朱春鹏
(徐州工程学院 数学与统计学院, 江苏 徐州 221111)
此时,‖Q1Q2‖ρ≤‖Q1‖ρ‖Q2‖ρ.Q的平均记为[Q]=([qij])1≤i,j≤n.若Q是常数矩阵,记‖Q‖=‖Q‖ρ.
在文献[9]的基础上,论文考虑更一般的情况,即出现重特征值的情况.
定理考虑拟周期非线性系统
(1)
假设A=diag(λ1Ir1,λ2Ir2,…,λlIrl),其中Id是d阶单位矩阵,r1+r2+…+rl=n,λi≠0,1≤i≤l,i≠j时,λi≠λj. 假设Q(t,ε),g(t,ε),h(x,t,ε)在Dρ上解析拟周期,频率是ω=(ω1,ω2,…,ωr),关于ε解析.假设h(x,t,ε)在Ba(0)上关于x解析,h(0,t,ε)=0,Dxh(0,t,ε)=0, 其中Ba(0)是半径为a、中心在原点的球.
假设1(非共振条件)λ=(λ1,λ2,…,λn)和ω=(ω1,ω2,…,ωr) 满足
(2)
(3)
其中:k∈Zr
(4)
其中:j≠j′,i=1,2,…,l, |ε|≤ε0,ζ是常数.
假设3‖Q(t,ε)‖≤q,‖g(t,ε)‖≤q|ε|,∀|ε|≤ε0,q>0是常数.
假设4‖Dxxh(x,t,ε)‖≤K, 其中x∈Ba(0),|ε|≤ε0.
则存在一个拟周期变换x=φ(t,ε)y+ψ(t,ε),其中φ(t,ε)和ψ(t,ε)在Dρ上解析拟周期, 频率为ω,对于所有的|ε|≤ε0,使得 (1) 变为拟周期系统
在开展施工安装及施工后的模板拆除工作前,要让工作人员参与安全技术交底中,申明施工操作中的各种规范,如要求工人持证件上岗,高空作业时做好安全措施,在危险区域设置安全标示等。
(5)
此外, 有以下结论成立:
(1)A*(ε)是常数矩阵,满足‖A*-A‖≤c1ε,其中c1>0是常数.
(2)R*(t,ε),g*(t,ε),h∞(y,t,ε)=O(y2)在Dρ上解析拟周期,频率为ω,并且
‖R*‖ρ-δ‖g*‖ρ-δ≤c2exp(-M(ε)δ),
注一般来说,Q(t,ε),g(t,ε),h(x,t,ε)依赖于ε. 为简便起见,有时省略其中的参数ε.
论文重特征值的情况主要影响文献[9]中的第一步KAM迭代.先给出第一步KAM迭代,之后的KAM迭代变为不同特征值的情形,完全类似文献[9].
(6)
(7)
其中:
如果
(8)
(9)
做变换y=(I+εP0)x1,则方程(9)变为
(10)
其中:
见文献[9].
此时,需要解变换
(11)
由定理的假设2,即A1的特征值互不相同,知存在可逆矩阵S, 使得
(12)
(13)
对于系统(10),A1的特征值互不相同.每一步KAM迭代中的Ad,d∈,它们分别都有不同的特征值.由文献[9]中的(4.15) 和(4.24),得到‖Am+1-Am‖≤|ε|β2m,其中β>0是一个充分小的常数,证明完全类似文献[9],此略.