一道解三角形真题的多解与反思

王永刚

摘要：每年的高考真题作为典型题与“母型题”，吸引了众多命题者的关注，在各类模拟试卷中加以合理模仿、改编与变式等方式处理.本文中结合实例，从多个视角结合多种方法来破解，链接高考，回归本质，剖析问题的由来，引领并指导数学教学与复习备考.

关键词：三角形;等差数列;最小值;最大值;三角恒等变换

1 引言

每年的高考真题，总有众多的亮点，名题荟萃，创新新颖，典型突出，引入注目.此类高考真题，知识融合交汇考点明确，立意突出，科学创新，具有非常好的教学价值，吸引了众多命题者的引用、模仿与改编等，这些优良的创新“产品”经常出现在一些高考模拟卷中，值得我们细细品赏，好好深入分析与研究.

2 问题呈现

问题 （2020届广东省广州市高三年级阶段训练题理科·16）已知△ABC的三个内角为A，B，C，且sin A，sin B，sin C成等差数列，则sin 2B+2cos B的最小值为，最大值为.

此题以三角形为载体，结合三角形的三内角的正弦值成等差数列来设置限制条件，进而求解角B所对应的三角关系式的最值.破解此题可分为两个步骤：（1）利用条件确定角B的取值范围;（2）在角B的限制条件下确定sin 2B+2cos B的最值.而对应两个步骤的切入思维多样，破解方法各异.

3 问题破解

（1）确定角B的取值范围.

方法1：（三角恒等变换）

由sin A，sin B，sin C成等差数列，可得sin A+sin C=2sin B.

结合三角恒等变换公式，可得

2sinA+C2cosA-C2=4sinB2cosB2.

即2cosB2cosA-C2=4sinB2cosB2.

于是2sinB2=cosA-C2≤1，即sinB2≤12.

因为角B为△ABC的内角，B∈（0，π），所以B2∈0，π6.故B∈0，π3.

方法2：（基本不等式法）

由sin A，sin B，sin C成等差数列，可得sin A+sin C=2sin B.

结合正弦定理，有a+c=2b.

由余弦定理，得

cos B=a2+c2-b22ac=a2+c2-a+c222ac=3a2+3c2-2ac8ac≥6ac-2ac8ac=12，当且仅当3a2=3c2，即a=b=c时等号成立.

又角B为△ABC的内角，故B∈0，π3.

方法3：（椭圆模型法）

由sin A，sin B，sin C成等差数列，可得sin A+sin C=2sin B.

结合正弦定理，有BC+BA=2AC.

不妨设AC=2，则BC+BA=2AC=4.

以AC的中点O为坐标原点建立平面直角坐标系，

则知点B在以A，C为焦点的椭圆上，可得椭圆方程为x24+y23=1.

结合椭圆的图形与性质，可知B∈0，π3.

点评：根据题目条件，结合等差中项的应用得到关系式sin A+sin C=2sin B，直接通过三角恒等变换以及三角形的性质可以确定角B的取值范围，此方法对三角恒等变换公式的要求比较高;而常见的方法是由三角关系式借助正弦定理转化为边的关系式，再结合余弦定理及基本不等式来确定角B的取值范围;利用三角关系式借助正弦定理转化为边的关系式，合理构建模型，利用椭圆的方程与几何性质来确定角B的取值范围，也是非常不错的破解方法.

（2）确定sin 2B+2cos B的最值.

方法1：（导数法1）

设函数f（B）=sin 2B+2cos B，B∈0，π3.

求导可得f′（B）=2cos 2B-2sin B=-4sin2B-2sin B+2.

由f′（B）=0，可得B=π6.

所以，当00，f（B）单调递增;当π6

故fmin（B）=fπ3=sin2π3+2cosπ3= 32+1，fmax（B）=fπ6=sinπ3+2cosπ6=3 32.

故填答案： 32+1;3 32.

方法2：（导数法2）

由于B∈0，π3，令x=sin B∈0， 32，

则有

sin 2B+2cos B=2sin Bcos B+2cos B

=2 cos2B（sin B+1）2

=2 （1-sin2B）（sin B+1）2

=2 （1-x）（x+1）3.

设函数f（x）=（1-x）（x+1）3，x∈0， 32，则

f′（x）=-（x+1）3+3（1-x）（x+1）2

=-2（2x-1）（x+1）2.

由f′（x）=0，可得x=12.

则当00，f（x）单调递增;当12

所以fmin（x）=f 32= 34+716，fmax（x）=f12=2716.

那么sin 2B+2cos B的最小值为2  34+716= 32+1，最大值为2 2716=3 32.

故填答案： 32+1;3 32.

方法3：（换元法）

设t=sin 2B+2cos B=2sin Bcos B+2cos B=2cos B（sin B+1），B∈0，π3.

设x=cos B，y=sin B，则有x2+y2=1，x∈12，1，y=t2x-1.

可知点（x，y）的轨迹是下图（图1）单位圆中的劣弧AB（不包括端点B）部分.

当曲线y=t2x-1过点A12， 32时，此时cos B=12，t取得最小值为2×12× 32+1= 32+1.

当曲线y=t2x-1与劣弧AB（不包括端点B）相切于点Cm，t2m-1时，t取得最大值.

此时对应的公切线为l，由y′=-t2x2，得直线l的斜率为-t2m2.

由OC⊥直线l，得t2m-1m·-t2m2=-1，即

4m4=t2-2mt        ①

又点Cm，t2m-1在圆x2+y2=1上，可得

4m4+t2-4mt=0       ②

①②式联立消去mt，整理可得t=3m.

将t=3m代入4m4=t2-2mt，整理可得

m= 32，t=3 32.

所以，当cos B= 32，t取得最大值为3 32.

故填答案： 32+1;3 32.

点评：在角B的限制条件下，将所求的三角关系式转化为一元函数问题，可以借助导数法来确定其最大值与最小值，这是破解此类问题中最常见的思维方式;而结合对应的三角关系式进行合理换元，把三角问题转化为函数问题，利用相应的轨迹方程以及曲线之间的关系来分析与判断最值，也是巧妙构建模型，结合数学建模来处理问题的一大创新思维.

4 链接高考

事实上，以上问题源自以下高考真题，是在高考真题的基础上加以探究、拓展与变式，融合知识，提升难度.

高考真题 （2018年高考数学全国卷Ⅰ理科第16题）已知函数f（x）=2sin x+sin 2x，则f（x）的最小值是.（答案：-3 32.）

高考真题中所求解的三角函数的最值问题，没有限制条件，相比更为简单.而以上问题通过合理设置，将解三角形问题与数列问题融合，给出自变量的取值范围，并在此基础上分别求解三角关系式的最大值与最小值，难度相比高考真题来说有较大的提升，而破解方法由于考虑到最大值与最小值的差别，思维切入有所限制.

5 解后反思

对于一些典型高考真题，在学生解决问题的基础上，教师可以有针对性地加以挖掘、融合、探究、拓展，引导学生联系教材，充分把握数学知识、数学思想方法的实质，真正形成有效的数学知识体系与思维方法，从而提升知识的掌握程度，拓展数学思维能力，培养良好的数学品质，培育优秀的人文精神.