探究方根本质 寻求问题解答

蒋飞

摘要：求平方根与立方根是最简单的开方运算，是实数运算的基础，也是学好后续内容（如二次根式、一元二次方程、勾股定理）的必备知识.在教师眼里，它内容单薄，不是教学的重点．但对于刚刚接触方根的初一学生来说，却是学习的难点，不易突破.其实，学好方根最为关键的环节是透彻理解方根的概念，将容易混淆的概念进行对比联系，反复练习．结合平方根、立方根有关典型问题的分类解析，培养学生的符号意识、抽象能力、运算能力、数据观念及应用意识等核心素养．

关键词：方根意义；分类解析；核心素养

1 用定义求方根

例1填空：5的平方根是；9的算术平方根是；3－27的立方根是．

分析：由平方根的定义知道正数的平方根是一对相反数，它们的平方等于被开方数，其中正的平方根是它的算术平方根；负数没有平方根，也不存在算术平方根；任何一个数都有立方根，其符号与原数的符号相同．

解：因为±52=5，所以5的平方根是±5；

因为9＝3，而3的算术平方根是3，所以9的算术平方根是3；

因为3－27=－3，又－3的立方根是－33，因此3－27的立方根是－33 ．

点评：正确理解平方根、立方根、算术平方根的定义是解题的基础，依据乘方与开方互为逆运算是解题的重要策略．

2 用方根定义解方程

例2解下列方程：

（1）5x－32=2014； （2）2x－13=686 ．

分析：把5x－32，x－13均看成an的形式，再根据乘方与开方互为逆运算求解．

解：（1）因为±922=814，所以5x－3=±92.则5x=3±92，即x=153±92，进一步解得x=32或x=－310.

（2）原方程可化为x－13=343.因为73=343，所以x－1=7，即x=8 ．

点评：解此类方程的实质还是求一个数的方根的运算，其解题过程是由繁到简的转化过程，即逐步化为xn=a的形式．

3 用方根性质求值

例3已知3x+2和2x－12是m的平方根，求m的值．

分析：一个正数有两个平方根，且它们互为相反数.互为相反数的两个数的和为0 ．

解：根据题意，分两种情况.

（1）因为3x+2和2x－12都是m的平方根，所以

（3x+2）与（2x－12）互为相反数.

所以（3x+2）+ （2x－12）＝0.

解得x=2，并代入m=3x+22中，得m=64；

（2）当3x+2＝2x－12时， x=－14，此时

m=3x+22=－402=1 600 ．

综上可得m的值为64或1 600 ．

点评：习惯上我们意识到一个正数有两个不同的平方根，但此处用代数式表示的两个数并非一定不相等，此处容易忽略3x+2与2x－12相等的情形．

4 用方根估算实数的大小

例4（1）估算8－40在哪两个自然数之间；

（2）比较－2+12与－3+12的大小；

（3）表示311的整数部分和小数部分．

分析：第（1）问中要估算8－40的大小，只需确定40在哪两个自然数之间；第（2）问中，只需比较分子的大小；第（3）问中，需将311把写成99的形式，再来估算解答.

解：（1）由36<40<49，即6<40<7，可得－7<－40<－6，所以1<8－40<2，即8－40在自然数1与2之间.

（2）因为2<3， 即2+1<3+1， 所以可得－2+12>－3+12.

（3）因为311=99，且81<99<100，所以9<311<10.因此311的整数部分为9，小数部分为311－9 ．

点评：估计一个数的算术平方根的大小时，应确定与这个数相邻的两个整数； 比较两个实数的大小时，先要统一标准，再比较大小．

5 用被开方数与结果的变化规律求值

例5（1）已知5.03=2.243，若x2=2 012，则x的值为；

（2）设2=a，3=b，用含a，b的式子表示0.54为．

分析：算术平方根与被开方数的变化规律，即被开方数的小数点每向右（或左）移动两位，则它的算术平方根的小数点相应地向右（或左）移动一位 ．

解：（1）因为5.03=2.243，所以503=22.43.而2 012=4×503，因此2 012=4×503=2503=2×22.43=44.86.

又±44.862=2 012， 所以x=±44.86.

（2）因为0.54=1100×54=1100×9×2×3，因此0.54=3102×3=3102×3=310ab．

点评：化简时，对于算术平方根中含有完全平方数的因数，可以移到根号外；移出时，去掉幂指数，即a2b=aba>0，b>0．

6 利用a的双重非负性解题

例6若a，b满足3a+5b=7 ，则S=2a－3b的取值范围是.

分析：由算术平方根的定义可得到算术平方根的非负性，即a≥0a≥0．解决此题把S视为一个常数，利用二元一次方程组的知识可求出a，b，再用非负数的知识求出S的范围．

解：记3a+5b=7，①

2a－3b=S.②

①×3+②×5，得19a=21+5S ，则21+5S≥0，解得S≥－215；

①×2-②×3，得19b=14－3S，则14－3S≥0，解得S≤143．

综上，可得－215≤S≤143．

点评：利用算术平方根的双重非负性，往往是挖掘题目隐含条件和进行求解的常用方法．这类问题有一定的综合性和难度，特别对于初学“实数”的学生来说要细心体会，从本质上把握．

7 练习设计

（1）已知x－2的平方根是±2，2x+y+7的立方根是3，求x2+y2的平方根；

（2）已知一个正数x的平方根分别为a+1和a－3，求x；

（3）解方程8x－13=27;

（4）已知实数a满足2011－a+a－2012=a，求a－20112的值；

答案提示：（1）x2+y2的平方根是±10；

（2）a=1， x=4；

（3）x=52；

（4）因为a≥2012，去绝对值得（a－2011）+a－2012=a，进一步化简求得a-2 0112＝2012．

例题教学要重视问题的变式，设计好问题之间的关联，如本文中的几个问题，在牢固掌握方根的概念及本质的前提下，由易到难，通过有层次有梯度的问题串联，进行概念的对比鉴别与运用，培养学生的符号意识、抽象能力、运算能力、数据观念以及应用意识等核心素养．