圆锥曲线中隐定点问题基本赏析

李杰

摘 要：本文从圆锥曲线中“隐定点”问题角度进行赏析，以看不见的“思维断档”——“隐定点”为例，归类分析让学生重视“隐定点”问题，学会看见数学问题的本质，将难解问题变得自然易解，从而提高学生的数学解题能力和核心素养.

关键词：定点问题;隐定点;最值问题

中图分类号：G632   文献标识码：A   文章编号：1008-0333（2022）10-0033-03

1 利用直接求根解“隐定点”定值问题

例1 平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：

x24+y23=1

的左、右顶点和右焦点分别为点A，B和F，直线l：x=my+t与椭圆C交于不同的两点M，N，记直线AM，BM，BN的斜率分别为k1，k2，k3.

若k1=3k3，求△FMN的周长.

解析 已知x=my+t，x24+y23=1，消去x，得

（3m2+4）y2+6mty+3t2-12=0.

解得y1=-3mt+23（3m2+4-t2）3m2+4，

y2=-3mt-23（3m2+4-t2）3m2+4.

因为k1=3k3，所以y1x1+2=3y2x2-2.

即2my1y2+（3t+6）y2-（t-2）y1=0.

代入化简，得

2m·3t2-123m2+4+（3t+6）·-3mt-23（3m2+4-t2）3m2+4-（t-2）·-3mt+23（3m2+4-t2）3m2+4=0.

化简，得

-（8t+8）3（3m2+4-t2）=24m（t+1）.

故t+1=0或-3（3m2+4-t2）=3m.

解得t=-1或t=±2（过顶点，舍）.

故直线l过椭圆左焦点，△FMN的周长为4a=8.

在解析几何中，有些几何量，如斜率、周长、面积等基本量和动点坐标或动线中的参变量无关，这类问题统称为定值问题.本例从k1=3k3入手，看到不可见的直线过隐定点——左焦点，只有这样三角形的周长才能是定值，否则两个变量求定值，很难实现.

本例还可以推广到一般性结论：

结论 已知椭圆左、右顶点分别为A，B，直线l：x=my+t与椭圆C交于不同的两点M，N，直線AM，BM的斜率分别为k1，k2，则k1k2=a-ta+t.

2 利用韦达定理解“隐定点”最值问题

例2 设双曲线C：x2a2-y2b2=1（a，b>0）的右顶点为A，虚轴长为2，两准线间的距离为263.

（1）求双曲线C的方程;

（2）设动直线l与双曲线C交于P，Q两点，已知AP⊥AQ，设点A到动直线l的距离为d，求d的最大值.

解析 （1）由虚轴长为2，知b=22.

由两准线间的距离为263，知a2c=63.

所以3a4=2c2=2（a2+b2）=2（a2+12）.

解得a2=1或a2=-13（舍）.

故双曲线方程为x2-2y2=1.

（2）①若动直线l的斜率不存在，则设l：x=t，代入双曲线方程可得

P（t，t2-12），

Q（t，-t2-12）.

由AP⊥AQ，可得

（t-1）2-t2-12=0.

解得t=3或t=1（舍）.

此时点A到l的距离为d=2.

②若动直线l的斜率存在，则可设P（x1，y1），Q（x2，y2），直线l：y=kx+t，代入双曲线方程可得 （1-2k2）x2-4ktx-（2t2+1）=0.

则x1+x2=4kt1-2k2，x1x2=-2t2+11-2k2.

由AP⊥AQ，知（x1-1）（x2-1）+y1y2=0.

由y=kx+t可知

（x1-1）（x2-1）+（kx1+t）（kx2+t）=0.

化简，得

（1+k2）x1x2+（kt-1）（x1+x2）+t2+1=0.

将x1+x2=4kt1-2k2，x1x2=-2t2+11-2k2代入，

化简，得 （3k+t）（k+t）=0.

若k+t=0，则直线经过右顶点A，舍去;

故3k+t=0.

即直线经过定点M（3，0），则d

（2p+x0，-y0）.

当点为M1，2时，直线AB过定点（5，-2）.

所以MA·MB=AB·d，

AB=1+m2·16m2+16（2m+5），

d=4m+41+m2，

所以m+1·m2+2m+5=42.

所以（m+1）2[（m+1）2+4]=32.

解得（m+1）2=4或（m+1）2=-8（舍）.

所以m=1或m=-3.

本题是一道探究性问题，由解法2看出此题在设置的过程中是利用“隐定点”结论来倒置探究性问题，这个“隐定点”问题难度较大，需要学生积累大量经验，同时还要有很强的数字感知能力.

4 利用定义法解“隐定点”定点问题

例4 已知椭圆C：x216+y212=1，左顶点为A，右焦点是F，点P是椭圆C上的点（异于左右顶点），M为线段PA的中点，过点M作直线PF的平行线l，延长PF交椭圆C于点Q，连接AQ交直线l于点B.

（1）求证：直线l过定点;

（2）是否存在定点D1，D2使得BD1+BD2为定值？若存在，求出点D1，D2坐标;若不存在，说明理由.

解析 （1）由题意知：

A（-4，0），F（2，0）.

设點P（x0，y0），则M（x0-42，y02）.

当x0≠2时，直线l的方程为

y-y02=y0x0-2（x-x0-42）.

即y=y0x0-2（x+1）.

当x0=2时，直线l的方程为x+1=0，直线l过定点D2（-1，0）.

（2）存在定点D1（-3，0），D2（-1，0）满足题意.

由（1）得D2B=12FQ.

记椭圆C左焦点是F′（-2，0），

则AF′的中点为D1（-3，0）.

又点B为AQ的中点，得

D1B=12QF′.

所以D1B+D2B=12（F′Q+FQ）=4.

综上存在定点D1（-3，0），D2（-1，0）满足题意.

在数学学习上，我们不仅要看懂定理的证明，更要努力去思考当时这条定理是怎么被想出来的，最原始的思路是什么.只有这样，我们才能面对像例4这样问题时从被动地接受，变为主动地探索.

新课程数学课程标准中将传统的“双基”（基础知识、基本技能）发展为“四基”（基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验），这新增的基本思想和基本活动经验，就是要引导我们在教学中关注那些潜在的、隐性的数学素养.基本活动经验从本质上看是培养学生的一种数学直觉.基本思想中所说的抽象、推理和模型都是人的一般思维方式，它们对于人的影响远远超越数学学科.从人的长远发展来看，这些远比知识和技能本身更重要，意义更深远.

参考文献：

[1]

陈德燕.让数学解题的思维过程更为理性——谈数学理性思维的培养[J].福建中学数学，2016（10）：24-27.

[2] 钱军先.例谈稚化思维的教学策略[J].中学数学教学参考，2016（Z1）：38-42.

[责任编辑：李 璟]