一类以导数为背景的高考题的解法研究

2022-04-28 03:49李昌成
数理化解题研究·高中版 2022年4期
关键词:解法导数

李昌成

摘 要:导数是数学高考压轴题,有一类导数题按照常规解法很难求得最值,或最值的临界值.高考参考答案也不易理解,若用洛必達法则辅助解答,问题难度猛然下降.实践研究表明,这类题题型结构及解题步骤相对固化,深入研究可以突破这类题目.

关键词:导数;洛必达法则;解法

中图分类号:G632   文献标识码:A   文章编号:1008-0333(2022)10-0009-03

多年来,数学高考卷无论文科还是理科,无论是地方卷还是全国卷,均以导数作为压轴题.题目通常难度较大,仅仅依靠高中所学的导数知识,解答经常搁浅.很多函数问题均可等价转化后,多次构造新函数,再多次求导,利用洛必达法则求端点临界函数值的“最值”,最后得到参数的范围.下面我们分类展示一些经典高考题.

类型1 分离参数构造函数后,用洛必达法则保障范围的完整性.

例1 (2018年全国高考Ⅱ卷理科21题)已知函数f(x)=ex-ax2.

若f(x)在(0,+∞)只有一个零点,求a.

解析 由零点概念知,f(x)只有一个零点就是f(x)=0只有一个解.即ex-ax2=0只有一个解.

因为x∈(0,+SymboleB@),所以a=exx2.

令m(x)=a,n(x)=exx2.

问题等价转化为求两函数只有一个交点时,a的值.

对n(x)=exx2求导,得

n′(x)=exx2-2exxx4=exx3(x-2).

当x>2时,n′(x)>0,

当0

因此n(x)=exx2在(0,2)上单调递减,在(2,+SymboleB@)上单调递增.

所以n(x)min=e24.(*)

如图1,当x→0时,x2→0,ex→1,

所以n(x)→+SymboleB@.

又limx→+SymboleB@exx2=limx→+SymboleB@ex2x=limx→+SymboleB@ex2=+SymboleB@.

当a

当a=e24,m(x)与n(x)只有一个交点;

当a>e24,m(x)与n(x)有两个交点.

因此a=e24.

评注 这种解法只需要学生对洛必达法则有一定认识就可以掌握,整个流程逻辑严谨、思维连贯、顺理成章.这类题目的结构相对稳定.值得一提的是,很多学生会将(*)以后的解题过程忽略,这是不严谨的,为什么呢?请读者思考.

类型2 分离参数构造函数,多次求导,用洛必达法则求新函数最小值的临界值.

例2 (2017年全国高考Ⅱ卷文科21题) 设函数f(x)=(1-x2)ex.当x≥0时,f(x)≤ax+1,求a的取值范围.

解析 当x=0时,a可取任何实数.

当x>0时,f(x)≤ax+1,

整理,得a≥(1-x2)ex-1x.

令h(x)=(1-x2)ex-1x,

对h(x)求导,得

h′(x)=ex(-x3-x2+x-1)+1x2.

再令g(x)=ex(-x3-x2+x-1)+1,

对g(x)求导,得

g′(x)=ex(-x3-4x2-x).

当x>0时,g′(x)<0,

因此g(x)在(0,+SymboleB@)上单调递减.

所以h(x)的最大值临界值为h(0).

由洛必达法则,得

limx→0(1-x2)ex-1x=limx→0ex(-x2-2x+1)=1.

所以a的取值范围是[1,+SymboleB@).

评注  分离参数后,通过多次求导,逐层判断单调性,最后借助洛必达法则求得端点值得到参数取值范围,思路简洁.本题高考给出的答案高深莫测,逻辑上让中学生难以接受,尤其是分类讨论的标准不易理解.有兴趣的同仁可以查阅对比研究.

类型3  分离参数构造函数,多次求导,用洛必达法则求最大值临界值.

例3  (2016年全国高考Ⅱ卷文科20题)已知函数f(x)=(x+1)lnx-a(x-1).若当x∈(1,+SymboleB@)时,f(x)>0,求a的取值范围.

解析 f(x)>0,即(x+1)lnx-a(x-1)>0.

由于x∈(1,+SymboleB@),所以a<(x+1)lnxx-1.

设h(x)=(x+1)lnxx-1,

则h′(x)=-2xlnx+x2-1x(x-1)2.

再设φ(x)=-2xlnx+x2-1,

则φ′(x)=-2lnx-2+2x,

φ″(x)=-2x+2.

由于x>1,所以φ″(x)>0,

于是φ′(x)在(1,+SymboleB@)上单调递增,

所以φ′(x)>φ′(1)=0,

进而φ(x)在(1,+SymboleB@)上单调递增,

所以φ(x)>φ(1)=0,

因此h′(x)>0,

进而h(x)在(1,+SymboleB@)上单调递增,

所以h(x)>h(1).

由洛必达法则,得

limx→1(x+1)lnxx-1=2.

所以a的取值范围是(-SymboleB@,2].

类型4 分类讨论,分离参数构造函数,用洛必达法则求最大值和最小值的临界值.

例4  (2017年全国高考Ⅲ卷理科第21题)已知函数f(x)=x-1-alnx.若f(x)≥0,求a的值.

解析 当x=1时,a∈R.

当x>1时,lnx>0,

f(x)≥0等价转化为a≤x-1lnx.

设λ(x)=x-1lnx,

则λ′(x)=lnx-x-1xln2x.

再设h(x)=lnx-x-1x

=lnx+1x-1

则h′(x)=1x-1x2=x-1x2>0.

于是h(x)在(1,+SymboleB@)上单调递增.

所以h(x)>h(1)=0,

因此λ′(x)>0.

所以λ(x)在(1,+SymboleB@)上单调递增,

于是λ(x)>λ(1).

由洛必达法则,得limx→1x-1lnx=limx→111x=1.

所以a≤1.

同理,当0

综上,a=1.

评注  本题与前面几例比较,有两个特征:一是受lnx的正负影响,不能直接分离参数,需要討论,但由于问题的“对称性”仅需完整解答一次即可;二是表面上是求值问题,但实际上还是求范围问题.

类型5 分离参数,“递进式”求导,用洛必达法则求最大值的临界值.

例5 (2010年全国高考Ⅱ卷理科第21题)已知函数f(x)=ex-1-x-ax2.若当x≥0时,f(x)≥0,求a的取值范围.

解析 当x=0时,a∈R.

当x>0时,f(x)≥0等价转化为a≤ex-1-xx2.

令h(x)=ex-1-xx2,

则h′(x)=(x-2)ex+x+2x3.

令m(x)=(x-2)ex+x+2,

则m′(x)=(x-1)ex+1.

则m″(x)=xex.

因为x>0,所以m″(x)=xex>0.

于是m′(x)在(0,+SymboleB@)上单调递增.

所以m′(x)>m(0)=0.

所以m(x)在(0,+SymboleB@)上单调递增.

所以m(x)>m(0)=0,

进而h′(x)>0.

所以h(x)=ex-1-xx2在(0,+SymboleB@)上单调递增.

而limx→0ex-1-xx2

=limx→0ex-12x

=limx→0ex2=12,

所以a≤12.

评注 本题求导的目的性很明确,就是要让m″(x)=xex出现,事实上每次求导ex的系数增加1,我们可以简称“递进式”求导.但是没有发现此规律的同学可能半途而废.

正如波利亚所说“当你找到第一个蘑菇或作出第一个发现后,再四处看看,它们总是成群生长”.这类给定范围下的求参数范围的导数压轴题,只要被分离部分易于判断其正负,就能分离参数,构造函数,多次反复求导,我们可以借助洛必达法则模式化做答,不再为思路发愁,不再为所需最值或最值的临界值迷茫.但是,像“2020年新高考Ⅰ卷第21题:已知函数f(x)=aex-1-lnx+lna.若f(x)≥1,求a的取值范围.”这类不易分离参数的题目,不适合用这种解法处理.

参考文献:

[1]

许峰,范自强.高等数学(上册)[M].北京:人民邮电出版社,2016.

[2] 任志鸿.十年高考[M].北京:知识出版社,2018.

[责任编辑:李 璟]

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