"数学是系统化了的常识"的内涵及教育意义

摘要：弗赖登塔尔的《作为教育任务的数学》一书中，最有影响力的两个观点是：数学是系统化了的常识;学习数学的唯一正确方法是实行"再创造"。作为数学观的前者决定作为数学教学观的后者。缩短数学教育"无目的的用处"与"无用处的目的"间的距离是落实"数学是系统化了的常识"的前提。为此，教师要"看透"数学基本概念、技能背后蕴含的数学思想方法。建立数学内部、数学与外部的联系是"系统化"的内核。为此，要让学生多层次组织和提炼，而不能把体系化的知识作为"现成的数学"教给学生。

关键词：弗赖登塔尔;《作为教育任务的数学》;教学目标;系统化

荷兰数学家和数学教育家弗赖登塔尔在数学教育理论与实践两个方面都有广泛而深远的影响。有人将他与德国数学家和数学教育家F.克莱因相提并论："对于数学教育，在上半世纪是克莱因做出了不朽的功绩，在下半世纪是弗赖登塔尔做出了卓越的成就。"①他的数学教育思想集中体现在《作为教育任务的数学》一书中。笔者于1995年12月在北京海淀图书大厦购得此书的中文编译本，如获至宝。近30年来反复阅读，重点章节阅读过不下50次。阅读时，不但揣摩深思，更以其精彩观点、深刻思想来指导课题研究与教师培训工作。

书中，最有影响力的两个观点是：数学是系统化了的常识;学习数学的唯一正确方法是实行"再创造"——又被称为"数学化"或"做中学"②。前者是对"数学是什么"（数学观）的基本看法，后者是对"数学怎么学"（数学教学观）的基本看法，前者决定后者。本文重点阐述"数学是系统化了的常识，的内涵及教育意义：缩短数学教育"无目的的用处，与"无用处的目的，间的距离是落实"数学是系统化了的常识，的前提;建立联系是"系统化，的内核;"再创造，是"系统化，的根本途径。

由于作者在本书中经常辩证性、隐喻式地评论或批判他人观点，以此来阐述自己的思想，所以，有必要先概要介绍本书的写作风格与背景。如此，才能更好地"读进去"，理解并运用作者的数学教育思想。

一、《作为教育任务的数学》的写作风格与背景

本书是一本数学教育哲学著作，"不是一本数学方法论的书"。以下词汇可以用来概括其特色：文笔幽默、表达坦承，思维辩证、思想深邃，案例丰富、见解独到。例如，本书的序言中写道："用统计数字把自己装扮起来并不就是把自然科学的精确性引入到教育研究中来了。那种自负地宣称小数点后面第七位数字是准确的而无视小数点左边的数字都错了的态度，并不是科学的态度。"①这一方面明确表明他反对实验室里的"试验"，尤其是著名心理学家皮亚杰关于数学教育的研究观点，另一方面也体现了数学家独有的、充满数学味而又幽默的表达方式。

当然，弗赖登塔尔在本书中，不只是"有证据地，批判他不认可的观点。在善意、幽默的批评之后，他一定会提出自己的思想和方法。例如，他紧接着就给出了数学教育应有的研究路径、衡量数学教育研究科学性的准则："我是从自己的和别人的课堂教学经验中，从教科书中，以及从有经验的教师关于教材和学习表现的实事求是的分析中学到了不少的东西，而不是从一些所谓的·试验，中学。！"真正的教育活动意味着遵循自己的真诚信念去探索正确的教育途径。只有在健康的教育哲学的土壤上，具体的研究工作才能兴旺起来。数学教育的书，其科学性不是由它有了多少脚注（指引用过别人的著作）来衡量，而是要看它对数学教育哲学这个首要问题讨论的彻底性如何。"②他的这种思维方式以及不咄咄逼人的态度更值得数学教育研究者和数学教师学习。

可以说，本书中的名言警句无处不在，比如"教学与教育是实践，把口头的认识付之实行常常需要很长的时间，③，"并非所有的怪现象都可以用无知来解释，④等。虽然本书写于1970年的荷兰，但仍能切中50多年后中国教育界的某些弊端。

本书的语言幽默风趣、观点简明深刻，并且结合一线教学中的"误区，来阐释，但中国读者尤其是一线教师初读本书并不容易真正读懂。究其原因，笔者认为有如下几方面：一是作者在书中时不时要批判"新数运动，⑤以及皮亚杰的某些观点⑥，同时非常认可数学家和数学教育家波利亚、心理学家布鲁纳的观点。他在阐述观点时"意有所指"，却没有明确写出来，读者缺乏相应的背景知識，就难以理解其本意。二是作为数学家，作者经常在"高观点，下阐述数学教育的原理，这就需要读者对大学各门数学课程的相关术语及其含义有所了解。当然，作者在本书中经常用高等数学的语言、符号来表达，这也给读者，尤其是小学教师带来阅读困难。此外，由于本书的中文编译本对原著的内容有取舍，就使得个别内容读起来不是太连贯，也导致了阅读的困难。因此，领悟并理解弗赖登塔尔的教育思想，需要多读几遍本书，并且带着问题，与其他教育理论或实践经验对比着阅读——当然，本书值得如此"精读"。

二、缩短数学教育"无目的的用处，与"无用处的目的，间的距离

数学产生于现实，也应用于现实，以解决实际问题。因此，"解决实际问题，可谓数学教育的"用处"。但是，越高深的数学，和现实的关系越不明显。因此，某些数学内容的"目的，不容易说清楚。正如弗赖登塔尔所说："算术的最基本目的是完全确定的：解决日常生活中的数值计算问题。但是水平愈高，目的就愈是不明确。"①

因此，弗赖登塔尔指出："数学教育最大的问题就是用处与目的之间的分歧，任何一个其他的教育领域都不像数学教育那样，在无用处的目的与无目的的用处之间有着如此之大的距离。"②这里的"用处，可以说是显性的，容易落实、容易测评的短期教育目标;而"目的，则是隐性的，难以落实、难以测评的长远教育目标。数学教育中，这两者存在分歧，因此，"用处，容易成为"无目的的用处"，"目的，容易成为"无用处的目的"。

如何辩证地处理"无目的的用处，与"无用处的目的，？对这一问题的清醒认识直接影响数学课程内容、教学方式等一系列现实问题，处理好这对"矛盾，更能增强学生数学学习的动力。

弗赖登塔尔认为，数学教育就是要缩小这个"距离，（或者说让两者得到统一），这是落实"数学是系统化了的常识，的基础。对此，他还给出了明确的指导思想：教师要"看透，数学基本概念、技能背后蕴含的数学思想方法。也就是，以数学基本概念、技能为载体，让学生在理解、运用这些知识的过程中体验、感悟，逐步掌握数学思想方法，形成良好的数学思维方式与积极的情感态度，即当下所言的"三会，数学核心素养：会用数学眼光观察世界，会用数学思维思考世界，会用数学语言表达世界。由此可见他思想的深刻性、前瞻性与指导性。

他举例说明了小学算术的目的绝不仅是"熟练正确计算"，而蕴含着最重要的数学思想，但这需要教师懂得"什么是数学"。"信奉会算术才是最有才能的，这是因为教师所教的算术是自身能力的顶点和极限。如果一个教育工作者只知道所教的那些，并不知道更多，那他总是错误的，会把仅有的一点知识捧上了天，当作不可侵犯的信条。不少国家在低年级教·数学，的人甚至不懂得什么是数学。"③

例如，如何看待1+1？有多少教师只是在教数学事实"1+1的和是（等于）2，（并强调算得又快又对），而不会让学生从整体角度认识1+1？这里的"整体，是指有意识地渗透代数思维、模型思想。传统的算术教学中，除了纯计算问题之外，也有构造问题（如分数、括号等）和应用问题，都能够很好地渗透数学思想，培养学生的"三会，素养。

又如，比较两个异分母分数的大小，如果定位在"先通分，再比较分子的大小，上，则只是技能层面的要求，体现的就是"无目的的用处"。如果不仅让学生"比较两个分数的大小"，而且让学生在数轴上寻找两个分数（例如一之）之间的其他分数，学生就会经历不断"扩分，的过程，发现两个分数之间存在无数个分数（例如，、先"扩分，为、，发现找不到;再"扩分，为4（6）、4（8），找到4（7）;接着不断"扩分"，找到333435……），进而感悟到分数"太神奇了"。后一个活动充分体现了数学教育"无用处的目的"。

但同时，弗赖登塔尔也指出："为学校设计数学教学计划而又不了解学校的数学家，从来没有想到学校中还有什么事情比学校数学更重要，这些人当然也像那些计算迷一样，陷人了狭隘的观念之中。"①该观点也一针见血地揭示出，当下的数学教育改革中，专家、学者们需要深入一线了解中小学教育现实，而不要以"我认为应该……"，提出不切实际的观点和理论，从而影响政策制订和教育实践，让一线教师无所适从。

三、"建立联系，不是教"现成的体系"，而是让学生多层次组织和提炼

弗赖登塔尔认为，落实"数学是系统化了的常识，是有层次的：常识要成为数学，必须经过组织和提炼而凝聚成一定的法则;这些法则在高一层次里又成为常识，再一次被组织和提炼……如此不断螺旋上升，以至无穷。这个"提炼、组织，的过程就是"数学化"，这是数学学习的唯一正确方法。学生在此过程中则是主动的"再创造，者。因此，数学内部、数学与外部的联系非常重要，建立联系是"系统化，的核心。

但是，"联系，不同于"体系"，尤其不是"新数运动，所倡导的体系化的知识，不是把"最高境界（层次），公理化、形式化、结构化的知识作为"现成的数学，教给学生。把"体系，作为"现成的数学，教给学生，还是作为"做的数学，（把数学作为人类的基本活动）让学生"局部地组织，而形成体系？弗赖登塔尔对这个问题有清醒的认识——坚决反对"新数运动，"将抽象的结构、体系（强调严密与完整），教给学生，却抛弃了不符合体系的全部几何。

他指出："数学体系散发出迷人的美学魅力，但却不能为数学知识浅薄的人所理解。以数学体系为最终目的只能是未来数学家的教育目的——还不是全部，因为相当多的人并不欣赏这个体系。有很多理由表明，这永远不可能是普通数学教育的目的。如果以目标含糊的体系来决定题材，那就常常包含了无价值的东西，却排斥了有意义的事物。（体系）逻辑的严密性具有迷惑性。如果按照这个体系来进行教学，那是违反教学法的（例如按照系统化的要求，想以仿射观点来反对度量观点），以致只会引起学生对数学的反感。"②强调结构性的体系，强调现成的数学结果，只会引起学生对数学的反感，是违背自然倾向的，使学生学到的是"死的数学"。

他又指出："重要的并不在于一个人所学的数学是被记住了还是被忘记了，而是在于它是否仍然具有活力，是否仍能起作用，这同样是个人生活与人类历史的规律（企图三等分角的无数次失败也是一种活力和作用的表现，为伽罗瓦理论开辟了道路）。"③要保证有活力，就必须教给学生充满联系的数学。其实，学习哪些数学似乎是无关紧要的，只要它充满着联系。

强化联系是重要的，但关键是要知道从哪一方面去强化。数学应该是联系的，但联系不一定是直接的，也不一定在数学内部。不联系现实的数学将成为虚无的，"但不自然地联系现实也是庸俗的，应该从数学与它所依附的学生亲身体验的现实之间去寻找联系。对非数学家而言，与亲身经历的现实（而不是生造的虚假的现实）的联系将是至关重要的，才能有深度，才不会忘记"①。这些观点为当下强调数学的综合性、实践性，包括项目式学习、STEAM教育等热点话题敲响警钟。

数学内部的联系最完美的表现就是体系，但是学生不可能一下子掌握体系，某些联系只有以更高的观点、在更高的水平上才能建立。他认为，自然数的不同侧面之间、代数运算的不同观点之间，以及序概念、几何图形的仿射性质与度量性质之间的联系，都必须推迟。例如，与距离、角度有关的图形性质是度量性质，与简单比有关的性质称为仿射性質;仿射性质肯定是度量性质，度量性质却不一定是仿射性质。但是不能跳过度量性质，直接教仿射性质;最初要求的是算术、几何、集合论概念与现实的联系，不能抽象地、高观点地讲仿射。这些观点都是在批判"新数运动"。他一再强调"联系必须是自然生成的"，因为学生并不欣赏教师故意制造的勉强生硬的联系，反而欣赏自然的不联系。

他又进一步指出："在内联系不应局限于演绎关系，类比也是有效的联系，类比具有很大的教育价值，有助于形成抽象的想象能力，类比是最自然、最基本的，即使在较高水平也仍然具有生命力。学生自主类比比强加于他的形式的同构语言掌握得更好、理解得更深。"②这些观点对小学数学教育极富生命力——通过类比来理解概念本质、探索发现规律与原理等是小学生的重要学习方式。

总之，建立联系、形成结构既是数学的重要内容，也是数学学习的重要方式，逻辑严谨性是其重要特征。但弗赖登塔尔又辩证地指出："在与数学相关的任何问题中，直觉比严密的逻辑过程起着更为重要的作用。"③设计哪些数学课程内容可以有效平衡"直觉与严密的逻辑"？他提出要注意两方面："第一种约束就是学生的接受能力。但没有那么严重，因为更多地依赖于如何组织题材。再说，成功也没有真正的标准，个别内容的成功教授不能说明什么，应该看这个内容是否是教育目标中的有机组成部分。其次，某个题材能教，并不等于这个题材就应该教。数学内容的先后顺序形成结构，教孤立的题材意义不大。还有一个观点也值得商榷，即题材是有趣的。这个论点是虚伪的，因为我们并不按照学生的兴趣来选择学习内容。教育的最重要目的是·让学生对所学内容感兴趣"，这与·题材有趣，不是一回事，教师也不能滥用·有趣的活动"，否则他就变成了煽动者而不是教育工作者了。"④

如何让学生对所学内容"真正产生兴趣"，而不是通过教师的"煽动"？要让学生习惯于质疑追问、在认知上产生冲突、在合作探究中分享成功的喜悦。这正是实现"再创造"的前提。如何通过"再创造"落实"有层次的系统化"，让学生真正地学会数学、会学数学？这是另一个重要的话题，笔者将结合弗赖登塔尔的深邃思想另文进一步阐释。

（刘加霞，北京教育学院数学与科学教育学院，教授。主要研究方向：小学数学教育、教师教育。）