创新习题：落实核心素养发展目标的好方法

陈群

摘要：创新习题不仅能考查学生基础知识、基本技能，更能培养与发展学生数学核心素养.如何落实核心素养发展目标，是当前高中数学教学的一个重大研究课题.高中数学教师要立足教材内容、学生需求与发展，采用“改编题、开放题、信息给予题、应用题、探究题”五种创新习题策略，让学生数学核心素养的培养得到有效落实.

关键词：高中数学;创新习题;核心素养

1 引言

当下，高考仍然是选拔人才的主要方式，而在高中数学学科中，创新习题主要考查的是学生的数学潜能.由于创新习题可以检验学生对数学理论知识的掌握情况，对学生数学问题的探究能力、应用问题的解决能力等都可以做一个有效的考查.同时，创新习题的题型多变，内容也十分新颖，可以很好地启发学生的思路，发展学生思维，提升解题能力.为此，教师要注重对学生进行创新习题的训练和讲解，同时，还要从核心素养培养的角度入手分析创新习题的考查要点，揭示此类题的教学规律，进而制定相应的教学策略，促使学生调整心态，积极面对创新习题的同时，也有能力顺利求解[1].

2 改编题

高中数学教师可通过改编习题的方式逐步训练学生求解创新习题的能力.一般高中习题的改编都是以理论定理或者经典成题为依据.改编时，教师围绕知识点的重难点，或为学生设置更为丰富的情境，或增强文本内容的抽象性等方式，让学生透过改编题的求解掌握数学知识本质属性，提高对相关知识点应用的举一反三能力.同时，教师要理清题目结构，引导并启发学生的逻辑思维.通过有效延伸与发展，让学生的逻辑推理素养得到提升.当然，数学问题求解最终是要判断运算结果的准确性，所以在习题改编中教师要注重对学生运算素养的培养[2].

例1 已知动点M到定点N（7，1）的距离和它到直线x=5的距离的比值为4，求动点M的轨迹方程.

教师在对此题进行改编的时候，可以变换问题，或改变比值，将常数4变成未知量h等，从而得到新的改编题.

3 开放题

高中数学同物理与化学学科之间的关系越来越紧密，教师在教学中需培养学生建模能力和逻辑思维能力.物理中很多生活现象都可以引入到数学中，通过创新变成一个开放性数学题，从而有效锻炼学生的发散性思维，促进学生交流讨论，打造浓厚的课堂学习氛围，实现对课堂知识的有效与高效教学.

例如，对于金属小球的简谐运动，教师可要求学生使用三角函数对该小球的运动过程进行描述和分析.再如，在学习导数时，教师可将物理学科与数学学科融合起来，并且让学生回顾以往物理教师带领学生们做的小摆锤实验，并将其与导数相联系，加深学生对物理中的加速度和数学中导数的理解.

另外，在高中数学创新习题教学中，教师也要关注学生的逻辑推理能力，建立学生创新意识.所以，教师在启发和引导学生的时候，可以从知识的起源开始讲解，让学生了解该理论知识的背景以及形成过程，从而构建知识之间的联系，让学生的数学知识体系更加完善，促使学生理解数学知识本质，发展学生的逻辑思维能力[3].

4 信息给予题

创新习题对于学生综合能力的考查较为重视，如，信息给予题实际上就是以数学学科为基础的阅读理解题.该类创新习题的特征就是文本内容学生较为陌生，题干中描述的公式、定义、法则等是学生未学习过的，学生需要边阅读边理解限定条件下的陌生逻辑关系.而且这类题较为抽象，由于给出的定义、法则等表述大多都是数学符号，很少用文字进行解释说明，所以学生需要独自阅读思考后明确思路，这对学生的学习能力有一定的要求.最后，

在有限的时间内解决

信息给予题，学生对公式、算法等不能进行过深的研究，学生需抓住重心，用抽象逻辑思维简单地描述题目中的有效信息.

例2 对于数集H={-1，h1，h2，……，hn}，其中0

上述信息给予题属于概念类型的创新习题，其中包含的知识点有集合、抽象代数、元素等，对学生分析问题和解决问题能力都有一定的考查.教师在引导学生求解此题时，要注重学生对问题的理解.首先要求学生整理出题干中的关键信息，并用符号语言抽象表达出来.同时，题干中也有部分符号语言需转换成文字语言，以加强学生对题意的理解.如数集H中的元素有-1，除此之外至少还应有3个元素，H中只有-1小于0，其余全部大于0.同时可以设向量集为Q，将其转换成文字表述就是从数集H中任意找两个元素，将其作为向量m→的坐标.教师引导学生分析上述内容后，还差一个H具有性质P的含义没有解读.为此，教师可以通过提问形式，让学生积极分享自己的想法，进而锻炼学生对信息的概括与表达能力，让学生在表述中明确思路，使问题得到有效解决.

另外，信息给予习题之所以成为创新习题中较为常见的题型，主要是在求解此类型题时，不能套用模型，解题模式和思路等都需要调整，这十分考查学生的数学潜力.

例3 用min{e，f，g}表示e，f，g三个数当中最小的一个，设f（x）=min{2x，x+2，10-x}（x≥0），求f（x）的最大值.

求解此问题的关键就是要深入挖掘已知信息，可以根据题目已知条件重新定义单个函数y1=2x，y2=x+2，y3=10-x，而f（x）就是这三个函数中函数值较小的一个.根据数形结合发现，y2=x+2与y3=10-x图象的交点P（4，6）就是函数f（x）图象上最高的点，那么可知f（x）的最大值为6.此问题求解主要借助了函数性质，同时应用了数形结合思想，学生只有充分掌握函数知识，并能够准确画出三个函数在坐标系中的图象，才能准确求解.教师在讲授求解信息给予类的创新习题时，要引导学生养成信息归纳和类比的习惯，培养学生独立思考的能力，让学生在求解中独立完成假设、验证过程，提升逻辑思维能力.

5 应用题

求解应用题类型的创新习题时，学生一定要仔细读题，边读边简化，将题干中重要有效的信息标记出来，构建数学模型进而寻求有效的解决方案，教师可以在创新习题教学中，强化学生数学建模能力.

例如，在体育运动比赛中，棒球赛在美国的赛制不同于世界规定的7赛制，他们男性是5赛制，女性则是3赛制.对于这一现象教师可以创设应用情境问题，学生需思考两种赛制成功的可能性，谁的获胜几率更大一些呢？类似这种与体育新闻或与时代接轨的事物信息等，可以让学生在不同情境应用求解的分析中整理出数学模型.数学建模是促进学生数学核心素养提升的重要体现，学生具备建模思想，就能够将情境问题抽象成数学问题，从而构建方程或函数模型，利用数量关系求解答案.所以，教师需总结高中数学应用题中常涉及到的数学模型，如排列组合模型、数列模型、立体几何模型等，教师要重视对学生建模思想和意识的培养，提高学生的建模能力.

另外，教师要在创新习题的设计中选择生活性更强的应用题，助于学生发现生活中的数学，锻炼学生的观察能力，让学生在学习数学时感受到数学的应用价值，激发学生的学习兴趣.

在函数的学习中，笔者从生活的角度设计创新习题如下：

某个工厂用30万元购买了一种扎染技术后，又购置了200万元的硬件设备.已知工厂生产一件产品的成本价钱是20元，通过市场调查后而发现，产品向外出售的价钱可以增加5～15元，而且年销售量y同销售产品单价（单位：元）的关系式为

y=40-x，25≤x≤30，25-0.5x，30

学生在求解此创新习题时可有效整理出数学模型，然后借助模型求解，充分感受数学学科在现实生活的作用和价值[4].这对构建学生数学模型思想以及构建完整的数学知识体系具有重要的作用，并且学生也能够通过模型感知到数学学科的多功能性与实用性.

6 探究题

小组探究讨论是素质教育教学中，培养学生合作意识，强化学生表达能力，锻炼学生发散思维能力的主要教学方式.由于学生的学习主要源自于主观意识，只有让学生在学习中进行独立思考和探索，才能让学生的思维得到锻炼，核心素养得到发展.为此，教师在准备探究题时，一定要找好素材.

首先，教师可以结合学生的认知，结合教材中的法则、概念等，将其作为探究性学习课题，组织学生以小组为单位分析、检验并进行论证.

其次，教师也要研究数学教材，从其中找出适合设计创新习题的知识点.

例如，在高中数学教材中，针对函数部分的“反函数”教学时，两个函数关系的文字介绍较为简略，其中针对直线y=x对称这一特点也简单略过，教师在讲授此部分内容的时，需引导学生共同探讨反比例函数图象的性质.

再次，在探究性创新习题的教学设计中，教师也要从学科融合的角度拓宽学生的数学能力.例如，在讲解三角函数的时候，教师可引入物理中的单摆实验;在讲解一元二次方程的时候，教师可以引入抛物线等.

另外，还有一些数学探究性问题具有较强的实践性，学生需要亲自做社会调查后，借助所得到的数据才能够完成探究性问题.

例如，测量公园步行区的道路宽度，四大购物超市最便宜的是哪一家等.学生只有亲自经历了数据的调查、收集、整理、分析的过程，才能够真切感受到数据分析的魅力.同时，学生对于数据所得结论的看法也会有所深入，对学生数据处理分析能力的提升具有重要意义.

最后，由于探究性创新习题较为开放，教师可以引导学生利用模型思想对问题进行分析求解，让学生在实践中对相关数学理论知识内容有更深的感悟，完善学生数学知识体系，也让学生养成建模习惯.为此，教师可以在设计探究性问题时，明确要求学生在提炼出模型后，依照模型求解.

例如，在一个涉及二元不等式的情境探究中，教师要求学生构建函数模型，学生需要借助函数图象来分析情境各元素之间的逻辑关系，并结合情境内容，选择合适的结论，从而通过有效探究，从特殊的数学结论过渡到一般性的数学结论，提高学生应用数学符号进行逻辑推理的能力，强化学生的探究意识，促进学生对函数知识的内化与应用.

7 结论

总而言之，高中数学教师要以发展学生核心素养为落脚点，设计新颖的创新习题，以培养学生运算、逻辑思维、抽象、阅读理解、建模等能力，促使学生获得有效发展与成长.

参考文献：

[1]路江江，王亚妮.高中数学教育中如何培养学生的数学核心素养——王尚志教授访谈录[J].数学教育学报，2021（2）：67-70.

[2]卓斌.例谈改编高中数学教材例习题的常用方法[J].数学通报，2011（2）：16-19.

[3]于晓晶.数学开放题走入常态课堂教学研究[J].湖北成人教育学院学报，2011（6）：142-143.

[4]杨同官，宋周阳.基于数学建模维度的高中数学核心素养培养研究[J].中国现代教育装备，2021（22）：46-48.