探问数学核心：深度学习的复习课样态——以“‘小数四则运算’的复习课”为例

江苏省苏州市沧浪新城第二实验小学校 施惠芳

复习课是课堂教学中一种重要的课型，复习课有梳理知识点、完善结构网、查缺补短板、发展思维力、提高数学素养等诸多功能，理应受到数学教师的重视。然而反观现实，复习课到底什么样？

一、数学复习课现状扫描

（一）理念性缺位

笔者曾经通过问卷的方式进行相关调研，其中谈到复习课时有这样一个问题——如果课时紧张需要缩减，你认为最能进行缩减调整的课型是：A.新授课；B.复习课；C.练习课；D.实践课； E.其他。结果显示，相比新授课，复习课、练习课与实践课都被认为是可以缩减的课型之一。的确，对于部分教师而言，无论是从思想意识上，还是从教育理念上，都没有真正认识到复习课的重要性，认为复习课可有可无。教师如果有上公开课的机会，大多也不会选择复习课。日常的复习课大多也是以罗列知识点、讲解练习题为主要教学方式，无视学生这个学习主体，无视复习课的育人功能。学生在枯燥乏味的重复中也缺乏学习的兴趣与动力。

（二）实操性缺失

“复习课怎么上”这个问题可能比“复习课重要吗”更加不容易回答。笔者在期末阶段听了数节复习课，大多数教师利用教材配套的光盘程序式一一呈现复习内容，从教材上的“回顾与整理”板块讨论的问题，到“练习与应用”板块的习题，简单播放，逐一处理，照本宣科，毫无创新。这样的复习课只有知识的再现，没有梳理，更没有问题的发现、提出与解决。走过场、形式化成为复习课常态，漠视学生思维的发展、生命的成长。而究其根本是教师很少思考：复习课究竟上什么？怎么上？取而代之的是不厌其烦地做、练、讲。笔者也就复习课进行了相关检索，的确，复习课的研究成果与可借鉴的经验也比较缺乏，实操性的实施策略有缺失，这也是导致教师怕上复习课、不会上复习课，复习课价值无法实现的重要原因。

（三）评价性缺憾

《义务教育数学课程标准（2011年版）》中关于“学习评价”有这样一段表述：学习评价的主要目的是全面了解学生数学学习的过程和结果，应建立目标多元、方法多样的评价体系。评价既要关注学生学习的结果，也要重视学习的过程；既要关注学生数学学习的水平，也要重视学生在数学活动中所表现出来的情感与态度，帮助学生认识自我、建立信心。但现实情况是，考试评价仍然占据主导地位，“双减”政策后的教学强调考核方式的多样性、评价的多元性，可目前结果性评价仍然是主要的评价方式，“考什么教什么”“考什么复习什么”“考点在哪里，复习的重点就在哪里”，教、学、评难以保持一致，复习的应考价值反而大于育人价值，这就不难理解为什么现实复习课是那么的“简单粗暴”了。

二、数学复习课的深度学习视角

如何体现复习课的育人价值？如何通过复习课这一载体实现提升学生数学素养的目标？笔者认为，深度学习视角是一条值得尝试与探索的路径。深度学习最早是由美国学者马顿和塞利约提出的一个概念，之后，国内外许多学者对此展开了相关研究。美国研究院最新的研究成果指出，深度学习是学生对核心课程知识的深度理解以及在真实的问题和情境中应用这种理解的能力。具体而言，所谓深度学习是以解决挑战性问题和发展高阶思维为目标，通过对核心内容的分析和学生数学活动的全身心积极参与来形成对数学知识、思想方法的深度理解，通过不断完善和发展认知结构，形成积极的学习动机、高级的社会情感、正确的价值观，进而促进学生数学核心素养的全面发展。基于深度学习视角的数学复习课，应体现对以下几个关键点的关注：

（一）素养目标

深度学习的复习课的目标定位一定不是旧知识的简单重复，而应立足学生核心素养发展的视角，从数学抽象、直观想象、逻辑推理、数学运算、数学模型、数据分析等能力的培养来确立学习目标，更为核心的是确立促进学生思维更清晰、更深入、更全面、更合理的发展目标。

（二）思维进阶

深度学习的复习课应体现对相关学习主题内容的依次进阶、逐步深化的学习历程，构建基于学生学习基础的认知发展路径，不断经历进阶起点到进阶终点的分段发展过程，引领学生始终处于思维进阶的学习状态。

（三）完整结构

深度学习的复习课应重视结构化的视角，通过结构化视角引领学生形成相关知识的基于联结的体系化认知，这样更有利于学生把握知识本质，实现知识的融会贯通，进而培养学生的核心素养。

（四）问题解决

深度学习的复习课必须确立具有挑战意义的学习主题，围绕挑战性主题设计引发学生思考与探索的问题情境。通过独立思考、互动交流等活动引领学生深度参与学习活动，在解决问题的过程中不断探索、发现、理解、应用数学知识，提升学生发现问题、提出问题和解决问题的能力。

三、探问核心：深度学习的复习课实践路径

站位深度学习视角的复习课应体现对数学学科本质的持续追求、对数学核心素养的前瞻理解、对系统知识结构的深度建构、对学习成长历程的理性反思。下面以苏教版数学五年级上册“小数的四则运算”的复习课为例，谈一谈深度学习视角下复习课的实践路径。

（一）探问核心内容，寻学科本质之“源”

义务教育阶段的数学学习内容主要包括“数与代数”“空间与图形”“统计与概率”“实践与综合应用”四个领域。每个领域都有相应的核心内容，如“小数四则运算”所属的“数与代数”板块在一至六年级主要包括“数的认识”“数的运算”“常见的量”“式与方程”“正比例、反比例”“探索规律”，七至九年级主要包括“数与式”“方程与不等式”“函数”等，从横向关联与纵向发展的视角来理解核心内容可能更易于我们深入理解数学的学科本质。

四则运算无疑是“数的运算”当中的核心内容，学生从一年级入学就开始认识自然数，开始学习加、减、乘、除，随着数的概念的扩充，四则运算从整数范围向小数、分数扩展，再到有理数、整式、分式。基于对核心内容的本质进行分析，我们认为四则运算的意义及其关系是整体理解这部分内容的基础，也是进行数的运算的基本依据，具体包括“四则运算的意义”“四则运算源于加法”“加法与减法、乘法与除法的互逆关系”等重要内容。

因此，在复习“小数的四则运算”时，可以组织这样的主题内容进行交流：无论是整数四则运算还是小数四则运算，要想理解四则运算的意义，必须寻找它们在生活中的故事，四人小组交流一下，什么样的问题情境用加法？什么样的问题情境用减法？乘法、除法呢？这一主题核心内容的交流唤醒了学生对四则运算的意义的已有认知，感悟四种运算的现实模型。学生理解了四则运算的意义，但加是加、减是减、乘是乘、除是除的固有观念仍然存在。因此，打通四种运算之间的关系也是重要的核心内容，我们可以组织学生讨论：加、减、乘、除四则运算之间有怎样的关系？加、减、乘、除四种运算谁是源头？用这样的问题引领学生以“联系”的观点看待四种运算，打破固有的思维，发掘内在根本，打通知识之间的壁垒，形成整体认知。

基于四则运算的本质理解，有关小数计算算理与算法的复习梳理也是核心内容之一。因此，如何引导学生从理解“道理”的角度进行复习很有必要。由于小数与整数的关联度非常高，我们可以基于整数向小数迁移推演，侧重整数、小数四种运算的相同点与不同点的比较。因此，解决好“如何处理小数点”这个核心问题，就是抓住了最本质的“计数单位”的问题。加减运算的算理本质是相同计数单位的数相加减，乘法从与加法的关系角度看，也是相同计数单位的累加，除法是乘法的逆运算。因此，加法与乘法的运算过程都可以理解成是计数单位不断累加的过程，减法与除法的运算过程则是计数单位不断细化的过程。由此看来，所有的计算方法本质上都是要解决计数单位的问题，以计数单位为核心统领的计算本质是一致的，这样四则运算向分数等后续内容的学习延伸也就能一以贯之了。

（二）探问核心目标，溯基本思想之“根”

深度学习视角下的复习课必须有效分析学生学习相关内容的基础学情、主要挑战，以及这一内容对于学生发展的意义与价值，进而明确复习课的挑战性主题，以及立足学生发展，尤其是学生数学素养发展的目标：会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界。数学产生与发展所依赖的数学基本思想是数学教学的核心要素，基于此来理解与分析复习课的核心目标，其站位可充分体现学科育人与培育数学核心素养的要义。

苏教版数学教材中“小数四则运算”涉及的内容均在五年级上册呈现，主要包括“小数的意义和性质”“小数的加法和减法”“小数的乘法和除法”三个单元，小数四则运算的复习是经历整数、小数四则运算的完整学习之后的一次回顾与反思。同时站位整个小学阶段的学习，这一内容又是衔接同为十进制计数的整数与小数的四则运算与非十进计数的分数的四则运算的关键内容。因为我们发现，学生在分散学习之后形成的零散的四则运算的认知并不是完整的认知，教师在这个节点上做统整、勾连、打通特别有必要。数学课程标准有这样的要求：体会数的运算本质上的一致性，形成运算能力和初步的推理意识。如何理解数的运算对整数、小数、分数的统筹，整体上理解和掌握算理与算法？这一问题是摆在学生面前的主要挑战。基于这样的基础学情与挑战性任务，从数学基本思想的视角来落实教学目标是非常重要的。

张景中院士说过，计算是具体的推理，推理是抽象的计算。抛开现实背景，抛开具体的量，纯粹用计数单位这个工具去思考计算，无疑是通透了抽象的思想方法。“不管是做加法、减法，还是做乘法、除法，虽然是不同的运算，但支撑运算过程、帮助我们理解运算道理离不开一个重要的东西——计数单位”，这是复习课结束后，学生最直接、最深刻的认识。学生通过复习感悟运算的背后是运算律的支撑，计算不仅是算，更是依据交换律、结合律、分配律做推理，学生运用运算律去解释计算背后的道理，无疑是通透了推理的思想方法。尤其在理解小数乘法的算理时，多步骤算理的分析实质上就是交换律与分配律的综合运用与推理。正是推理与抽象，开启了学生思考数学的一般路径，也为数学的形式化、抽象化奠定了基础。

再从数学模型的视角来看，从讲述现实世界的故事到形成抽象的算式的过程，实际上就是让学生用数学的语言和方法来描述一类现实问题。复习时，让学生分别编写一个用整数或小数的加法、减法、乘法、除法解决的数学问题，并通过计算来解决，可以是相关联的同一故事的不同问题，也可以不同故事的不同问题。这样的设计就是让学生从生活中寻找小学数学最基本的两个模型：加法模型、乘法模型的生活原型，让学生建构现实背景以及现实背景中的各种数量以及数量之间的各种关系。这样的教学不仅培养了学生分析问题、解决问题的能力，更培养了学生发现问题、提出问题的能力。

（三）探问核心结构，攀思维进阶之“径”

数学的结构化是数学教学的逻辑机理，基于深度学习的复习课需要通过结构化的设计、模块化的重构、递进式的展开引导学生自主架构、思维进阶，形成结构性认知。这种结构可以是将零碎、分散的知识联系起来的知识性结构，也可以是基于思维方式抽象的策略性结构。

笔者某次参加苏州市教科院组织的一年一度的课改观摩研讨活动时，与全国著名特级教师徐斌老师同课异构，徐老师在复习课中就特别关注结构化，特别重视抓住核心知识以及核心知识间的联系来梳理完整的知识结构，这一点通过徐老师的板书设计，我们就可见一斑（见下图）。从板书中可以看到，徐老师抓住“小数”这个关键词引导学生回忆关于小数的知识点，散点的知识存在内在关联：小数的来源是基于生活与数学的需要，当整数不够用时便产生了分数，十进分数可以表达成小数。这样的回顾与梳理把学生零散的不成体系的知识点联结成网，看似简单的思维导图式结构化的表达，却将小数相关的核心知识串联统整起来了，有效地为后续四则运算的复习扫清了障碍。

同样的内容，不同的建构。郑毓信教授认为，数学的发展常常表现为在原先被认为是互不相干的一些概念或理论之间发现了重要的联系。他还强调：数学基础知识的教学，不应求全，而应求联。因此，笔者认为教学中应很好地突出关键字“联”。因此，在确定这节复习课的教学目标时，把“联系”作为核心展开教学。从纵向视角来看，着力勾连整数与小数四则运算之间的关系；从横向视角来看，着力勾连加、减、乘、除四种运算自身的相互关系。这一设计与徐老师结构化的侧重点有所不同，它更关注学习策略的一种结构化，通过图式化来突显核心。

（四）探问核心问题，省生命成长之“路”

基于深度学习的复习课需要核心问题驱动，高质量的问题能够有效促进学生积极思维的发展。问题是思维的路标，通过问题导学，我们可以切实唤醒学生的学习经验，催化学习进程。核心问题往往对揭示知识本质、推动思维进阶起到关键作用。

仍以“小数四则运算的复习”为例。这一内容是对五年级上册“小数加减、乘除运算”的复习和整理，更是对“数的运算”这一主题内容的整体梳理和建构，纵观学生的学习历程，学生从一年级到四年级都有学习四则运算，四年的时间都是围绕整数的四则运算在学习，而小数的四则运算的内容则集中在一个学期。因此，上课伊始，教师就引领学生回顾四则运算的学习历程，通过反思质疑提出核心问题：为何整数四则运算要学四年，小数四则运算只要学一个学期？学生围绕问题畅言：整数四则运算是基础，基础打扎实了，学习小数四则运算就简单了；整数四则运算的方法与小数四则运算的方法有联系……学生在交流中自然达成从“联”字入手进行梳理的共识。而后从“联”字出发形成系列核心问题：（1）小数与整数四则运算的意义相同吗？四则运算之间有关系吗？（2）小数与整数四则运算的道理与方法有关联吗？（3）通过今天的学习，你感觉对今后学习分数的四则运算有启发吗？一个核心问题带动一个板块的推进，核心问题引领下的课堂目标清晰、板块分明。

再看徐老师的课堂，凝练的核心问题纲举目张、清晰可见。上课伊始，徐老师问：“关于小数你知道了哪些知识？”引导学生回顾旧知，梳理关系。接着抓住运算的本质“计数”这一关键发问：“小数的计数单位有哪些？是如何确定的？”为学生解释算理建立依据。而后提出：“如何运用计数方法解释小数四则运算的算理？”这一问题顺利过渡到四则运算的法则、联系等内容的梳理。每一个核心问题的呈现都指向学生思维生长的方向，让学生生命成长之路有脚手架的支撑。抓住核心问题，回溯复习过程，我们可以看到学生基于学科更好生长的教育价值。

提炼核心内容，聚焦学科本质；明确核心目标，着眼基本思想；抽象核心结构，朝向思维进阶；依循核心问题，实现自主生长。深度学习的复习课从探问核心的视角入手，无不体现出数学推理、数学抽象、数学创造、理性思维等育人价值，学科实践成就学科育人的目标追求引领我们不断探索与实践。