“六性”：让复习题撬动学生的数学思维

郭红敏

[摘  要] 有效的复习题不仅可以帮助学生巩固数学知识和技能，还可以有效发展学生的数学思维，提升学生的数学思维品质。文章从复习题的“自主性”“针对性”“综合性”“开放性”“迁移性”“文化性”这几个方面，探讨其与数学思维发展之间的关系。

[关键词] 复习题;数学思维;六性;整理与复习

数学习题是巩固所学知识，形成基本技能，提高解决问题能力，发展数学思维，沟通数学与生活的联系，培养数学情感的重要途径。在人教版六年级下册的“整理与复习”教学中，如何让学生落实“四基”且有效发展和提高“四能”？复习题的设计和甄选尤为重要。本文从习题设计原则与学生思维发展之间的紧密联系探讨如何设计习题让学生的数学思维得到发展。

[⇩] 一、自主性复习题，让思维更具批判性

自主性是指学生按自己的意愿行事的动机、能力或特性。在教学“整理与复习”时，设计的复习题要能引起学生自主探究、自主参与的强烈意愿，在已有的认知水平上找到新的生长点，将知识点有机地串联起来，形成新的数学活动经驗，让学生自主思考，产生新的想法，提出疑问，让学生的批判性思维得到发展，让学习真正发生。如复习平面图形时，笔者给出问题：在长为12.4cm，宽为7.2cm的长方形纸中，剪半径是1cm的圆，能剪多少个？画一画，剪一剪。（人教版六年级下册第90页第7题）

学生通过画一画、剪一剪等操作活动发现：在长方形里剪出固定大小的圆，不能直接用长方形面积除以圆面积得出可剪圆的个数。由于有长方形面积计算公式推导的活动经验，学生会想到方中圆，正方形的边长即圆的直径，长方形的长有几个正方形边长，就表示一排可以剪几个圆;长方形的宽有几个正方形边长，就表示可以剪几排。学生最终通过计算发现：12.4÷2=6（个）……0.4cm，7.2÷2=3（行）……1.2cm。一排可以剪6个，有3排，利用这样的剪法，可以剪6×3=18个，如图1。

自主性的复习题给了学生思维的活动空间、方法的分享空间。学生在交流中碰撞经验，于是就会产生疑问：如果圆与圆交错相拼，会不会摆放更多的圆？问题是让学习真实发生的内驱力，学生主动参与解决问题，通过再一次的画一画、剪一剪等实践操作，可以体会到圆与圆之间两两相切拼摆后不同的结果：第一行剪6个，第二行剪5个，剪出4行这样的圆，共有6+5+6+5=22个，如图2。

[⇩] 二、针对性复习题，让思维更深刻

针对性是指在复习过程中，根据学生知识储备的差异，从教材和学生的实际出发，设计适合学生发展的学习内容。在教学“整理与复习”时需要因材施教，既要顾虑班级里大部分学生的学习情况，又要满足小部分学生的学习需求，所以设计复习题要做到“三针对”：

1. 针对不同层次的学生

通过作业反馈等方式了解全体学生及个别学生的知识储备情况。习题要由浅入深，由易到难，循序渐进，让每一层次的学生都能在关键处“练”，在生长点上“习”，让每一位学生的数学思维能力都能在已有的水平上提升。如复习百分数时出示：商场搞活动，所有服饰类物品一律八折销售。（1）一套西服原价950元，现在多少钱可以买到？（2）一条连衣裙原价700元，实际买到时节约了多少钱？（3）李阿姨买了一件羊毛衫，省了120元。这件羊毛衫原价应是多少钱？

这是一道典型的百分数应用的练习题，但是却分成了不同难度的三个小题，各小题的练习目标依次是巩固“已知一个数，求这个数的百分之几是多少”“一个数减去它的百分之几是多少”和“已知一个数减去它的百分之几后的得数，求这个数”。这样的题组设计，先是顺向思维，巩固基础知识，后是逆向思维，提升思考能力，满足了不同层次学生的练习需求。

2. 针对知识的易混淆处

六年的数学知识细碎繁杂，概念抽象，学生易混淆。但这是复习的重点，具体的操作方法是厘清相关知识的前瞻和后延，针对学生出现的典型错误，进行对比练习，让他们在比较中抓住数学本质，抽丝剥茧般地领悟数学知识所蕴含的思想方法。如复习比和比例时出示：

（1）一项工程，甲完成要5小时，乙完成要4小时，甲、乙两人的工作效率比是________。

（2）从甲地到乙地，客车要行1/4小时，货车要行2/3小时，客车与货车的速度比是________。

由于工作总量一定，工作时间和工作效率成反比，甲、乙两人的工作时间的比是5∶4，所以甲、乙两人的工作效率比是4∶5，同理可以解决第（2）题。这样针对易混淆的知识进行对比练习，易于化浊为清，明晰概念。

3. 针对知识的重难点处

数学知识不是孤立存在的，彼此间既有层次，又有关联，而重难点知识好比“神经元”，各种细小的基础知识连起来好比“神经纤维”，只有凸显出“神经元”，知识网状的整体性才得以明晰。针对性地复习重难点知识，有利于强化学生对知识的结构性的认识，让其数学思维变得有序且深刻。如复习平面图形的面积时出示：如图3，在方格纸上画出与给定的平行四边形面积相等的图形，你能画出几个？你发现了什么？

此题主要沟通不同平面图形形状不同、面积相同时底和高之间的关系。学生通过观察长方形、正方形、三角形、梯形、平行四边形的面积，从而得出它们都可以用（a+b）h÷2的面积计算公式，进而体会“变中不变”的思想，发展空间观念。

[⇩] 三、综合性复习题，让思维更灵活

综合性是指将不同的知识融合在一个情境之中。创设综合性的复习题，是为了更好地激发学生的求知欲，提高复习的效率，同时让学生在解决问题中培养思维的灵活性。

1. 数学与实际生活相融合

以现实世界为背景和实际生活问题为引导，带动知识点的复习，既能解决实际问题，培养学生的数学思维能力，又能激发学习兴趣，变枯燥为生动，促进学生的学习可持续发展。如在整理复习“统计与概率”这一相关知识时，教师结合“新冠疫情”来设计复习题：以收集的2020年2月3日—2月13日全国30个省区市和新疆生产建设兵团新冠肺炎新增确诊病例数量为例（如图4，数据来源：国家卫生健康委员会官方网站），要求学生绘制统计图，分析数据，谈发现、说感想和提建议。

学生在经历统计的过程中，复习了数据的收集、整理和分析的步骤与方法，同时，进一步认识了统计的现实意义，感受了统计与生活的紧密联系，并能引发对数据变化正确预测的思考。

2. 数学与其他学科相融合

数学不是一门孤立的学科，而应融入各学科组成的大知识之中，所以要关注数学与其他学科的融合，要让学生善于应用数学和喜欢数学。设计与多学科相融合的复习题，也是增强学生综合能力的一种手段。如复习体积时出示：怎样测量一个马铃薯的体积？对于不规则物体的体积测量，需要用到转化的思想，转化的途径多样，用得较多的是物理的方法——排水法。而要利用这一方法测出马铃薯的体积，学生需要对实验程序有一定的统筹与安排。①杯中放入部分水，测量出水的高度h1;②将马铃薯完全浸没于水中，记录水的高度h2;③用皮尺测量出杯底周长，从而推算出半径r;④根据水排开的体积就是马铃薯的体积，利用V=Sh=πr2（h2-h1），求出其体积。将数学与物理相结合，体会知识间的关联性，也为学习初中物理利用排水法求相关物体密度等知识积累活动经验。

3. 数学内部知识间相融合

数学知识间具有逐步递进的关系，有着一定的合理的认知结构。复习题应注重内部知识间的融合，教师应将一道题精讲、讲透、讲活，由此真正提高复习的效率。比如教学等底等高的长方体、正方体、圆柱和圆锥的体积时，设计复习题：如果圆柱体积是1立方分米，则圆锥的体积是多少？圆锥的底面积是多少？那么，正方体的表面积又是多少？如果圆锥体积要和长方体的体积相等，高度应该怎么变化？要使高度不变，圆锥的底面积又和正方体的底面积成什么关系？同一道题，不同的切入点，就有不同的思维深度。

[⇩] 四、开放性复习题，让思维更具独创性

开放性是指学生不拘泥于单一内容和形式，解决问题时可以有不同的方式，也可以得到不同的答案。复习中，开放的题型以意识的创新为引导，以思维的新度为侧重点，以思维的发散为核心。培养学生思维的独创性，大致分为以下三类：

1. 条件开放，一题多变，培养举一反三的能力

通过改变条件，题型变得接近却又不尽相同，学生在变式中厘清概念，追本溯源，能够有效克服定式思维的负迁移，从而培养举一反三的能力。

题1  一根绳子被剪成两段，第一段长米，第二段占全长的，这两段绳子相比（    ）。

A. 第一段长 B. 第二段长

C. 一样长 D. 无法比较

题2  两根同样长的绳子，第一根剪去它的米，第二根剪去它的，剩下的两段绳子相比（    ）。

A. 第一段长 B. 第二段长

C. 一样长 D. 无法比较

类似的情境，数据相同，求解时都需要真正去理解单位“1”的含义。学生只有通过变化个别条件，进行对比练习，才能做出正确的选择。

2. 方法开放，一题多解，培养发散变通的能力

方法的开放可以理解为解决问题的多元化，多元化并不是形式的多元，而是新思路、新视角的多元。但是有时并不是思路越多样越好，而是应在“优化”的前提下，重视方法间的比较，引导“多元化”的达成，这才是思维发散变通的本质。

如数学书90页的第11题：把一个棱长6cm的正方体切成棱长2cm的小正方体，可以得到多少个小正方体？它们的表面积之和比原来大正方体的表面积增加了多少？

对于第二问，学生思考时借助画图来直观分析题意，从而理出不同的解题思路：可以是先求出所有小正方体的表面积之和，再减去原来大正方体的表面积;也可以是直接求出大正方体被切割后增加的表面积，沿着长、宽、高三个方向各切2次，一共就切了6次，每切一次就增加2个大正方形的面积，也就总共增加了6×2=12个大正方形的面积。

3. 结论开放，多题一解，培养概括归纳的能力

一题可以有不同结论，当然，多题也可以有同一结论。结论的开放，需要学生在各种数学现象中“拨云见日”，梳理出关联性，分离出问题核心，区分出相同本质。

题3  摆一摆，找规律。

（1）用小棒擺三角形，按照图5摆放的规律，每多搭1个三角形就要增加多少根小棒？

（2）摆第7个图形需要用多少根小棒？

（3）摆第n个图形需要用多少根小棒？

在观察比较中，学生会发现小棒根数与三角形个数之间的关系：以第1根小棒数为基准，添上2根，就成为一个三角形，再添2根，就再增加1个三角形，那么，新增n个三角形需要增加2n根小棒，加上基准的1根小棒，便是2n+1，所以摆第n个图形需要用2n+1根小棒。

当然，这样的结论也适用于摆正方形：用火柴按照图6的方法摆正方形（每条边摆1根火柴），照这样，摆15个正方形共需要（   ）根火柴。

A. 45     B. 46     C. 60

不管是三角形，还是正方形，抑或是五边形，其实都是“新瓶装旧酒”，学生在这样的开放式题目中，一一试错，一一提炼，一一厘清，在特殊中找到一般，从具体中抽象出模型，进而培养概括归纳的能力。

[⇩] 五、迁移性复习题，让思维更敏捷

迁移性可以理解为学生已获得的知识经验对完成其他学习活动产生的影响。如果复习时，学生的练习没有得到层层推进，没有发生知识迁移，那么学生的获得也只能够停留在知识层面，不能够有思维的提升，也难有活动经验的积累。

“用一根长24cm的铁丝围一个长方体（或正方体）框架。在这个长方体（或正方体）的表面糊一层纸，怎样用纸最多？”

此复习题是关于已知立体图形的总棱长求此立体图形的最大面积的问题。此复习题对学生来说有一定难度，只有迁移到更为低阶的知识或方法，才能更好地理解此问题的解决方法。

解决前，可通过厘清两个知识点来实现方法的迁移，一是周长相等时，长方形与正方形相比，正方形的面积最大;二是底面周长和高相等时，长方体与正方体相比，正方体的体积最大。由这两个稍微低阶的问题，类比迁移来解决此复习题，学生便能理解总棱长一定的长方体与正方体相比，正方体的表面积最大，其表面糊一层纸的纸量也最多。在这里，教师要告知学生正方体是特殊的长方体。

[⇩] 六、文化性复习题，让思维更广阔

文化性凸显数学的精神、思想及方法的形成和发展。学生通过涉猎具有数学文化性的复习题，不仅能理解数学内涵，还能了解数学在人类文明发展中的重要性，在开阔数学视野的同时培养思维的广阔性。

比如，在我国古代，随着农业的发展，各种谷仓、粮库容积的计算也益加繁重，到《九章算术》成书时代，我国的各种几何体体积公式都已具备，如计算堆积的方法，以编成歌诀的形式在古代民间广泛应用：尖堆法用三十六，倚壁须分十八停。内角聚时如九一，外角三九甚分明。

每一句表达一种形式的堆积公式。比如第一句的意思：粮食堆积在平地上成圆锥体，其体积为底面周长的平方乘高，再除以36，即平地堆积=C2h。

试根据上面的平地堆积公式求下面圆锥的体积：一个圆锥形沙堆的底面周长是6米，高是2米，它的体积是多少？

“解题不单单是为了找到答案，应当学会这样一种对待习题的态度，即把习题看作精密研究的对象，而把解答习题看作设计和发明的目标。” 衡量数学习题质量的一个重要标准就是所设计的习题是否能充分引起学生思考，使学生在巩固知识的同时，思维也得到发展。总之，复习题把握住自主性、针对性、综合性、开放性、迁移性和文化性，有助于学生在现实生活中找寻到数学的影子，点燃探索的好奇火种，用数学的理性角度去思考问题，认识世界，并在解决问题中，让思维“活”起来。