一次提升“四能”的探究之旅——从一道三角不等式的教学谈起*

李勤俭 (安徽省池州市第一中学 247000)

在高中数学教学中，教师有意识地引导学生进行思考，从数学角度发现和提出问题、分析和解决问题，不仅是新课程标准的要求，也能高效地提高学生自主学习的能力．本文从一个正弦定理推证过程中得到的三角不等式入手，探讨如何在解题教学中提升学生的“四能”．

1 发现问题，提出问题

2 分析问题，问题解决

不等式①的左边看起来比较正常，但右边就让人难以接受．看到π，联想到几何意义，所以从圆入手也算自然；①式是代数式，理应有代数证法，那么作为三角函数式，可以从三角变换角度去解决；同时，从式子的结构出发，可以看成是余弦函数相关问题，所以从函数角度分析应该也能解决问题．

2.1 几何证法

在图1中，圆O是△ABC的外接圆.下面分△ABC是锐角三角形、直角三角形和钝角三角形三种情形证明.

图1 图2

证明(1)当△ABC是锐角三角形时，如 图2，连结BO，AO并延长分别交圆O于点E，F，再连结BF,FC,CE,EA，则BF=2RcosC,FC=2RcosB,BD=2RcosA.

(3)当△ABC是钝角三角形时，不妨设C>90°，此时可将图2中的点D与点C对换，转化为情形(1)，得证.

几何证法直观、好理解，但不容易想到.我们再尝试用代数证法．

2.2 代数证法

先证cosA+cosB+cosC>1 ②．

因为cosA+cosB+cosC

为了证④式，先证下式：

另一方面，在⑤式中，有如下变形:

由②④可得①式得证.

由此还可以顺带得①式的加强式：

2.3 琴生不等式证法

琴生不等式(Jensen Inequality)：

函数f(x)是定义在开区间(a,b)上的凸函数.设λ1,λ2，…，λn是n个正实数，且λ1+λ2+…+λn=1，x1,x2,…,xn是开区间(a,b)上任意n个点，则下面不等式成立：f(λ1x1+λ2x2+…+λnxn)≥λ1f(x1)+λ2f(x2)+…+λnf(xn).这个不等式称为琴生不等式.(注意:对于凹函数(下凸函数)，上式中的“≥”变为“≤”)

3 再次提出问题

一个问题从提出到解决，并不是思维过程的结束，而往往是新问题的开始.①式是针对余弦函数而言的，那么对于正弦函数、正切函数，相应的结论是什么？又如何证明？

3.1 与正弦函数有关的不等式

经过探讨分析得到

3.2 与正切函数有关的不等式

当△ABC是锐角三角形时，

4 几点感悟

在学习数学的过程中，发现问题往往比证明结论更重要.《普通高中数学课程标准(2017年版)》提出了“四能”[2]，因此教师需要适时、适度地引导学生发现、提出一些数学问题，进而分析和解决问题，促进学生数学水平的提高.

(1)引导学生学会提出问题的方法应成为教学中的一个重要内容.本文由余弦函数的一个优美的不等关系，运用合情推理的方法拓展到了与正弦和正切函数相关的性质.如何引导学生学会提出问题，也许比帮助学生解决问题更有意义.

(2)对一个问题的解决进行多角度思考是数学探究的基本思路.文中对不等式①的证法进行了多角度的思考，得到了很好的思维体验.这意味着教师在教学过程中如何进行多角度的思考，以及如何引导学生多角度思考是值得探索的一个课题．

(3)要在解决问题的过程中进行逻辑推理等核心素养的培养.本文在探讨的过程中，包含了很多较深刻的分析与推理，使得学生在过程中学习，在过程中提高.

(4)探究无止境.文中通过探究得到了八个关系式，它们的应用又可作为新的探讨课题.

在这一探讨的旅程中，学生得到了很好的思维能力的训练，以及分析问题和解决问题的能力训练，体会到数学的严谨美、和谐美，提高了学习数学的兴趣.这不正是新课程理念所要求的吗？