以《函数的奇偶性》为例探析高中数学概念课教学

【摘要】本文以《函数的奇偶性》为例，论述高中数学概念课教学途径，从“初识概念”“认识概念”“理解概念”“总结概念”等四个维度，结合教学实践进行具体阐述，以期达到提升高中数学教学效果，实现学生核心素养提升及教师专业水平发展的目标。

【关键词】高中数学 概念课 《函数的奇偶性》 教学策略

【中图分类号】G63 【文献标识码】A

【文章编号】0450-9889（2022）02-0135-03

数学概念是数学理论的奠基石，要想提高数学素养，必先掌握数学概念，以此为基础展开各种数学实践。数学概念课的教学策略研究是为了运用概念解决实际问题，以此提高学习者的数学学科核心素养，为其今后的发展打下良好的基础。

高中数学概念多且复杂，教师在进行概念教学时，需要适当考虑数学概念的发生过程，创设并有效依托具体情境，着重关注抽取概念特征的过程。在从情境中抽取概念内涵的过程中，教师要不断提问、质疑，通过言语引导学生感知概念，让学生体验概念产生的过程，帮助学生学会从具体情境感知概念，提高学生的思维能力。笔者根据多年来的教学实践，以高中数学必修1第二章《函数的奇偶性》为例，以增强学生参与和交流为目标，探索符合高中数学教学要求的概念课的教学目标，以期达到提升高中数学教学效果，实现学生核心素养的提升以及教师专业水平的发展。下面笔者从“初识概念”“认识概念”“理解概念”“总结概念”等四个维度进行阐述，呈现高中数学概念课教学实施的策略。

一、初识概念——依托具体情境，獲得初步感知

学习一个新的数学概念，最好是从实际生活中的问题开始。教师可以创设与此概念相关的情境，提出相关数学问题，再展示与此概念有直接关联或特殊意义的例子，让学生初步认识概念，获得初步的感性认识，对这个新概念有初步的理解。在本课例中，笔者先展示与本课数学概念紧密联系的对称的图片（如图1所示），而且这些图片也是生活中比较常见的，利用两个问题引导学生归纳这些图片的特征。

问题1：你能找出这一组图片的共同特征吗？

问题2：你能找出哪些图形是轴对称或中心对称吗？你能找出对称轴或对称中心吗？

设计意图：通过生活中常见的例子使学生感知对称，同时引导学生学会用数学思维去观察生活中的事物，顺利地引入课题。

接着，笔者利用平面直角坐标系把这些图片引入数学领域，引导学生发现这些图片是关于y轴或原点对称的。

笔者从之前展示的图片中，找出一个关于y轴对称的图形和一个中心对称图形，并在平面直角坐标系中展示出来，让学生注意观察，分别找出它们的特征，如图2、图3所示。学生很快发现，第一个图形是轴对称图形，关于y轴对称，第二个图形是中心对称图形，关于原点对称，两种对称的图象在y轴上的射影都是关于原点对称的。

设计意图：通过这两种对称，让学生感知轴对称和中心对称的特点，它们在x轴上的射影是关于原点对称的，逐步向新课靠近，为新课教学做好铺垫，同时也让学生感知这节新课是与对称有关的。

二、认识概念——自主探索，概括概念

在教学实践中，有部分教师将概念引入课堂就认为已经完成了这个概念的教学，这是错误的。要想让学生有更深入的理解，教师还需要引导学生进行自主探索，让他们自己概括导出概念，从而更深刻地认识概念。教师可以带领学生一起理顺概念的脉络，挖掘概念的内涵和外延，分析重点、难点等。

在本课例中，学生已经通过之前的学习找出了图片中的对称关系，对对称的概念有了感性认识。接着，笔者通过两个具体例子，引导学生进一步认识概念。

教师作出函数y=x2图象（如图4所示），再引导学生观察表1，找出函数的特点。

学生经过观察，发现有以下等式成立。

f（-1）=f（1）=1.

f（-2）=f（2）=4.

f（-a）=f（a）=a2.

进而猜想：f（-x）=f（x）.

教师作出函数y=[x]的图象（如图5所示），再引导学生观察表2，找出函数的特点。

学生经过观察，发现有以下等式成立。

f（-3）=f（3）=3.

f（-2）=f（2）=2.

f（-1）=f（1）=1.

由此猜想：当自变量x在定义域内任取一对相反数时，相应的两个函数值相等，即f（-x）=f（x），且图象关于y轴对称，这样称这个函数为偶函数。所以y=x2、y=[x]是偶函数。

以上是从具体函数来引出偶函数的概念，下面要从特殊到一般引出偶函数的概念。经过学生回答及教师补充，得出偶函数的概念及其特征。

偶函数概念：设函数f（x）的定义域为D，如果对于[∀]x∈D，都有-x∈D，且f（-x）=f（x），则这个函数y=f（x）叫做在D内的偶函数。

同理，得出奇函数的概念：设函数f（x）的定义域为D，如果对于[∀]x∈D，都有-x∈D，且f（-x）=-f（x），则这个函数y=f（x）就叫做在D内的奇函数。

得出奇偶函数的概念后，教师再和学生进一步理清概念的脉络，挖掘概念的内涵和外延，分析重点、难点，突出思想方法等，很多教师往往忽略这一步而直接进入例题讲解，造成学生对概念理解不清。

笔者带领学生理清概念脉络，得出如下结论。

（一）如果一个函数y=f（x），x∈D具有奇偶性：它的定义域一定是关于原点对称，即对于[∀]x∈D，则-x∈D。

（二）若y=f（x）为奇函数，则f（-x）=-f（x）成立，其图象关于原点对称;若y=f（x）为偶函数，则f（-x）=f（x）成立，其图象关于y轴对称。

（三）如果一个函数y=f（x），x∈D具有奇偶性，那么这个函数y=f（x），x∈D是奇函数或偶函数，是函数的整体性质。

（四）一个函数y=f（x），x∈D可以既是奇函数也是偶函数，也可以不是奇函数也不是偶函数，简称为非奇非偶函数。

这样，学生进一步明确函数奇偶性的概念，不论从数学符号的角度，还是从图象的角度，都有了清晰的认识，消除了心中疑虑。

三、理解概念——借助实战演练，论证概念

学生进一步认识数学概念之后，需要理解这个概念。笔者认为，教师借助实战演练，与学生合作探究论证概念，是一个很奇妙的過程，师生均可以感受到这个概念产生、解决问题的过程，从而感受科学探究带来的成就感。

借助实战演练具体来说就是通过与此概念相关的具数学实例进行练习，进一步理解和巩固数学概念的内涵和外延。应用数学概念解决生活生产中的数学问题是数学概念教学的主要目标，也是一个重要环节。在此过程中，最好能让学生先体验，找到方法和易错点，师生再共同总结这个环节是否成功，从而促进学生对数学概念的理解，提高学生的解题能力。

在本课例中，通过前面学习，学生已经深刻认识了函数奇偶性概念，接下来笔者与学生一起论证概念，主要是通过例题讲解和练习，一共有两种题型：题型一是用定义判断下列函数的奇偶性，师生共同完成，并总结解这一类题型的步骤，即一看定义域是否关于原点对称，二计算f（-x）=±f（x）是否成立，三判断函数的奇偶性，得出结论;题型二是根据函数图象判断函数的奇偶性，主要考查图象对称性及定义域是否关于原点对称。

四、总结概念——基于已有认知，巩固概念

高中数学教师在进行概念课教学时，还应在一个章节教学结束后，引导学生基于已有认知，理顺知识之间的关联，建立概念间的联系，组织和更新已学过的概念，使已学知识条理化、系统化，进一步巩固概念，从而实现将课本中的知识转变为自身的能力，实现知识的迁移与应用，为提高数学素养打下坚实的基础。另外，教师除引导学生通过实例巩固外，还可以通过反例、错解等引导学生进行辨析，这样的教学对巩固数学概念也有很大的帮助。

本课例中，在完成例题及练习后，师生共同小结，学生讲述，教师补充，获得结果如表3所示。

在本课例的最后，教师可以与学生一起进行反思，达到巩固所学数学概念目的。

第一，本节课的重点是函数奇偶性的概念及对函数奇偶性的判定。对刚进入高中的新生来说，由于初中数学学习更注重具体数学运算，因而他们的数学逻辑推理能力较弱，很多高一学生还弄不清代数形式的证明。因此，本课的学习难点是函数的奇偶性的证明。教学的关键是通过具体生活情境，结合直观的图形，充分应用数形结合的数学思想，让学生从感性认识转变为理性认识，真正掌握数学概念的内涵。

第二，强调函数的定义域D关于原点对称是这个函数具有奇偶性的必要条件，在判定函数的奇偶性时，首先应该求出函数的定义域。

至此，才算完成函数奇偶性概念的讲解：从生活中的情境找出对称图象，在直角坐标系中展示图片，得出对称关系;再从特殊函数引出关系，得出一般的函数奇偶性概念;最后归纳总结，巩固概念，形成数学素养，获得解题的一般方法。

高中数学概念课的教学方法多种多样，但是其教学目标是一致的，即要通过教学使学生明确以下内容：第一，要明确高中数学概念产生背景、发展过程及形成名称，此概念主要讨论的对象是什么，不能模棱两可;第二，概念中有哪些规定和限制的条件;第三，概念表述的语言有何特点;第四，用数学符号如何表达，与其他概念比较，有没有容易混淆的地方，应当如何加以区别;第五，此概念有没有等价的表述，是怎样表述的;第六，运用此概念能解决哪些实际的数学问题。

本文以《函数的奇偶性》概念课教学为例，创设合理的情境，引导学生参与学习，在潜移默化中培养和提高学生的数学学科核心素养。在高中数学概念课的教学中，教师要选择适当的教学方法，创造性地使用教材，激发学生的兴趣爱好，使其爱上数学，最终达到认识数学思想和数学概念本质的目的，实现学生核心素质的提升以及教师专业水平的发展。

参考文献

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作者简介：江妙浩（1977— ），广西南宁人，硕士研究生，一级教师，研究方向为数学教育。

（责编 刘小瑗）