纵横思维有效提高

[摘  要] 小学数学中的“植树问题”是个难而不难的问题。如何从思维发展的角度来进行植树问题的教学，笔者根据多年教学实践和课标学习，构思改“横向发展的一题多解”为“纵横思维，有效提高”，让不同程度的学生都有所收获，从而实现全面提高。

[关键词] 思维发展;植树问题;一题多解;纵横思维

小学数学中的“植树问题”是个难而不难的问题。说不难，是因为其只要求学生理解并掌握在一条直线上“两端要栽”的情况下株数的问题和相应关系;说难，是因为现实生活中还存在各种各样的植树问题和类似的“植树问题”。传统教学中，教师往往采取一题多解或比较分析来解决各种植树问题。数学课程标准明确指出：“数学教育作为促进学生全面发展教育的重要组成部分，一方面要使学生掌握现代生活和学习中所需要的数学知识与技能，另一方面要充分发挥数学在培养人的科学推理和创新思维方面的功能。”怎样才能更好地从思维发展的角度来进行植树问题的教学呢？笔者根据多年教学实践和课标学习，构思为改“横向发展的一题多解”为“纵横思维，有效提高”，效果较好。

一、纵横思维，有效提高的教学过程

1. 巧妙引入，激发兴趣

进入植树问题前，可根据实际情况，将灵活多样的问题巧妙引入教学。比如以“每年3月12日叫什么节日”的问题来引入，学生都会异口同声地回答是植树节，并且能说出节日的意义和自己参加植树的感受等。此时，教师不必过多展开，可以简洁的语言引入具体的植树问题，比如“在一定长度的道路边按一定株距应栽多少株树”等。一石激起千层浪，学生可能有不同的思维，教师适时板书教学内容——植树问题。

2. 层层推进，指导答题

可以事先准备好小黑板或课件，将教材例题展示出来。注意，为了引导学生集中精神解决问题，最好不让学生翻看教材。

同学们在全长100m的小路一边植树，每隔5m栽一棵（两端要栽）。一共要栽多少棵树？

相信学生很快就会把题目中的已知条件整理为100m、每隔5m栽一棵，求解问题为“一共要栽多少棵树”。

也许那些读题快却不够仔细的学生会说：这还不简单，不就是总长度100m÷每隔5m栽一棵=20棵吗？

此时，教师不必指责学生，应采取循循善诱的方式，引导全班学生逐步对此解题思路进行验证，从而突破难点，因为这正是小学生最容易犯的错误！注意这里要明确植树问题的三个名词：总长度100m为“全长”，每隔5m栽一棵为“株距”，一共栽的棵数为“株数”。

指导学生再读题目，自然会发现括号里的“两端要栽”这个条件不可忽略，接着指导学生画出示意图（图1），重点和难点是弄清楚“两端要栽”的准确含义，最后指导学生规范而准确地解答题目。如果有条件，则可步步推进展示课件，指导答题。

结果：100÷5+1=21（棵）。

3. 总结规律，体验运用

在指导学生解答此题后，再引导学生打开教材，思考教材中的其他问题，相信学生都能准确回答并进行相应的课堂练习。

有了前面的教学环节，教师一定要及时引导学生总结出植树问题的一般规律：“全长÷株距+1（补出一端）=株数”，重点强调因为“两端要栽”而加1。然后布置课外实践活动，让学生走出教室观察体验植树问题，引导学生在课外实践中发现与植树类似的问题，思考解决办法，并做好讨论的准备。

4. 汇报讨论，多问多解

一般来说，只要方法得当，由以上互动教学归纳总结出植树问题的一般规律并不难，难点在于如何引导学生走出课堂发现各种植树问题并整理思考，这是汇报、讨论的基础。教师一定要巧妙地引导学生由解决一般植树问题上升到解决多形式的植树问题。有条件的可以指导学习小组整理汇报，然后梳理成以下多形式的植树问题小结。

（1）单线植树问题：一般形式和变化式。

两端要栽：全长÷株距+1=株数。两端不栽：全长÷株距-1=株数。只栽一端：全长÷株距=株数。

特殊情况：全长÷株距不能整除的用“去一法”。

（2）多线的植树问题：以一条直线×多条直线。

（3）环形植树问题：不存在两端问题，其实更简单。

（4）其他图形的植树问题：三角形、四角形……（基礎仍以单线植树而变化）

……

5. 总结设计，互动提高

通过以上全班性“汇报讨论，植树问题，多问多解”后，学生都会开动脑筋，打开思维大门，将一个看似简单的植树问题，通过横向和纵向的发散性思维，得到不同情况下的植树问题。但这还不够，因为这还限定在“植树问题”中。教师要继续在学生的汇报讨论中捕捉他们发现的生活中的各种植树问题，结合例2和例3的教学，完成练习24的相关题目。之后再指导学生将以上学习梳理为以下形式多样的植树问题，并引导学生对生活中的形形色色的植树问题进行科学的设计，甚至由现代社会想到未来的发展等。在学生通过动手动脑设计了多姿多彩的“植树问题”后，再组织学生开展形式多样的“多姿多彩的植树问题展示”活动，有条件的，还可以指导学生写成相应的小论文，或办成“学习园地”等，不断提升学习效果。

（1）安装各种灯具，如架设路灯、安装各种室内照明灯和艺术灯具……

（2）布置会场，如摆放花盆、插红旗、安排方队、安排服务站……

（3）设计车位，安排停车……

（4）设计工艺品和电子产品，如设计项链、设计玩具、设计电子钟……

（5）设计智能产品，如安排扫地机器人、安排跳舞机器人……

……

二、逐步升级教学的主要特点和原则

1. 充分体现课改理念

本单元的教学成功与否、效果如何，关键在于充分体现课改理念，按照课标的要求，“课程内容要贴近学生的生活，有利于学生经验、思考与探索。内容的组织要处理好过程与结果的关系，直观与抽象的关系，生活化、情境化与知识系统性的关系”。本单元的教学，首先要由真实的植树问题来引入，运用纵横发散性思维，由一般规律逐步提升，最后引导学生发现并能解决现实生活和未来生活中的形式多样的植树问题，才能达到有效提高的目的。

2. 充分发挥学生的主动性

不论用什么形式，教学的落脚点一定在学生！因此，教学的一切设计和安排一定要从调动学生的主动性和积极性出发，要达到不同程度的学生都有收获。比如对思维快速却不周密的学生最初的出错不必担心，如果处理得当，会让全班学生对于植树问题中的“两端”栽与不栽的准确理解与把握根深蒂固。又如在学生的走出课堂实践和课堂汇报互动讨论中，教师都要尽量引导学生发现问题、解决问题、总结归纳。通过学生的一系列活动，充分调动他们的多向思维，就会绽放出超越性的思维火花，获得意想不到的好效果。

3. 充分体现教师的主导性

要实现“以学生为主体，提升学生能力”并不是放羊式的教学，关键在于教师的主导作用！按照课标要求，“课程设计要满足学生未来生活、工作和学习的需要，使学生掌握必需的数学基础知识和基本技能，发展学生抽象思维和推理能力，培养应用意识和创新意识，在情感、态度与价值观等方面都要得到发展”。从课前的钻研教材、设计教学方案到课堂教学的一步一步推进，直到最后的成果展示，教师的任务就是根据学生的发展变化，引导学生从观察中发现问题，在解决问题中不断总结提高。比如说，教材并未涉及电子产品问题，但根据社会发展和课标要求“数学与人类的活动息息相关，特别是随着计算机技术的飞速发展，数学更加广泛应用于社会生产和日常生活的各个方面”，教师要有意识地引导学生运用联想和想象进入未来的创新性领域，这也正好符合社会发展的需要。

4. 始终把握好数学思维这条主线

对于数学教学，或者说教学中的思维等具体问题，教师要准确把握，要着重提高学生的思维能力。正如课标指出的：“要符合数学科学本身的特点，体现数学科学的精神实质;要符合学生的认知规律和心理特征，有利于激发学生的学习兴趣;要在呈现作为知识与技能的数学结果的同时，重视学生已有的经验，让学生体验从实际背景中抽象出数学问题、构建数学模型、得到结果、解决问题的过程。”其实就是要重视整个教学过程中的把握，让不同程度的学生有所收获，从而实现全面提高。

作者简介：陈水葱（1977—），本科学历，一级教师，从事小学数学教学工作。