数学小课题研究：指向拓展性学习

江苏省南通市海门区第一实验小学 杜 英

数学小课题研究是指学生围绕同一个主题构建学习共同体，统整学习方式，在学习、理解、分享、反思、成长中提升知识技能、研究方法、思维方式的活动。它具有低起点、 日常化、期周短、好操作、易评价等典型特征。笔者以数学小课题研究为媒介，通过数学思考、数学阅读、调查实践，提升学生核心素养，拓宽数学学习的新领域。

一、小课题研究，从数学思维走向综合素养

史宁中教授曾说过：“一个好的数学教育，应当更多地倾向于培养学生数学思维的习惯，会在错综复杂的事物中把握本质，进而抽象能力强；会在杂乱无章的事物中理清头绪，进而推理能力强；会在杂乱无章的事物中发现规律，进而建模能力强。”苏教版数学五年级下册的“和与积的奇偶性”属于“数与代数”板块的内容，它是“因数和倍数”单元后的“探索规律”的专题活动。

基于学生对这一知识已经有了一些了解，并掌握了相关的探究方法这一学情，笔者设计了符合学生最近发展区的研究单（见图1），以此引导学生进行自主探究。

图1

学生根据学习需要，形成研究小组进行探索。在组内交流的基础上，再进行全班交流。

师：我们先来交流任意选两个不是0的自然数相加，和是奇数还是偶数。

生1：我们小组认为，任意选两个不是0的自然数相加，和可能是奇数也可能是偶数，我们用的是列举法：2+2=4，4+4=8，8+8=16，通过列举发现两个偶数相加，和是偶数；2+3=5，3+6=9，10+11=21，一个偶数和一个奇数相加，和是奇数；1+1=2，3+3=6，5+5=10，两个奇数相加，和是偶数。

生2：我们小组的观点和他们组的观点相同，只不过我们是通过列表来思考的。（图略）

生3：我们是画图来进行研究的，通过画图很清楚地看到：偶数+偶数=偶数，奇数+奇数=偶数，奇数+偶数=奇数。（图略）

生4：奇数是不能被2整除的数，所以奇数可以看成“偶数+1”。大家看我们组的研究过程。（图略）

师：刚才，同学们从简单的问题入手，从不同的角度去探索，做得很好。让我们一起回顾一下刚才的探索过程，我们通过了什么方法，发现了怎样的规律？

生5：我们通过列举法、列表法、画图法、推理法，都发现了偶数+偶数=偶数，奇数+奇数=偶数，奇数+偶数=奇数。

师：你很会总结。刚才我们探索的是2个自然数相加和的情况，那任意选若干个不是0的自然数相加，什么时候和是奇数，什么时候和是偶数呢？哪组同学来汇报。

生6：我们组通过列举来研究的，大家看我们的研究过程。（图略）

生7：我们组运用刚才发现的规律来解释多个数相加的情况，请看我们的研究过程。（图略）

师：看来若干个不是0的自然数相加，和的奇偶性是由加数中奇数的个数决定的。加数中奇数的个数是奇数，和就是奇数，奇数的个数是偶数，和就是偶数。这样，复杂的问题就变得简单了。

根据弗赖登塔尔的教育理论，教师的主要任务是引导和帮助学生自己去发现所学的数学知识。教师应从学生的实际出发，顺学而教，给学生提供研究素材，精心设计活动单，认真组织学生合作探究。在唤醒了学生的知识经验后，学生经历了深度思考、自主探索、合作交流、建模描述，对和的奇偶性规律有了深刻的认识。学生有的从多个算式举例说明，有的从列表角度来论证，有的借助数形结合解释，有的通过推理来思考，相互验证、相互启迪，有深度、有温度。在积极参与中，学生不仅学会了探索规律的方法，还把握到了规律的本质内涵，从感性走向理性，从归纳走向明理，不断提升了数学学习能力。和的奇偶性的成功探究为后续学习“积的奇偶性”埋下伏笔。

学生们继续在自己独立探究的基础上进行小组合作交流，经历了发现规律、验证规律、形成结论的整个学习过程，得出：奇数×奇数=奇数，奇数×偶数=偶数，偶数×偶数=偶数；乘数中只要有一个偶数，积就是偶数。

基于学生拥有“和的奇偶性”的数学活动经验，在研究“积的奇偶性”这一内容时，教师就可以放手让学生自己研究。教师启发学生回顾参与探索“和的奇偶性”规律的过程，充分调动他们的学习主动性，给予他们充足的时间体验、探索规律。学生们运用抽象、推理、建模等数学思想驱动数学学习，自身的思维将会更广阔、更深刻。

二、小课题研究，从学科能力走向立德树人

史宁中教授指出：“通过数学学习，学生应当成长为什么样的人，这就是数学教育的终极目标：会用数学的眼光观察世界，会用数学的思维思考世界，会用数学的语言表达世界。”

2021年，中国共产党迎来了百年华诞。笔者以此为主题，采用数学阅读分享等方式让学生感知到我国在社会生活、国家建设等领域的众多发展成就。紧接着，课后围绕建党百年设计了“百年历程心中有‘数’”的作业，通过网络、书籍查询、询问家长、同伴互助等形式开展了小课题研究（见图2）。

图2

学生们从以下几个实践环节对本次数学小课题进行研究，具体内容如下。

1．“画说党史”

通过网络调查，学生们找到了中国共产党发展中的历史时刻，通过思维导图的形式，串联起中国共产党走过的百年光辉历程，帮助学生形成系统的知识网络，以此增进他们对党和祖国的深厚感情。

2．“童画数学”

探寻中国共产党百年征程中的数学信息，如解放战争中的大数据分析、经济发展中的数学信息，以数学手抄报的形式呈现。在创作的过程中，学生们相互学习、相互借鉴，感受到数学的魅力。

3．“数说中国”

以“中国速度我来讲 ”为主题，学生们分别从民生、科技、军事发展这三个角度进行了数学讲述。

“大道如虹”以“高速公路发展”为研究点，了解30年间，我国大陆高速公路从0到99%城市大覆盖，从“一无所有”到“世界第一”；“筑梦北斗”介绍我国北斗全球卫星导航系统的建成史，从2000年“北斗一号”试验卫星发射到2020年北斗三号全球卫星导航系统正式建成开通；“国之重器”以我国航母、东风系列弹道导弹的研制历史为例……让学生们感受只有国家强大、国防强大，中国才有未来！

学生在进行“百年历程 心中有‘数’”的数学小课题研究时，深刻感受到强大的中国精神、中国力量 。

数学是一门具有严谨性、科学性、逻辑性和精确性特点的学科，它需要学生学会观察、懂得分析、提炼结论，也有助于培养学生求真、求实的科学精神。

三、小课题研究，从单一教学走向学科融合

学科融合的本质是整合，学生围绕同一个主题进行小课题研究，打破原有的学科界限，通过不同主体的参与、多元的学习方式，整合不同学科知识、不同策略实现学科跨界融合，为学生创设丰富、完整的学习经历，提升学生的动手操作能力、知识水平和学习能力，从而让学生拥有健康的身心、健全的人格，以及未来持续不断成长的学习能力。

以跨学科融合小课题“‘布’同凡响”为例。

本课题研究从学生认知情况出发，带领学生展开收集信息、调查研究、分析数据、讨论体验等活动，对“布”有了较为全面的了解。让“布”成为不同学科间的纽带，建立学校、社会之间的联系，让生活与学习融通，让学习真实地发生。我们创建了本课题的思维导图（见图3）。

图3

班主任教师带着学生观看“布衣中国”“蓝印花布”“货布”等视频，语文教师带着学生查阅书籍、查询网络了解“布”的来历、演变及价值。家长志愿者们带着孩子去市场上实地考察，了解到棉麻、毛呢、真丝、羊毛等不同面料，以及它们各自的特点，知道商场里如何分类摆放衣服和如何搭配等。数学教师带着学生研究布料的材质、质量、价格。通过小课题研究，学生们了解到：同样大小布料的质量是有轻重的，丝质的较轻，麻织的较重，呢子的更重；布料的密度、织造的方式也决定着布料的质量。学生们还计算出不同布料的价格，促使他们学以致用。美术教师指导学生用废弃的布料进行再利用、再创作，学生们与“布”零距离接触，完成“布”一样的作业。

在跨学科融合的“‘布’同凡响”小课题研究中，各科教师科学引领，学生们自主选择内容，小组分工合作。学生通过调查统计、阅读分享、实践体验、自信展示，拓宽了视野，通过跨学科整合、自主创生，提升了学科素养。这样的跨界融合教师是辅助，主创是学生，因此促进了学生能力发展、知识丰富、思维提升……让每一个学生学有所获，不断成长。

数学小课题的研究活动，能让数学变得更鲜活、更生动，是一种更有层次的拓展性学习。它能够激发学生的学习积极性，也能让学生经历更有意义的学习过程。学生在探究中学习，在学习中思考，积累了丰富的情绪体验，从中感悟到数学学习方法，获得良好的思维品质，并在小课题研究中形成了相互影响、相互促进的人际关系，提升了社会交往的能力，提高了数学核心素养，同时也拓宽了数学学习的新领域。