看似寻常细发掘 道似无情却有情

顾予恒 卢依婷

摘  要：通过对人教A版新教材中四个问题学生作答情况的统计分析，发现看似寻常的教学内容背后深藏着许多值得思考的问题. 精心研究教材，立足学情，重视课堂生成，用原生态的学情反馈来破除很多教师心目中的“想当然”，是提升教师教学水平的有效手段.

关键词：不等式;不等关系;数学表达;学情统计

一、缘起

在浙江省杭州市高中数学新教材课堂教学研究展示活动中，浙江省杭州第十四中学的一位教师进行了人教A版《普通高中教科书·数学》（以下统称“教材”）必修第一册“等式性质与不等式性质（第1课时）”的教学展示. 在课后的评课环节，点评嘉宾章建跃博士在肯定了整节课的教学之余，出人意料地向与会教师提出了几个问题：教材中的问题1容易吗？学生真的做得很好吗？这部分内容的教学应不应该一笔带过？

这三个“灵魂”拷问使笔者陷入了深思，在大多数教师看来非常平常的问题会有怎样的精彩呢？为此，笔者在自己的两个教学班教学这部分内容时，有意识地放慢了教学节奏，让每位学生都认真完成了问题1中的四个问题，并回收了学生解答的内容. 通过整理两个教学班（共计84人）的解答情况，笔者发现学生的解答并非千篇一律，不同的答案体现了学生不同的数学素养，现将具体分析呈现，与同仁们探讨.

二、问题呈现

问题：（源自教材第37页）你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗？

（1）某路段限速40 km / h;

（2）某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量[f]应不少于2.5%，蛋白质的含量[p]应不少于2.3%;

（3）三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边;

（4）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.

不等式是刻画现实世界中不等关系的数学模型，故不等式概念的抽象应该经历从现实中的不等关系到数学中的不等关系的过程. 因此，本节课要让学生经历从具体实例的属性分析到不同实例共同属性的归纳，再概括到一般的不等关系中去，进而获得不等式概念的过程. 教材通过上述四个问题，阐释了如何用不等式或不等式组表示不等关系，选取的背景既有现实问题，又有数学问题，能够让学生学会用数学语言表达现实世界.

三、结果呈现

对于这四个看似简单的问题，学生给出的解答却是五花八门，除了正确答案外，有些解答可能是表述不完善，有些解答甚至是错误的. 各题的统计结果如下. 因表格中呈现的是学生的真实解答情况，故正确表达与错误表达皆有.

第（1）题解答情况，如表1所示.

对于第（1）题，有42.86%的学生的解答结果为[v≤40 km / h.] 一方面，说明学生具备了一定的不等式基础，抓住了“限速”一词中反映的不等关系（≤）;另一方面，80%的学生刻画的不等关系中依然带着单位，说明学生从现实问题到数学表达的抽象过程不完全. 同时，有53%的学生忽视了现实问题中研究对象（车速）的属性特征，没有写下界. 有19%的学生考虑到了下界，但认为速度可以取到0，这部分学生认为，该情境描述的对象是汽车，停在该路段也是可以的. 但事实上，限速只对行驶中的车辆有意义，所以大于0更合理.

通过对这个问题的答题情况进行分析，笔者认为不等关系来源于现实问题，因此在教学时教师需要注意引导学生加强对现实问题中文字描述的理解，除了要抓住字面的不等关系外，还要明确研究对象的属性特征. 当然，也可以鼓励学生查阅交通法规中对限速的专业界定来打消疑虑.

第（2）题解答情况，如表2所示.

对于第（2）题，73%的学生给出的答案与教材一致，但也存在几名学生有了第（1）题的经验，认为此处也需要考虑上界. 根据题中文字描述，可以发现其中还隐含了[f+p≤100%]的前提条件，因此，笔者赞同这部分学生的想法，将答案写成[f≥2.5%，p≥2.3%，f+p≤100%]似乎更加完美. 而学生给出的不等式组[2.5%≤f≤97.7%，2.3%≤p≤97.5%] 中其实已经蕴含了解不等式的过程.

第（3）题解答情况，如表3所示.

对于第（3）题，接近一半的学生与教材答案一致，有超过40%的学生采用了更完整的写法，教材对此在边框中提出了问题“你能写出其他的可能情况吗？”这体现了这部分学生思维的缜密性. 还有个别学生没有用字母[a，b，c]来表示三角形的三边，甚至用汉字加不等号来表述，说明他们还不具备对现实问题中的对象进行符号化处理的数学抽象素养.

第（4）題解答情况，如表4所示.

第（4）题的难度最大，对此学生给出的解答情况也最丰富，充分体现了学生不同层次的数学素养.

解答1：学生只能用文字语言加不等号进行表达，停留在“含不等号的式子”层面对不等关系进行表达，没有数学的符号化过程.

解答2：仿照第（3）题的写法，对目标进行了符号化处理，也是正确答案.

解答3 ～ 解答5：都引入了图形，借助数形结合，用不等式刻画几何图形中的数量关系.

解答6：不仅有图形说明，而且引入了变量[a，] 有了变化的观点.

解答7和解答8：不仅运用集合语言描述了线段和点两种不同的对象，而且运用逻辑语言刻画了不等关系，呈现了“最短”这一概念.《普通高中数学课程标准（2017年版）》中指出，在高中数学课程中，集合是刻画一类事物的语言和工具. 学生学会用集合语言简洁、准确地表述数学的研究对象、问题和结果是数学的基本要求. 在这里，学生将集合语言运用得淋漓尽致，显然达到了很高的数学抽象素养水平，也充分体现了在不等式章节之前学习集合语言的重要性.

还有一部分学生提出，教材中的答案限定了点[E]是直线[AB]上不同于点[D]的任意一点，于是答案为[CD<CE.] 如果限定点[E]是直线[AB]上任意一点，那么答案就可以写成[CD≤CE，] 这样更能体现最短的垂线段能够取到，即关注到等号成立的条件. 对于学生的这一点建议，笔者给予了充分的肯定，数学的教与学都不唯教材论，敢于对教材内容提出疑问是批判性思维的体现.

凑巧地，在2021年浙江省杭州市的中考试卷中，笔者发现了一道和第（4）题相关的试题.

题目  如图5，设点[P]是直线[l]外一点，[PQ⊥l]， 垂足为点[Q]，点[T]是直线[l]上的一个动点，连接[PT，] 则（    ）.

（A）[PT≥2PQ] （B）[PT≤2PQ]

（C）[PT≥PQ] （D）[PT≤PQ]

这次调研的学生恰巧在中考中做过这道试题，而且当时的正确率非常高，那么为什么还会有近50%的学生无法正确表达第（4）题呢？课后，笔者对未写出正确结果的学生进行了访谈，很大一部分学生表示知道题目的意思，但是不知道怎么写，没有想到通过图形来表述. 究其原因，中考试题的选项已经给出了不等式的形式，考查的要求是学生能够理解不等式的含义即可，而第（4）题则需要学生自己用数学语言去描述问题，正好击中了学生抽象化表达能力薄弱的软肋.

从前面的分析不难发现，大多数学生可以较好地完成从现实问题中提取不等关系的任务，具备了用数学眼光观察世界的能力，但用严谨的数学语言来表达和交流的能力比较欠缺. 而教材中设置预备知识章节的目的之一就是让学生学习如何用数学语言来表述，用新的观点来看待与分析，积累数学抽象的经验，从而提升数学语言表达的抽象水平，提升数学思想.

四、后测反馈

在学习不等式的内容之后，笔者又安排了一道测试题来了解学生的学习情况.

测试题  为了保护一座古桥[OA，] 规划建造一座新桥[BC，] 同时设立一个圆形保护区. 规划要求：新桥[BC]与河岸[AB]垂直;保护区的边界为圆心[M]在线段[OA]上，并与[BC]相切的圆，且古桥两端[O]和[A]到圆上任意一点的距离均不少于80 m. 经测量，点[A]位于点[O]正北方60 m处，点[C]位于点[O]正东方170 m处（[OC]为河岸），[∠BCO=60°. ∘]

试根据题中所给的信息，画出符合题意的图形，用不等式或不等式组表示问题中的不等关系，并据此确定圆心[M]的大致位置.

通过分析学生上交的作业，笔者发现结果大致可以分为五个层次，反映了学生不同的数学抽象、数学表达和数学建模水平.

层次一：作出图形（如图6），实现对现实问题的图形化处理.

层次二：设保护区圆[M]的半径为[r，OM=d，] 实现研究对象的符号化.

层次三：将古桥两端[O]和[A]到圆上任意一点的距离均不少于80 m中的不等关系转化为不等式，学生写法主要为[PA≥80，OP≥80，0≤OM≤60.]

层次四：结合图6，利用平面几何知识将题干中的不等关系转化为不等式组[PAmin=PM-AM≥80，POmin=PM-OM≥800≤OM≤60，，] 即[r-60-d≥80，r-d≥80，0≤d≤60.]

层次五：如图7，作[ND⊥OC]于点[D，] 作[ME⊥ND]于点[E，] 则[MN=r，NE=r2，OD=ME=3r2，ND=NE+][ED=r2+d，DC=OC-OD=170-3r2.] 由[3DC=ND，]得[3170-3r2=r2+d.] 化简得[r=853-d2.] 代入[r-60-d≥80，r-d≥80，0≤d≤60，] 解得[d≥280-1703，d≤1703-1603，0≤d≤60，] 即[0≤d≤][1703-1603.]

由于题干中给出了“作图”“不等式表示”等提示，因此大部分学生可以较好地完成前三个层次的要求. 高一学生能达到层次五的虽然不多，但相信随着高中数学学习的推进，学生的数学分析和数学建模能力将逐步加强，最终实现在会用数学眼光观察世界的基础上，会用数学思维思考世界、会用数学语言表达世界.

五、教学反思

1. 精心研究教材，立足两类学情

通过本案例的研究，我们可以发现许多教学内容并不是想象中的那样简单. 而教材中看似寻常的内容中也藏着许多可以挖掘的宝藏. 我们的日常教学需要精心研究教材，在备课时要基于学情，充分考虑知识学情和学习学情. 例如，不等式这一内容，在初中和高中都有涉及，但学习的基础和目的却不相同，教师在备课时就需要明确. 不等式是重要的数学工具，它是刻畫广泛存在于数学内外的不等关系的基础，为学生高中阶段的学习做好了工具上的准备. 而数学抽象素养和用数学语言表达的能力较弱则是步入高中的新生的基本学情. 本节课学生反馈的情况表明，他们对不同语言的表征方式的切换并不自如，利用文字可以表达的内容，用数学符号表示就会陷入困境. 因此，在高中阶段，教师需要通过教学提升学生相应的能力.

2. 重视课堂生成，关注学生反馈

教学要避免过多地“想当然”，最好的解决方法就是重视课堂生成，关注学生真实的情况反馈. 例如，新概念课就可以是学生的主场，教师应放慢教学速度，敢于放手，让学生充分暴露自己对新知识的所思所想. 同时，教师要用心整理学情反馈，并根据具体情况进行分析. 正如本案例这样的平时教学中我们不在意的细节，通过认真梳理学生的解答情况，会有很多有趣的发现，真正做到用学生原生态的学情反馈来破除很多教师心目中的“想当然”. 学生真实的想法，哪怕是错误，都是最宝贵的教学资源，让教师可以了解学生会怎样想，而不再仅仅关注学生该怎样想. 通过分析认知偏差产生的原因，并提出纠正的措施和对策，是教师提升课堂教学质量的有效手段之一.

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部制定. 普通高中数学课程标准（2017年版）[M]. 北京：人民教育出版社，2018.

[2]章建跃. 核心素养立意的高中数学课程教材教法研究[M]. 上海：华东师范大学出版社，2021.