借助构造法 解答高考数学题

杨蓓蓓 王佳

摘 要：高中数学解题中基于对数学问题本质的深入把握，构造相关的函数关系，揭示相关规律，有助于学生迅速找到解题突破口，实现解题效率的提高.本文结合高考中的具体习题，探讨构造法在解题中的具体应用，以指引学生更好地解题.

关键词：构造法;高考;数学习题;解答

中图分类号：G632   文献标识码：A   文章编号：1008-0333（2022）10-0021-03

近年来高考数学习题对构造法的考查较为频繁.很多学生不注重构造法的应用，导致在解题中走了不少弯路，因此，教学中为使学生认识到构造法在解题中的重要性，掌握运用构造法解题的相关技巧与细节，有必要为学生讲解构造法在高考数学解题中的应用.

1 构造法解不等式习题

不等式是高中数学的重要知识点，相关习题的解题思路灵活多变.教学中为避免学生思维定势，掉进命题人设置的陷阱之中，既要注重与学生一起总结不等式习题解答思路，又要示范构造法的应用，使学生体会构造法在解题中的便利，更好地把握相关习题特点，逐渐提升其运用构造法解题的意识.

例1 （2020年全国Ⅱ卷第12题）若2x-2y<3-x-3-y，则（  ）.

A.ln（y-x+1）>0   B.ln（y-x+1）<0

C.ln|x-y|>0D.ln|x-y|<0

該题目给出的已知条件较为简单，但却考查了指数函数、对数函数、函数单调性、构造法等知识点，是一道不错的好题.

解析 因为2x-2y<3-x-3-y，

所以2x-3-x<2y-3-y.

令f（t）=2t-3-t，因为2t为增函数，-3-t为增函数，所以f（t）为增函数.

又因为f（x）=2x-3-x

例4 （2020年全国Ⅰ卷）已知函数f（x）=ex+ax2-x.

（1）当a=1时，讨论f（x）的单调性;

（2）当x≥0时，f（x）≥12x3+1，求a的取值范围.

该题目中的第（1）问考查学生灵活运用导数研究函数单调性问题，第（2）问考查学生运用构造法求函数最值问题.

解析 （1）因为f（x）=ex+x2-x，则

f ′（x）=ex+2x-1.

则f ″（x）=ex+2>0.

所以f ′（x）在R上单调递增.

又因为f ′（x）=0时，x=0，

則当x<0时，f ′（x）<0;

当x>0时，f ′（x）>0.

即f（x）的递减区间为（-∞，0），递增区间为（0，+∞）.

（2）当x=0时，f（x）=1≥1成立，此时a∈R;

当x>0时，由f（x）≥12x3+1整理，得

a≥12x3+x+1-exx2.

令h（x）=12x3+x+1-exx2，

问题转化为求h（x）的最大值，则

h′（x）=（2-x）（ex-12x2-x-1）x3.

因为x>0，因此h′（x）的正负号和2-x，ex-

12x2-x-1有关.

令g（x）=ex-12x2-x-1，

则g′（x）=ex-x-1，g″（x）=ex-1>0，表明

g′（x）单调递增.

又因为g′（0）=ex-x-1=0，

所以当x>0时，g′（x）>0，

因为g（x）min=g（0）=0，

所以当x>0时，g（x）>0.

当0