正方形对角线性质的再探究

王震

摘要：正方形是一种特殊的四边形，其对角线除了相等、垂直且互相平分外，还有其他的性质.对正方形对角线的性质进行深入探索，激发学生数学学习的兴趣，提升思维的深度、广度和创新能力.

关键词：正方形;创新;兴趣;思维

1 引言

正方形是初中数学的一个重要内容，因其具有独特的图形特点、图形风格、图形性质，也是中考的一个重要考点，特别是正方形的对角线更值得深入探究.下面就一起走进正方形对角线的探究天地，共赏正方形的美景！

2 性质探究

如图1，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OG⊥CD，OF⊥BC，垂足分别为G，F，则图形具有如下性质：①OG=OF;②四边形OFCG是正方形，且S正方形OFCG=14S正方形ABCD;③G，F分别是CD，BC的中点;④△ODG，△OGC，△OCF，△OFB都是等腰直角三角形.

下面给出性质①的几种证明，供学习时借鉴.

证法1：三角形全等法.

因为四边形ABCD是正方形，对角线AC，BD相交于点O，所以∠OCF=∠OCG=45°.

因为OG⊥CD，OF⊥BC，所以∠OFC=∠OGC=90°.又OC=OC，所以△OFC≌△OGC.即得OG=OF.

证法2：三角形面积法.

因为四边形ABCD是正方形，对角线AC，BD相交于点O，所以S△BOC=S△DOC=14S正方形ABCD.

因为OG⊥CD，OF⊥BC，所以12BC·OF=12DC·OG.又因为BC=CD，所以OG=OF.

这里仅提供两种常见的证明方法，供参考.其余性质的证明读者感兴趣的，可以尝试自己完成.

3 性质应用

3.1 借助四边形的面积，求正方形的边长

例1 （2021·重庆中考）如图2，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，M是边AD上一点，连接OM，过点O作ON⊥OM，交CD于点N.若四边形MOND的面积是1，则AB的长为（  ）.

A.1

B.2

C.2

D.22

解析：如图3，过点O分别作OG⊥AD，垂足为G，OH⊥CD，垂足为H.根据性质，得OG=OH.

∵OH⊥OG，OM⊥ON，

∴∠GOM=∠HON，

∠OGM=∠OHN.

∴△OGM≌△OHN.

故四边形GOHD的面积等于四边形MOND的面积，等于1.

由四边形ABCD是正方形，则其面积为四边形GOHD的面积的4倍，等于4，所以AB=2.

故选答案：C.

点评：根据正方形的特点，过正方形的中心引两边的垂线，利用三角形的全等，化已知四边形的面积为正方形一角四边形的面积，从而根据正方形的面积是一角四边形面积的4倍计算即可.这个结论有着重要的应用，若遇到填空题或选择题是可以直接运用，从而提高解题的效率.

3.2 构造中位线，求中位线的长

例2 （2021年天津）如图4，正方形ABCD的边长为4，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别在BC，CD的延长线上，且CE=2，DF=1，G为EF的中点，连接OE，交CD于点H，连接GH，则GH的长为   .

解析：如图5，过点O分别作OM⊥BC，垂足为M，ON⊥CD，垂足为N，连接OF.

根据性质，得四边形OMCN是正方形，所以MC=CE=2.因为OM∥HN，所以OH=HE.因为G为EF的中点，所以GH是△OEF的中位线.

所以GH=12OF.由ON=2，DN=2，得NF=DN+DF=3.

在Rt△ONF中，根据勾股定理，得

OF=ON2+FN2=22+32=13.

所以GH=132.故填答案：132.

点评：解答时，把握好如下三点.（1）学会过正方形对角线交点引垂线构造顶角正方形，为性质的使用奠定基础;（2）灵活运用三角形中位线定理找中点，求线段的长度;（3）活用正方形的性质，定直角确定直角三角形，为勾股定理的使用创设解题条件.

3.3 利用性质，判断结论的正误

例3 （2021·黑龙江省龙东地区）如图6，在正方形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，点E在BC的延长线上，连接DE，F是DE的中点，连接OF交CD于点G，连接CF，若CE=4，OF=6.则下列结论：①GF=2;②OD=2OG;③tan∠CDE=12;④∠ODF=∠OCF=90°;⑤点D到CF的距离为855.其中正确的结论是（  ）.

A. ①②③④    B. ①③④

C. ①②③⑤D. ①②④⑤

解析：因为正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，所以OD=OB.因为点F是DE的中点，

所以OF是△DBE的中位线，即OF∥BE，并且BE=2OF.因为CE=4，OF=6，所以BE=12，BC=8.又OG是△DBC的中位线，所以OG=4，于是GF=2.故结论①正确.

因为正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，所以∠BCD=90°，∠BDC=45°.又OF∥BE，所以∠OGD=90°，于是∠BDG=∠DOG=45°，从而OD=2OG.故结论②正确.

在Rt△DCE中，因为CE=4，BC=CD=8，所以tan∠CDE=12.故结论③正确.

因为tan∠CDE=12<1=tan 45°，所以∠CDE<45°.因为CF是直角三角形DEC斜边上的中线，

所以∠DCF=∠CDE<45°.因为∠OCD=∠ODC=45°，所以∠ODF=∠OCF<90°.故结论④错误.

如图7，过点D作DH⊥CF，交CF的延长线于点H.因为CE=4，CD=8，从而DE=DC2+CE2=82+42

=45，从而CF=25.根据三角形面积不变性，得

12DC·GF=12CF·DH.

则DH=DC·GFCF=2×825=855.故结论⑤正确.

故选答案：C.

点评：解答时，要把握如下几个关键知识点.一是熟练掌握正方形的性质，特别是对角线平分对角性质;二是熟练掌握等腰直角三角形的性质;三是灵活运用直角三角形斜边上的中线性质;四是灵活运用特殊角的三角函数值，锐角的正切的性质，这也是解题的有效方法;五是熟练掌握三角形面积不同表示法，这也是一种经常用到的解题思路，特别是当思维打不开时，聚焦这个思维方向，往往会收到柳暗花明的效果，值得多重视、多运用、多关注.

4 解后反思

通过解题，得到如下启示：（1）正方形是一种特殊的四边形，其特殊性往往是解题的重要依据或是解题的重要途径，因此常态学习中，要引起高度重视，并熟练掌握和活用.（2）以正方形为背景的考题非常容易与勾股定理、直角三角形斜边上的中线、三角形的中位线定理、等腰直角三角形、图形的面积、特殊角的三角函数值有机融合，成为培养知识综合运用能力、解题能力的有效载体，更值得重视.（3）对正方形的学习要从章内综合和跨章节综合两个层面去把握.章内综合要立足正方形的性质，重点放在对角线的性质、正方形的对称性质;熟练掌握好正方形的对角线与边之间的关系，这是一个非常关键的结论型关系，往往成为解题的“桥梁”.跨章节综合立足于三角形的相似、三角函数，特别是特殊角的三角函数值问题，更是生成跨章节综合的有效生长点和重要结合部，在常态的学习过程中，要格外重视，且养成主动向这个方向拓展、延伸的好习惯，进而提升自我数学综合解题能力;正方形与勾股定理的联系也十分密切，正方形四个角是直角，对角线互相垂直、平分又生成直角，这些都为勾股定理的使用培植了知识沃土，为定理运用创造了条件.当然，正方形的跨章节综合还有旋转、平移、全等等类型，鉴于篇幅，在这里就不再赘述.