围绕学科大概念备好数学课

马燕青 吕增锋

摘要：围绕学科大概念开展数学教学，首先要围绕学科大概念备好数学课。为此，可以围绕学科大概念的层级领悟编写思路，围绕学科大概念的内容指向分析教学内容，围绕学科大概念的育人宗旨定位教学目标，围绕学科大概念的生活价值优化教学设计。

关键词：学科大概念;数学大概念;数学教学;备课

本文系浙江省宁波市2021年教育科学规划重点课题“大概念视角下高中数学单元教学的研究”（编号：2021YZD079）的阶段性研究成果。学科大概念又称学科大观念，是指从学科内容中抽象概括出来的，具有广泛联系整合作用，并能够广泛迁移应用的概念或观点华志远.落实“大概念”教学理念——对高中数学新教材中三角函数定义变更的思考与教学[J].教育研究与评论（中学教育教学），2021（1）：75。。它处于学科的中心位置，对学科其他内容具有统摄力、关联性，集中反映学科的本质，体现学科的思想方法（或者说学科专家的思维方式），凸显学科的价值，兼具认识论、方法论和价值论三重意义。因此，围绕学科大概念开展学科教学，能够帮助学生整体把握学科内容，形成良好的知识结构，深入理解学科本质，体悟学科思想方法，感受学科价值，获得“带得走”的素养。

备课是教学工作的重要环节。本文重点就如何围绕学科大概念备好数学课，谈几点思考。

一、围绕学科大概念的层级，领悟编写思路

备课首先要分析教材。在具体分析教材内容之前，要整体分析教材编写思路。对此，可围绕学科大概念的层级展开。

学科大概念是有层级的——或者说，“大”是相对的。一般可以分为课程大概念、单元大概念和课时大概念——也就是粗略地分为大、中、小三个层级。它们分别居于课程（或学科）、单元（或学科分支）、课时的中心位置，统摄下一层级、关联这一层级的内容，形成相应的结构体系，在避免内容零散、庞杂的同时，帮助学生建立看待系统整体的“透镜”顿继安，何彩霞.大概念统摄下的单元教学设计[J].基础教育课程，2019（8）：7。。这里，需要指出的是，居于中间层级的单元还可以继续分为具有相对大小的若干层级，如指向课程中主题或模块的大单元和指向教材中章节的小单元;这些大大小小的单元中，也有相应的大概念。

人教A版高中数学教材的编写就是围绕学科大概念的层级依次展开的。首先，在“四基”“四能”“三会”“六核”等课程大概念的统摄下，形成了编写教材的主线，构建了以“函数”“几何与代数”“概率与统计”“数学建模活动与数学探究活动”为主题的四个大单元。接着，从课程大概念出发，衍生出组织大单元内容的大单元大概念，如“函数是刻画客观世界变化规律的重要模型”“函数是一种映射”“函数思想贯穿高中数学始终”等“函数”大单元大概念，把“三角函数”“数列”“导数”等小单元内容也都纳入“函数”大单元中。然后，在大单元大概念的基础上，继续衍生出小单元大概念，如“三角函数是刻画周期现象的函数模型”“数列是一类特殊的函数”“导数可以度量变化的快慢”等。接着，把小单元大概念进一步细化为课时大概念，如“单位圆是研究三角函数的工具”“等差数列的通项公式是一次函数”“导数就是瞬时变化率”等。最后，围绕课时大概念组织每一课的教学内容。

二、围绕学科大概念的内容指向，分析教学内容

教学内容分析是教学目标确定和过程设计的基础。教学内容分析是否到位，不仅关系到能否真正发挥教材的作用，更会直接影响课堂教学的质量。围绕学科大概念的内容指向分析教学内容，能够解决逻辑混乱、顾此失彼、视角单一等问题，从而实现教学内容分析的完整化、系统化。

按照内容指向，学科大概念通常可以分为指向“是什么”的大概念、指向“为什么”的大概念、指向“怎么样”的大概念。这些指向一般既有“明指”，又有“暗指”。比如，“数学是思维的体操”明指“数学学习为了什么”，暗指“数学教学要发展学生的思维”。又如，“函数是贯穿高中数学的一条主线”明指“函数是什么”，暗指“函数思想的主线作用”。因此，读懂学科大概念的内容指向有助于更好地理解学科内容。

具体到数学学科，可以从“是什么”“为什么”“怎么样”三个维度依次展开分析。第一步，分别确定指向这三个维度的学科大概念。数学研究对象的多样性决定了指向“是什么”的大概念的丰富性，常见的有“数学是模型”“数学是工具”“数学是运算”“数学是推理”等;而指向“为什么”的大概念可以是“数学有用”“数学是联系的”;指向“怎么样”的大概念一般就是“数学具有育人功能”。第二步，以指向三个维度的大概念为基点，衍生出一系列的“小概念”。第三步，以“小概念”为线索与切入口，对教学内容做细致剖析。

例如，分析“平面向量的数量积”内容时，可以从“向量是一种运算”这一指向“是什么”的大概念出发，分析平面向量数量积的“运算背景”“运算规则”和“运算的几何意义”;从“数学是联系的”这一指向“为什么”的大概念出发，分析平面向量数量积“与线性运算的联系”“与生活的联系”“与物理的联系”;从“数学具有育人功能”这一指向“怎么样”的大概念出发，分析平面向量数量积的“认知功能”“德育功能”和“蕴含的核心素养”。最后，经过有序的组织与整合，可使“平面向量的数量积”的内容分析水到渠成。

本节课，学生在学习了向量的概念及线性运算的基础上，通过物理中的“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义，了解平面向量数量积的运算背景、运算发展（运算的几何意义）。向量运算是“带有方向的量的运算”，不仅要考虑大小，而且要考虑方向。向量线性运算的结果还是向量，而数量积的运算结果是数量;向量线性运算是封闭的，而数量积运算不封闭。数量积的这两大特征是学生以往经历中所没有的。新教材删去了用“向量的投影”来定义数量积几何意义的做法，因为投影的本意是指图形的影子投到一个面或一条线上，而向量的“投影”却是一个“可正可负”的数量，容易造成学生认知上的障碍。取而代之的是，新教材引入了“投影向量”来直观呈现数量积的本质。相比“向量的投影”，“投影向量”与“平面向量基本定理”“正交分解”自然关联，与向量数量积的物理背景联系紧密——只有跟位移共线的力，才真正在做功。平面向量数量积的学习，有助于学生认识到数学运算的發展是外部需求与内部完善共同作用的结果，同时对发展学生的数学运算、逻辑推理等素养具有重要意义。

三、围绕学科大概念的育人宗旨，定位教学目标

随着时代的发展与教育的变革，教学目标的内涵与外延也在发生变化。通常所说的教学目标指的是课时目标，即在一节课中，通过怎样的路径和方式让学生掌握相关的知识与技能。但随着单元教学及研究的兴起，由单元教学目标细化得到课时目标的做法成为主流。不仅如此，教学目标关注的内容也越来越多，由原先关注“双基”到后来关注“三基”，再到现在“四基”“四能”“三维目标”“核心素养”等都要关注。这些变化带来的直接影响就是，增加了教师准确定位教学目标的难度。

从某种程度上讲，学科大概念本身就是对课程标准、核心素养、教学重难点、评价标准等深度提炼的结晶，其展现出来的育人宗旨可以作为制订教学目标的“标杆”。学科大概念的育人宗旨是“形成专家思维”。何为“专家思维”？它有两大特点：一是专家头脑中的知识是靠大概念组织起来的，这反映的是专家对学科的理解深度;二是专家头脑中的知识结构具有很强的关联性，专家能够根据知识之间的关系以及知识与现象、与情境的关联程度，把知识有序地“安放”在结构框架中，进而能够根据任务需求，熟练调用相关的知识。

对于数学学科而言，专家思维通常指的就是学习（研究）数学的各种“套路”。比如，研究数学对象常按照“背景—定义—表示—性质—应用”的“套路”展开;认识新的数学对象常按照“体会必要性—感受合理性—验证科学性—展现先进性” 的“套路”展开;学习公式、定理的“套路”之一是“发现—猜想—验证—应用”;学习立体几何中性质、判定的“套路”之一是“观察生活现象—抽象数学原理—定理辨析内化”。因此，数学教学目标的制订可围绕数学学习“套路”获取的方法与路径详细展开。这样，既可以避免陷入课时目标与单元目标的纠缠之中，又可以确保教学目标定位的高度与准度。

例如，《平面向量的数量积》这节课，教学目标通常这样阐述：通过物理中的“功”等实例，给出向量数量积的概念，并能解释其物理意义与几何意义;类比向量线性运算的性质提出数量积的运算律，并能进行证明。而如果从培养“向量运算”专家思维这一宗旨出发，按照学习数学运算的“套路”，即“运算背景—运算规则—运算的几何意义”，教学目标就可以这样阐述：了解数量积产生的物理背景与数学背景，体会数量积运算与向量线性运算在运算规则上的差异，理解数量积运算的独特性，知道向量投影与投影向量的联系。不难发现，围绕学科大概念育人宗旨制订的教学目标更具整体性与连续性。

四、围绕学科大概念的生活价值，优化教学设计

教学设计要以教学内容和教学目标为基础。围绕学科大概念进行教学设计，是复杂、多维的。这里重点谈谈学科大概念中容易因为学科价值而被忽略的生活价值。

如何恰当处理科学世界和生活世界之间的关系，是困扰教育改革的一个基本问题。随着课程改革的推进，数学教育要使学生学会“解决真实情境中的问题”早已成为共识。只不过，在实际操作中没有严格按照这个“共识”进行，从而导致人们对数学与现实生活关系的“误会”依旧存在。

具体到数学学科，不难发现，学科大概念中既有科学理性的成分，又有生活感性的体验。如，“数学是有用的”“数学是联系的”“数学是一种文化”“三角函数是刻画圆周运动的重要模型”等，无不在向世人诉说“数学与真实世界是连通的”。因此，展现学科大概念生活价值的关键就是构建知识与真实世界的关联，在真實、具体情境中培养学生的应用意识与创新能力。

例如，引入“平面向量的数量积”，绝大部分教师是借助物理中“功”的定义：W=Fs，因为力F与位移s都是矢量（向量），而功W是数量，因此，存在一种运算对象都是向量，而运算结果是数量的运算，即数量积。“三言两语”，数量积的定义就出来了。但是，很多教师根本没有了解过什么是“功”以及学生对“功”的认知程度。事实上，初中物理（科学）中就有“功”的概念，但仅仅局限于力F与位移s共线的情景;高中物理中虽然有了“功”的一般定义，但对其运算的原理并没有详细解释;而且，物理的教学进度与数学不同步，数学课教“平面向量的数量积”时，物理课常常还没开始教“功”这块内容。以学生原本就不是非常熟悉的概念来引出另一个陌生的概念，逻辑上讲不通。

对这样的引入方式，可以围绕学科大概念的生活价值来优化。一种优化方法是，组织学生对“功”进行一次真正的学习，围绕“功是能量改变的量度”这个大概念把“功”的来龙去脉搞清楚，那么，平面向量的数量积自然也就清楚了。另一种优化方法是，先让学生学习向量的坐标表示，围绕“向量坐标运算”这个大概念对数量积运算进行重构。例如，顾客甲买了数学书x1本，语文书y1本，则顾客甲买书的情况是（x1，y1），顾客乙买了数学书x2本，语文书y2本，则顾客乙买书的情况是（x2，y2），那么，甲乙两人买书的情况可以用数对（x1+x2，y1+y2）来表示，这就是向量加法的坐标形式。同理，数量积运算就可以这样定义：若数学书x2元/本，语文书y2元/本，则书的单价可以表示为（x2，y2），这样，顾客甲买数学书和语文书一共花的钱为x1x2+y1y2，即（x1，y1）·（x2，y2）=x1x2+y1y2。

当然，围绕学科大概念的备课是一个多阶段、多层次、多维度的过程性与结果性议题。备课的基本原则就是以学科大概念作为凸显学科本质、思想和价值的聚集点，为教师的教学提供事实与理论依据，同时赋予学生的学习以新的意义，使得学科大概念在学生未来的发展中发生持续的作用。