。 问题5的设置意在引导学生由“形”一步步的转向“数”的探索与研究，一个“大致”的函数图象有时不足以说明零点问题。 因此，必须将图形特征与代数特征相结合，以进一步说明研究函数零点存在代数特征（函数零点存在定理）的必要性。 问题6则是在此基础上的进一步追问。

问题7：观察下面的函数图象（如图2），并完成下列思考。

① 函数记为y=f（x），在[-2，-1]是否有零点？在[1，2]呢？为什么？

② 任取一个区间[a，b][-2，-1]，当f（a），f（b）的值满足什么条件时，函数y=f（x）在（a，b）内一定有零点？

③ 若f（a）f（b）<0，则y=f（x）在区间（a，b）上一定有零点吗？

问题8：由问题7的探究，你能给出函数在给定区间存在零点的代数特征吗？

教师再一次由函数的图象，逐步引导学生导出函数零点存在的代数表征。在该过程中，由“形”到“数”是学生认知的一大难点，要给足学生冷静思考的时间与充分表达的机会。

问题9：辨析下列命题。

① 如果函数y=f（x）的图象与x轴有公共点，则函数y=f（x）是否一定存在零点？

② 如果函数y=f（x）在区间[a，b]上的图象是一条不间断的曲线，且f（a）f（b）<0，那么函数y=f（x）在（a，b）上是否有唯一零点？

③ 如果函数y=f（x）在区间[a，b]上的图象是一条不间断的曲线，且是单调函数，f（a）f（b）<0，那么函数y=f（x）在（a，b）上是否有唯一零点？

④ 如果函数y=f（x）在区间[a，b]上的图象是一条不间断的曲线，函数y=f（x）在区间（a，b）有零点，那么f（a）f（b）<0是否成立？

⑤ 如果函数y=f（x）在区间[a，b]上的图象是一条不间断的曲线，函数y=f（x）在区间（a，b）有唯一零点，那么f（a）f（b）<0是否成立？

学生在经历了问题7和问题8后得到的定理内容往往不够完整，学生建构的定理可能为“函数y=f（x）在区间[a，b]上满足f（a）f（b）<0，则函数y=f（x）在区间（a，b）上有一个零点”等，往往会忽略“连续不间断”“存在零点”这两个关键要素。因此，通过对定理的辨析，教师不断地引导学生分析函数零点存在定理的本质属性，排除非本质属性对定理认知的干扰。

环节三：函数零点存在定理的应用

问题10：已知函数y=f（x）的图象是一条连续不断的曲线，且有如下对应值表（见表1）。

① 函数y=f（x）在哪几个区间内一定有零点？为什么？

② 能判断出有几个零点吗？为什么？

问题11：求方程lnx+2x-6=0的实数解的个数。

思考1 为什么由f（2）·f（3）<0还不能说明函数只有一个零点？

思考2 能通过计算，进一步缩小函数零点所在的范围吗？你能提出什么问题？

问题10与问题11是对函数零点存在定理的直接应用，意在巩固深化学生对定理内容的认识，进一步强调定理使用的条件与关键。 问题10的函数以列表法形式给出，引导学生观察数据特征进而做出判断;问题11的函数则以解析式形式给出，从数与形两个角度帮助学生理解解题方法;思考2则为下一节课利用二分法求方程的近似解埋下伏笔。

三、数学教学中问题链创设的有效性思考

基于“函数的零点与方程的解”的教学，笔者对问题链创设的教学实践做以下思考。

（一）问题链的创设需体现整体性

数学课堂教学一般会以某条固定的结构线索展开，如本课例是按照“概念—定理—应用”的线索开展的。因此，在开展问题链设计时，教师必须整体把握教学内容的结构线索，从整体视角对教学内容进行解构与设计。具体来说，要熟知本节内容的教学目标、教学重点与难点，本节内容在整节或整章中的地位和作用，本节内容在整个数学分支学科中的价值，以及通过本节课学生能获得什么样的基本知识、基本技能、基本数学思想方法、基本数学活动经验等。只有通过对教学内容的整体理解和把握，才能在问题链的设计中得以体现。因此，问题链的设计首先应指向本节课的教学主题与教学内容，在对本节课结构线索解构的基础上进行分解与划分。同时还应兼顾本节课在本章或本学科分支中的地位与价值，以及通过本节课如何培养和发展学生的数学核心素养，以实现教学整体性的同时真正实现数学教学的育人价值。

（二）问题链的创设需体现思维性

苏联学者加里宁曾說，数学是思维的体操。数学学习要以学生一定的思维发展水平为前提，反过来，学习数学又能在很大程度上促进学生思维的发展。因此，在问题链设计时，教师必须考虑学生的认知水平与思维水平，以体现思维性。具体来说，问题链的创设不能因低估学生认知能力与思维发展的水平而降低教学要求，如此不仅不能产生合适的课堂认知冲突而使课堂枯燥无味，也不利于学生数学思维能力的发展。与此同时，问题链的创设也不能难度跨度过大，这样不仅不能激发学生的求知欲望，还会加重学生的学业负担，从而导致学生厌恶数学的可能性。由此看来，问题链的创设要有思维的递进，利用问题链给学生搭建合适的思维台阶，在学生的“思维发展区”的范围内设置合理、适当的问题链。在向学生展示问题链时，教师要根据学生的认知水平和思维能力做出精心的设计，既要呈现数学对象的本质属性，还应排除数学对象非本质属性对学生认知的干扰。

（三）问题链的创设需体现主体性

问题链光靠教师的设计还不足以保证问题链创设的有效性，学生亲历问题链的生成过程才是关键，因此问题链的创设需正确处理预设与生成的关系，需体现学生的主体性。学生的主体性主要表现在以下两个方面。

第一，问题链的生成必须有学生积极的思维参与。当前的数学课堂教学，有些数学活动实际上只是学生机械地执行活动，很多时候学生只是被动地接受教师的指令，没有学生主体性的体现。课堂教学看似有生成，但只是教师的生成，并非是学生的

生成。问题链的创设要多给学生留足冷静思考的时机和空间，引导学生多用规范的数学语言表达。

第二，问题链的生成必须根据学生课堂的实际情况进行调整。问题链的预设只是教师根据自身教育教学的实践经验开展的设计。但同样的教学内容，不同的教学对象、教学环境抑或是引导语都会有不同的生成。因此，教师必须随时根据学生在课堂中的实际应答做出相应的调整。教师要在课堂中不断地磨炼自己并形成教学智慧，从而更好地应对课堂中出现的预设与生成的偏差。

（四）问题链的创设需体现发展性

教育部于2013年启动了普通高中课程修订工作，于2018年初正式发布了各科的普通高中课程标准的修订版，这一次的修订进一步凝练了学科核心素养、更新了学科的教学内容、研制了学科的学业质量标准、进一步增强了标准的指导性。课程标准明确提出数学教学的总目标之一是逐步学会用数学的眼光观察世界，发展数学抽象、直观想象素养;用数学的思维分析世界，发展逻辑推理、数学运算素养;用数学的语言表达世界，发展数学建模、数据分析素养，增强创新意识和数学应用能力[6]。可见数学核心素养的培养应成为数学教师进行教学设计的根本出发点，数学教学必须直接指向学生数学核心素养的提升。因此，问题链的创设必须体现发展性，即要兼顾学生数学核心素养的发展和关键能力的提升。教师应充分开展对课程标准的研究，深入把握培养学生的哪些数学核心素养和培养到什么程度等问题，深刻理解课程标准中数学核心素养的内涵与数学素养水平的划分标准，把握对学生的总体期望，将课程标准中的核心素养的内涵和水平层次具化为问题链设计的每个数学活动，以更好地实现学科育人的总目标。

参考文献：

[1]唐恒钧，张维忠，陈碧芬.基于深度理解的问题链教学[J].教育发展研究，2020（4）：53-57.

[2]黄荣光.问题链方法与数学思维[J].数学教育学报，2003（2）：35-37.

[3]殷堰工.试论问题链在数学教学中的作用[J].中学数学月刊，2008（10）：1-4.

[4]唐恒钧，黄辉.数学问题链教学设计与实施的三个关键[J].中学数学，2020（5）：78-80.

[5]唐恒钧，张维忠.数学问题链教学的理论与实践[M].上海：華东师范大学出版社，2021.

[6]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版）[M].北京：人民教育出版社，2018.

（责任编辑：陆顺演）