一阶微分方程存在特混型积分因子的新充要条件

樊豫陇，王明建

(黄河交通学院 基础教学部,河南 焦作 454950)

文[1]给出一阶微分方程[2]

P(x，y)dx+Q(x，y)dy=0

(1)

1 几个引理

引理1[4]方程(1)存在积分因子μ=μ(x，y)的充要条件是

(2)

其中μ=μ(x，y)，P=P(x，y)，Q=Q(x，y)在区域D上都是非零的连续可微函数.

引理2[5]如果P=P(x，y)，Q=Q(x，y)都是区域D上的m次齐次二元函数，那么存在非零t，使得

P(tx，ty)=tmP(x，y)

(3)

及

Q(tx，ty)=tmQ(x，y)

(4)

引理3[6]如果函数P=P(x，y)，Q=Q(x，y)满足引理2的条件，那么

(5)

证明式(3)两边对t求偏导，得

(6)

式(6)两边同乘以Q，得

(7)

同理，对式(4)两边t求偏导，并乘以P得

(8)

由(7)、(8)两式可得式(5)成立.

引理4[7]记函数f=f(x，y)=P(tx，ty)-tmP(x，y)(t≠0)，那么

(9)

证明显然f是区域D上的连续可微函数，对f中t求偏导得

(10)

式(10)式两边同乘以Q即得式(9)成立.

引理5[8]设函数g=g(x，y)=Q(tx，ty)-tmQ(x，y)(t≠0)，那么

(11)

引理6[9]设f=f(x，y)=P(tx，ty)-tmP(x，y)，g=g(x，y)=Q(tx，ty)-tmQ(x，y) (t≠0)，那么f，g是偏微分方程

(12)

的解

证明由等式(9)及(11)，即得式(12)成立.

2 主要结论及证明

定理1 如果偏微分方程

(13)

xP+yQ≠0且P，Q是同次的齐次式

(14)

证明充分性.因为

(15)

(16)

由引理3知(15)、(16)两式相等，再由引理1知充分性成立.

必要性.由式(15)=式(16)得到

(17)

由式(17)、(9)及(11)知方程(13)有解f，g(其中f=f(x，y)，g=g(x，y)是D上的连续可微函数)，由假设知f，g为零解，所以必要性成立.

类似可得结论

定理2 如果偏微分方程

(18)

xP-yQ≠0且P(x，y)=yP1(xy)，Q(x，y)=xQ1(xy)

(19)

这里P1，Q1都是区域D上的连续可微函数.

如果记文[1]中定理1为定理1′，则不难证明

定理3 定理1不等价于定理1′.

3 应用举例

例1[10]求方程(y2-3xy-2x2)dx+(xy-x2)dy=0的通解.

例2[11]求方程(y3-xy2-x2y)dx+(x3-x2y-xy2)dy=0的通解.

注例1和例2说明定理1与定理1′一般不等价.例1当且仅当x=0或y=x时两定理等价，例2当且仅当x=0，或y=0，或y=±x时两定理等价.