模型思想视域下的数学“综合与实践”教学探究——从一道“阶梯计费”习题说开去

江苏省南京市小营小学 王 欢

五年级上学期期初，学生遇到这样一道题：

为了鼓励居民节约用水，某市从2018年1月1日起实施阶梯水价制，每户4人以下（含4人）按下表收费：

第一阶段：年用水量0～150吨（含） 2．65元/吨第二阶段：年用水量150～250吨（含） 3．45元/吨第三阶段：年用水量250吨以上 5．85元/吨

李阿姨全家4人一年用水约270吨，请你算一算：她家一年应付水费多少元？

我们统计学校6个班214名学生的完成情况得知，正确解答的学生只有68名，正确率为31.8%。在错误的解法中，将水费的单价直接按第二阶梯的单价3.45元/吨来计算的学生达到118人，占55.1%。

学生对“阶梯计费”的计费方法不理解，教师也反映现阶段学生还没有遇到类似的问题。我们静心思考能够发现，学生把问题解决的落脚点放在了“数据的分段整理”（如图1）上，问题数据在哪一段，学生就在哪一个项目中抽取条件，“数据的分段整理”模型与“数据的阶梯计费”模型的认知模糊才是学生解题出错的原因所在。

图1

其实，苏教版数学五年级上册第47页、第81页的“探索与实践”板块，分别编排了这样的综合与实践活动（如图2、图3）。这两次综合实践活动，不仅与学生的生活实际密切联系，还是学生充分感受“分段数量关系”的好素材，具有很强的针对性、探索性和综合性。

图2

图3

《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出，模型是沟通数学与世界的桥梁，模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径。吴正宪老师认为，在小学渗透模型思想，需要教师结合学生已有的生活经验和数学知识，创设富有挑战性的问题情境，让学生把生活问题转化成数学问题，体验数学模型的形成过程，从而提高建立数学模型的意识，感受建立数学模型的作用。

为改善“综合与实践”这一板块的教学现状，笔者聚焦模型思想，进行了以“阶梯计费”为主题的实践研究。

一、自主探究，发现并提出数学问题

对于五年级学生来说，独立研究电费单上复杂的数据还存在着很多困难。于是，课前，笔者给学生提供了一份“电费单的研究报告”（如图4），引导学生先自主研究，将自己已经知道的信息写下来，同时把想研究的和存在的疑惑记录下来，再进行小组交流。

图4

从学生反馈的情况来看，他们已经知道了电费单上的用户名、地址等基本信息，还知道了用电量＝本月示数－上月示数，电费＝单价×用电量，总电费＝峰时电费+谷时电费。他们的疑问及想进一步研究的内容大都集中在：（1）什么是“一档基数”“二档基数”“三档基数”；（2）如何根据这些基数计算电费。

通过课前的思考，学生逐渐发现隐藏在电费计价单中的数学问题，而对这个数学问题的求解，又进一步激发了学生探索数学问题的热情。

生活原型是建立数学模型的基础，从贴近学生生活的真实素材入手，引发学生思考并提出问题，这样的过程是有挑战性的、有思维价值的。熟悉的、典型的素材有助于学生充分经历观察、分析、抽象、概括等过程，从而形成一般的模式表达，这也是生活问题数学化对感悟模型思想的价值。

二、画图表征，外显并初建数学模型

小学阶段的数学建模过程，实际上就是将生活中的实际问题数学化的过程。学生从现实生活情境中抽象出数学问题，用数学语言表示问题中的数量关系和变化规律，这样的学习过程就是获得某种“数学模型”的过程。根据学生的研究报告，笔者精心设计教学过程，引导学生进一步理解“阶梯计费”的本质内涵，构建“阶梯计费”的计算方法模型，让学生感悟模型思想的功能与价值。

学生解决问题能力的培养与模型思想的建构，首先在于其对实际问题的理解、表达和转述。为了让学生对问题有深入的理解和表达，笔者引导学生用自己喜欢的方式，重新分析、整理、描述问题情境，以达到对问题条件表述的一目了然。综合学生的整理情况，笔者总结出主要有以下几种呈现方式（如图5、图6、图7）：

图5

图6

图7

通过展示、交流、比较和概括，学生逐渐厘清了三个阶段电量“分阶”的范围、对应单价。如果学生能将生活素材中所蕴藏的本质属性，用自己的理解方式提炼、转化为相应的数学结构，并做出相应的数学描述与刻画，从本质上看，这样的数学学习经历就是学生在大脑中形成数学初步模型的过程。

三、抽象概括，修正并完善数学模型

建立数学模型的过程不是对已有知识的直接转移和套用。教师在教学中要引导学生结合生活实际，对已有知识进行分析，对已有经验进行调整。建立数学模型的过程是学生对数学知识不断进阶、提升，对生活经验不断修正、完善的过程。

教学中，当学生表示出富有个性的数学化图示（如图8）后，笔者又引导学生对不同的表征进行比较，抽象概括出不同形式表征蕴藏的共同本质特征，尝试用更加简明的方法表示问题的结构和数量关系。针对部分学生提出的“电费＝总电量×对应单价”的计算方法，有的学生提出了电费的计价方式是逐级计价，电费总价是逐级递增的计价方式：电费＝第一阶段电量×第一阶段单价+第二阶段电量×第二阶段单价+第三阶段电量×第三阶段单价。通过交流比较，学生一致认为后者的计算方式相对于前者，显得更为人性化，更能促成人们节约用电意识的培养，而生活中电费计价方式恰恰也是这样的。

图8

通过这个层次的教学，学生在观察、比较、分析中初步抽象出了更为一般的数量关系式：总电费＝第一阶段要付的电费+第二阶段要付的电费+第三阶段要付的电费，从而提高了初步建立简单的数学模型的能力。

四、应用拓展，体验并感悟模型价值

对于某一个数学模型，不同水平、不同能力、不同经验的学生在理解上千差万别，在实际操作中更是有可能大相径庭。数学模型如果只能够解决某一个问题，那就失去了其应有的价值。当学生初步形成模型意识时，教师应当引导学生利用这个“模型”去解决一些新的数学问题。如果教师能够引导学生聚焦“模型思想”的内涵，不断优化、推广这些“数学模型”，那么，建立“模型思想”的意识就易于在学生的思维习惯中“落地”，教师与学生之间教与学的效率就会提高，学生运用“数学模型”去解决生活中的数学问题的能力才会不断得到进阶。

为了检测学生对“阶梯计费”计算模型的理解和掌握情况，笔者布置学生在新知巩固阶段完成了这道题：

户籍人口在4人及以下的居民住户，每月第一档电量0～230度（含），每度电价格为0.53元；每月第二档电量230～400度（含），每度电价格为0.58元；每月第三档电量大于400度，每度电价格为0.83元。明明一家上月共用电450度，他家上月共缴纳电费多少元？

经统计，同一个班级的学生，同类型、同难度问题的正确率从之前的31.8%上升到了现在的92.1%。这一变化在一定程度上说明了教学的效果，凸显了“阶梯计费”模型教学的价值和作用。

在此基础上，笔者还引导学生试着运用解决“阶梯电费计价”的经验，来统整“阶梯电费”“阶梯水费”“阶梯燃气费”的本质含义，从而抽象出更为一般化的“阶梯计费”数学计算模型，让学生感受到经历数学建模过程的意义和价值。

至此，在整个教学过程中，教师借助对“阶梯计费”计算方法的探索与实践，引领学生亲身经历“发现提出问题—初步建立模型—修正完善模型—模型应用拓展”的建模过程，让学生逐渐感悟模型思想的本质及作用，获得对数学学习更加深刻的理解。

教师要让学生在主动探究中感悟优化意识，在综合与实践中积累反思经验，在模型演绎中培养严谨理性的数学品质。这些都是学生带得走、用得着的终身本领，也是教师要适时培养的学科核心素养。