解答数列求和问题的几种措施

刘勤 何长林

数列求和问题的综合性较强，通常会重点考查等差、等比数列的定义、性质、通项公式、前 n 项和公式等，常以解答题的形式出现在各类试题中.本文重点谈一谈解答数列求和问题的几种措施，以帮助大家提升解题的效率.

一、运用裂项相消法

所谓裂项相消法，是指将已知数列中的每一个项进行合理的拆分，使得拆分后的项能够相互抵消，从而求得数列和.在运用裂项相消法求数列的前 n 项和时，首先要仔细观察数列中的各项或通项的特点，并对其进行裂项;然后将各项相加，把互为相反数的项抵消，化简剩下的项即可求得数列的和.

例1.已知数列an中，a1=4，公差为4，它的前 n 项和为 Sn，试求：+ +…+ .

解：因为 a1=4，公差为4，

因此 + +…+ = ∙1- + - +…+ -= è（æ）1- ø（ö）= .

解答本题，需先根据等差数列的通项公式和前n项裂项，采用裂项相消法来求和.

二、运用倒序相加法

运用倒序相加法求数列的和，需将数列的正序和与倒序和相加，在相加的过程中，要使与首末两端距离相等的两项相加，即将第一项与最后一项相加，将第二项与倒数第二项相加，将第三项与倒数第三项相加......这样便可将数列的和转化为求与首末两端距离相等的两项的和.求得与首末两端距离相等的两项的和即可解题.

例2.若 f x= ，求 S =f -5+f -4+…+f 0+…+f 5+f 6的值.

分析：仔细研究f x= ，可发现f x+f 1- x= += ，于是可将数列中自变量之和为1的两项相加，这样便将问题转化为求常数列：…的和.

解：由 f x= 可得f 1- x=， 所以f x+f 1- x= += ，

由S =f -5+f -4+…+f 0+…+f 5+f 6，得 S =f 6+f 5+…+f 1+…+f -4+f -5，所以2S =f -5+f 6+f -4+f 5+…+

f 0+f 1=12f -5+f 6=12×    ，

即 S =3.

三、运用归纳猜想法

有些数列求和问题较为复杂，我们很难根据已知条件快速求得数列的和，此时可先根据题意猜想出数列的通项公式或前 n 项和，然后运用数学归纳法证明猜想的结论成立.在运用归纳法证明结论时，要按照如下两个步骤进行：（1）证明当n =1时，猜想的结论成立;（2）假设当 n =k 时，猜想的结论成立，证明当 n =k +1时，猜想的结论也成立，从而证明猜想成立.

例3.已知数列an满足： Sn = an + ，且an >0，求该数列的前 n 项和 Sn .

解：由 an >0得出 Sn >0，根据 Sn = an + 可得 S1= a1+  ，即 S1= a1=1，S2= a2+  ，得 S2= S2-1+  ，

解得： S2=- （舍）或 S2=1，S3= ，

猜想： Sn = .下面用歸纳猜想法进行证明.证明：①当 n =1时，S1= a1=1，猜想成立;

②当 n = k 时，Sk = ，所以当 n = k+1时， Sk+1=  ak+1+ 和 Sk+1= Sk + ak+1，可得ak + + ak+1= Sk + ak+1，

因此Sk = ak + ，ak>0，即 Sk+1= ，

因此，当 n = k +1时，猜想也成立.

综上可得 Sn = .

相比较而言，裂项相消法和倒序相加法比较简单，只需要合理裂项，正确计算，即可求得正确的答案，而归纳猜想法对同学们的逻辑思维能力和分析能力的要求较高，一般在找不到其他方法时才使用.

（作者单位：江苏省扬州市邗江区公道中学）