二次函数中系数的符号与其图象之间的关系

韩兴宁

摘要：二次函数是初中数学非常重要的知识点，要想较好掌握它，许多基础知识有必要深入理解，其中包括二次函数中系数的符号与其图象之间的关系，即根据二次函数图象的特点推导出二次函数中系数的符号.本文中通过对中考题的探究与分析，说明二次函数系数的符号与其图象之间存在的关系，帮助学生提升解题能力.

关键词：二次函数;系数;图象;符号;关系

1 引言

图象与性质作为初中数学中二次函数非常重要的内容，其系数符号的判断不亚于求函数图象与坐标轴的交点[1].尽管该知识点基础且重要，但是仍有很多学生对此掌握不够深入.为此，笔者结合近几年的中考题，为学生提供判断二次函数系数符号的方法，同时也为一线教师在这方面的教学提供参考.

2 方法探究

对于二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）而言，ax2的系数为a，bx的系数为b，c常数项.当然，这里的a，b，c已经包含了符号，在此作特殊说明[2].那么，如何根据二次函数的图象分析出系数的符号呢？接下来将从以下三个方面进行研究.

2.1 确定“a”的符号

“a”的符号通常比较容易确定，它与二次函数图象的开口方向有关，即图象开口向上时a为正数，图象开口向下时a为负数[3].关于 “a”的符号的判断，在中考题中出现得比较少，这与它的难易程度有关.

例1 如图1，函数y=ax+1与y=ax2+bx+1（a≠0）的图象可能是（  ）.

解析：函数y=ax+1中的“a”与y=ax2+bx+1（a≠0）中的“a”符号一致，所以可根据y=ax2+bx+1（a≠0）图象的开口方向判断“a”的符号.首先，A，B选项中二次函数图象开口向下，所以a<0，那么直线应向下倾斜，选项B排除.然而，函数y=ax+1与y=ax2+bx+1（a≠0）中都有“1”，即图象与y轴交点坐标都为（0，1），因此排除选项A.其次，C，D选项中二次函数图象开口向上，所以a>0，那么直线应向上倾斜，选项D排除.所以，本题应选答案：C.

2.2 确定“b”的符号

“b”的符号判断比较复杂，因为需要考虑二次函数中与b有关的量.这时候，就自然想到了判别式Δ和顶点坐标，其中顶点的横坐标关系最简单，即对称轴.所以，在“a”一定的前提下，尝试从对称轴的位置探究确定“b”的符号的方法.

首先，观察图2中两个函数图象，它们都是开口向下，不同的是①中的对称轴与x轴的负半轴相交，而②中则与x轴的正半轴相交.

然后，分析两个图象中a与对称轴.①中a<0，对称轴x=-b2a与x轴的负半轴相交，即x=-b2a<0，所以b<0.于是，在a<0，b<0的基础上得到了关于a，b符号的判断口诀“左同”.②中a<0，对称轴x=-b2a与x轴的正半轴相交，即x=-b2a>0，所以b>0.于是，在a<0，b>0的基础上得到关于a，b符号的判断口诀“右异”.

最后，综合两种不同的情况，发现b的符号与a有关，且通过对称轴的位置得到了a与b“左同右异”的关系.

例2 如图3，函数y=mx+m和函数y=-mx2+2x+2（m是常数，且m≠0）的图象可能是（  ）.

解析：函数y=mx+m和函数y=-mx2+2x+2（m是常数，且m≠0）中的“m”符号一致.首先，四个选项中均以直线为参考对象.在A，B，D三个选项中，直线y=mx+m均向下倾斜且与y轴负半轴相交，所以m<0，则-m>0，所以二次函数开口向上，排除A选项.再观察b=2>0，采用“左同右异”中的“左同”得到对称轴应与x轴的负半轴相交，即选项B排除.因为C选项中的直线向上倾斜，所以m>0，因此-m<0，这与C选项的二次函数开口方向向上矛盾，所以应排除C选项.故选答案：D.

2.3 确定“c”的符号

“c”的符号的确定，需要先观察二次函数解析式y=ax2+bx+c（a≠0）.不难发现，当x=0时，y=c，即函数与纵轴的交点坐标是（0，c）[4].由此可见，“c”的符号的确定依赖于交点坐标（0，c）.如果二次函数图象与纵轴的正半轴相交，那么c>0;如果二次函数图象与纵轴的负半轴相交，那么c<0;如果二次函数图象过原点，那么c=0.

例3 抛物线的图象如图4所示，根据图象可知，抛物线的解析式可能是（  ）.

A.y=x2-x-2

B.y=-12x2+12x+1

C.y=-12x2-12x+1

D.y=-x2+x+2

解析：函数图象显示开口向下，交y轴正半轴，

其对称轴与x轴正半轴相交.根据上述分析，可知a<0;c>0;b的符号与a的符号相反，既然a<0，那么b>0.综合此三点，选项A，C排除.再仔细观察图象可知，图象与y轴正半轴的交点一定不是（0，1），而是（0，2），所以应选答案：D.

3 方法应用

例4 （潍坊）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图5所示，则a，b，c满足（  ）.

A.a<0，b<0，c>0

B.a<0，b<0，c<0

C.a<0，b>0，c>0

D.a>0，b<0，c>0

解析：观察函数图象发现，图象显示开口向下，所以a<0;图象与y轴的正半轴相交，所以c>0;对称轴与x轴的负半轴相交，所以b与a的符号相同，都是负数.综上可知，a<0，b<0，c>0.故选答案：A.

例5 （陕西省）已知二次函数y=ax2+bx+c（其中a<0，b<0，c>0），关于这个二次函数的图象有如下说法：①图象的开口一定向上;②图象的顶点一定在第四象限;③图象与x轴的交点至少有一个在y轴的右侧.以上说法正确的个数为（  ）.

A.0

B.1

C.2

D.3

解析：本题没有给出图象，而是需要根据“a<0，b<0，c>0”尝试画出图象，然后根据图象在①②③中选择.所以，首先根据“a<0，b<0，c>0”画出图象，如图6所示.然后，根据图象分析可知①错误，图

象应该一定开口向下;②错误，图

象的顶点一定在第二象限;③正确.所以，本题应该选答案：B.

4 结语

总而言之，二次函数中系数符号的确定既关系到学生对函数图象的整体把握，又关乎到后期的计算.倘若在第一步就判断错误a，b，c的符号，那么后续有关系数的运算一定会出现错误.所以，作为一线数学教师，在用心教学、耐心指导的前提下，务必让学生掌握该基础知识点，为日后函数的计算和应用打下坚实的基础.

参考文献：

[1]王芳， 高忠水. 二次函數图象与表达中系数符号判断问题[J]. 中学生数学（初中版）， 2019（6）：8-9.

[2]杜明全. “运用二次函数图象讨论系数的符号及其关系”解题策略[J]. 数学学习与研究， 2013（9）：111-112.

[3]姚红莲. 二次函数的图象与字母系数的关系专题复习课[J]. 中小学数学（初中版）， 2021（Z2）：54-56.

[4]崔佳玉， 王秀阁. 在新函数的研究中促进数学活动经验的迁移——以“二次型绝对值函数的图象和性质”研究为例[J]. 中国数学教育（初中版）， 2021（4）：27-30.