函数“图像—性质”教学的整体性和层次性

王红权

(杭州市基础教育研究室，浙江 杭州 310003)

函数概念是变量间相互关系的抽象．在初中阶段，函数主要研究两个变量之间的相互依赖关系，是用来刻画现实世界中客观事物运动变化规律的数学模型，是进行量化研究的基本数学语言和工具，变化和对应是研究函数的基本思想方法．初中阶段主要学习一次函数、二次函数，是刻画某一类具体运动变化的数学模型：一次函数刻画“匀速”变化的数学模型；二次函数刻画“匀变速”变化的数学模型.反比例函数是刻画“定积”变化的数学模型．本文通过对教学内容的解构、教学逻辑的重构，有层次地建构函数图像与性质的教学．

在平面直角坐标系中，一个变量对另一个变量的依赖关系可用图像表示，借助图像直观，通过代数运算研究函数性质的一般观念，是一种整体性的研究.但在教学实践中，还需要关注内容育人价值的层次性．《义务教育数学课程标准》(以下简称《课标》)对这部分内容的教学要求如表1所示[1]：

表1 《课标》对一次函数、反比例函数和二次函数的教学要求

本文结合《课标》要求，举例说明初中阶段函数图像和性质教学时，应如何把握内容的整体性和层次性，更好地挖掘内容在学科育人方面的作用．

1 一次函数“图像—性质”的教学分析

《课标》要求“能画”一次函数和反比例函数的图像；“会画”二次函数的图像，明确画法为“描点法”．这里有必要对“能画”和“会画”做出区分，“能画”常常指能依据原理画出函数的图像，而“会画”则是依据给定的“步骤”或“程序”绘制出函数的图像，这样绘制出来的叫“草图”，具体教学实施时要注意到二者的区别.

函数的性质是抽象的，抽象函数的性质应借助图像直观和数学运算.在课堂教学设计中，设计数学实验可以给学生提供直观的探究素材，引导学生自己从图像直观中寻找决定一次函数性质的要素，从而获得一次函数性质的本质属性[2]，才能有层次地挖掘内容的育人价值．

1.1 一次函数的概念与画图教学

通过“情景—归纳”是代数教学的常用手法，关键是搞清楚这类变化过程的基本特征，精确区分变量之间的依赖关系，通过运算确定对应关系的代数表达．教学设计时需要选择适切的情景，通过归纳得到概念．笔者采用如下的情景：

1)某登山队大本营所在地的气温为5 ℃，海拔每升高1 km气温下降6 ℃．登山队员所在位置的气温y(℃)随由大本营向上登高x(km)的变化而变化,试用函数解析式表示y与x的关系．

2)一辆摩托车的油箱中现有汽油10 L(不加油)，平均耗油量为1 L/km．油箱中的油量y(L)随行驶里程x(km)的变化而变化，试用函数解析式表示y和x的关系．

3)一只乌鸦口渴了，它找到了一个装有水(水位刻度10 mL)的量杯,它每将一个小石子投进瓶中，瓶子中的水位刻度上升0.5 mL．瓶子中的水位刻度y(mL)随小石子数x(个)的变化而变化，试用函数解析式表示y与x的关系．

第1步：通过活动，分析情景，理清关系.

1)情景中变量的变化特征清晰：气温y(℃)随登高x(km)的变化而变化；油量y(L)随行驶里程x(km)的变化而变化；瓶子中的水位刻度y(mL)随小石子数x(个)的变化而变化．

2)变量之间的依赖关系刻画精准：海拔每升高1 km气温下降6 ℃；平均耗油量为1 L/km；每将一个小石子投进瓶中，瓶子中的水位刻度上升0.5 mL．

第2步：归纳共性，通过运算，建立关系.

3)通过运算确定变量变化规律的代数表达：5-6x；10-x；10+0.5x．

4)确定变量对应关系的代数表达：y=5-6x；y=50-x；y=10+0.5x．

5)要素(参数)的意义直观清晰：k——变化率，为常数；b——初值，即当x=0时的函数对应值．

第3步：归纳体验，抽象推广，理解模型.

6)归纳情景中变量之间依赖关系的共性：是刻画“均匀变化”现象的数学模型．

7)建立“均匀变化”的直观模型：图像的平直性．

通过三步教学活动的设计，学生获得一次函数的概念，“感觉”刻画“均匀变化”现象的数学模型所对应的图像“可能”是一条直线．在此基础上讲授函数图像便水到渠成，教学时只需要通过师生活动验证即可．具体教学设计时，可以采用两种办法实现：1)在直角坐标系中描点绘图；2)利用计算机绘图软件验证．通过验证首先获得一次函数的图像是一条直线的基本事实；同时达成“会画”的基本“程序”或“步骤”，即“两点确定一条直线”；确定画图应该选取的两个点，一般取(0，b)和(1，k+b)(确定一条直线的条件：“一个点”加“一个方向”)．

1.2 一次函数性质的教学

变化中的不变性(规律性)就是性质.研究函数的性质，基本方法是观察运动变化中的不变性和规律性.从《课标》要求(根据一次函数的图像和表达式y=kx+b(其中k≠0)探索并理解当k>0和k<0时，图像的变化情况)，一次函数性质教学应通过借助图像直观和分析表达式等方法，探索当k变化时函数图像的变化规律，用图像变化规律的直观反映一次函数的性质.可以设计如下的教学片段：

在已有函数y=5-6x,y=50-x,y=10+0.5x图像的基础上，请学生再写几个函数表达式并在绘图软件上画出该函数的图像.教师把所画的函数图像投影(如图1所示)，请学生观察并追问：

图1

师：当研究的对象太多时，应该先做什么？

生1：对对象进行分类．

师：如何分类？

生2：根据图像的“倾斜”方向分为两类．

设计目的1)当研究的对象较多时，首先应选择对对象进行分类，分类后更有利于对象性质的揭示；2)利用技术可以快速绘制出多个函数的图像，图像个数越多归纳越容易，归纳得到的性质也越可靠；3)这样设计既能训练数学研究的一般方法，同时也能在方法论层面上挖掘内容的育人功能.体会分类常常是研究的起点，归纳需要有一定数量的对象为基础．

师：图像的“倾斜”方向由函数的什么要素决定？

生3：由k决定，当k>0时，函数图像的“倾斜”方向一致,即“朝向”右上；当k<0时，函数图像的“倾斜”方向也一致，即“朝向”右下[3]．

师：你能用数学语言描述函数图像的“倾斜”规律吗(以k>0为例)？

生4：当x的值增大时，函数值y也随之增大．

师：能换个说法吗？

生5：当x的值减小时，函数值y也随之减小．

师：用数学语言如何刻画？

生6：当x1

师：你能证明这个结论吗？

生7：因为y1-y2=(kx1+b)-(kx2+b)，又x10，所以k(x1-x2)<0，即y1

师生一起小结，得到当k变化时，函数图像变化的直观规律，并用数学语言描述规律；通过对表达式进行分析，验证图像直观规律的科学性；通过归纳小结得到一次函数的性质．

这样的设计是基于《课标》的目标要求，充分理解《课标》目标要求探索的“二重性”(即利用直观探索性质的过程属性，利用表达式探索性质的对象属性)，挖掘内容所蕴涵的育人价值，通过内容的学习，培养学生的分析能力、归纳方法、函数观念及探讨精神．

2 反比例函数“图像—性质”的教学分析

图2

学生的成果令人啼笑皆非，访谈的结果令人深思.6个学生经过“集体讨论”决定用虚线把第一和第三象限的图像连接起来，理由是老师说过要用光滑的曲线把各点连接起来，因为曲线“往上”“往下”延伸“很远”，所以选择用虚线连接.笔者问：“一定能把这些点都连接起来吗？你觉得图像和y轴之间应该是怎样的位置关系？”学生一脸茫然.事实上，学生用“描点法”画反比例函数的图像是缺乏认知基础的，在学生没有“连续函数”“渐近线”等数学概念时，选择“穿越y轴的连线”并不是学生的错.因此，对初中生来说，反比例函数的图像是超经验的、难画的.那么如何实现《课标》“能画”的教学目标？

2.1 反比例函数的概念与图像教学

反比例函数“图像—性质”教学时，一般是借助图像直观，分析表达式验证得到.笔者发现把这个过程倒过来，教学效果显著，具体教学流程如下：

第2步：(通过符号分析，确定图像特征)由xy=(-x)(-y)，知以(-x，-y)为坐标的点也在函数的图像上，而点(-x，-y)与(x，y)关于原点对称，这说明位于第一象限部分的图像和位于第三象限部分的图像关于原点对称.

第3步：(通过运算律分析，确定图像特征)由xy=yx，知以(y，x)为坐标的点也在函数的图像上，而点(y，x)与(x，y)关于直线y=x对称，这说明函数图像关于直线y=x对称.

设计目的通过第1步的分析，我们知道第二和第四象限内没有函数图像，使研究聚焦；通过第2步的分析，我们知道图像位于第一象限和第三象限关于原点对称，也就是只要知道第一象限的图像就可以通过对称的方法画出整个图像；通过第3步的分析，我们知道第一象限的图像也是关于直线y=x对称，也就是只要画出直线y=x上方或下方的部分，就可以通过轴对称的方法得到.通过3步分析，确定函数图像的几何特征，聚焦画图只要画出其中四分之一的图像，然后通过对称的方法就能得到整个图像.

显然函数的图像与直线y=x交于点(1，1)，实际教学时，教师可配合示范动作，在黑板上画出函数图像四分之一的示意图.

第5步：师生共同画出完整的图.

2.2 反比例函数的性质教学

反比例函数性质教学时，对要素k的性质研究仅局限在当k>0和k<0时的图像分布是不够的，还要继续探究当k值变化时，图像位置的变化规律.

3 二次函数“图像—性质”的教学分析

二次函数是最简单的非线性函数，是刻画匀变速运动的基本模型.二次函数“图像—性质”的研究方法和过程具有一般性，容易迁移到其他函数的研究中去[4].例如在高中数学的主题1预备知识中，利用二次函数研究一元二次方程和不等式，培养学生用函数的观点看方程与不等式等内容的学习，理解知识之间的联系，体会数学的整体性[5]；在讨论函数定义和性质时，也以二次函数作为具体的例子；在微积分初步中，所涉及的例子也常常是二次函数.

3.1 五点法画草图

《课标》确定的教学目标为：会用描点法画出二次函数的图像，通过图像了解二次函数的性质．与一次函数和反比例函数的教学要求均不一样，这种不同正好反映了二次函数图像性质教学的特殊地位：为将来学习其他函数提供方法论的支持和研究的样例.因此，二次函数的“图像—性质”的教学需要强调研究方法的规范性和研究过程的可迁移、可复制性.例如：用描点法画图像时，如何选择能刻画二次函数性质的关键点？从理论上讲，点的选取可以是随意的，但事实上希望不需要取太多的点就能画出函数的草图，也就是希望取一些关键的、典型的点.如图3,二次函数的顶点C是两个单调区间的分界点，也是函数的最值点，函数的单调性和函数的最值都是函数最重要的性质，显然点C是关键点；二次函数与x轴的交点A和B是沟通一元二次方程和一元二次不等式的纽带，无疑是关键点.从一般意义上讲，有了这样3个点，基本可以勾勒出二次函数的草图，但仅有这3个点在表达函数的对称性方面还不够典型，因此还需要有关于对称轴对称的点D和E(选择图像与y轴的交点D就是因为方便)，简称“五点法”作图，一般称描点法作出来的函数图像为“草图”.高中阶段学习三角函数作图时，要求画出函数y=sinx在一个周期[0，2π]上的图像，依旧采用“五点法”，三点是图像与x轴的交点，两点是图像的最高点和最低点，也是函数单调区间的分界点，和二次函数的描点法作图完全一致，较好地体现了二次函数研究的典型性、可迁移性和作为研究样例的作用.

图3

3.2 从图像到性质

对于一次函数和反比例函数，《课标》要求“根据图像和表达式”“探索”图像变化的规律，探索获得的规律聚焦于图像的位置变化，以直观的方式呈现，不具体区分哪些是函数的性质，哪些是图像的位置特征，笼统地称为“图像变化规律”.二次函数性质的《课标》要求是：通过图像了解二次函数的性质，即要求借助函数图像的直观研究函数的性质.

事实上，在前面两个函数性质的学习中，主要探究k的符号与函数单调性之间的关系，一次函数在实数集R上单调，反比例函数因为在x=0处不连续，所以其单调性必须在不同的区间上描述，但在不同区间上的单调性是一致的.因此，学生对函数单调性的研究有一定的基础，教学时可以采用类比的方法，列表填空是一种高效的方法，如表2.

表2 二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质

观察表2容易发现：函数的单调性在函数性质中是第一位的，其他的性质都是由单调性引出的.如果在x=x0的两侧单调性相反，则在x=x0处形成函数图像的顶点，即在x=x0时函数有最大或最小值；同样图像的对称性也是由x=x0的两侧的单调性决定.类似地，函数的周期性无非就是函数在相同的区间内重复相同的单调性.

3.3 函数的对称性

根据图像直观，若x1和x2是与对称轴距离相等的两个自变量的取值，则其所对应的函数值y1=y2.不妨设x1>x2，因为x1-x0=x0-x2，所以f(x1-x0)=f(x0-x2).容易看出函数图像的对称性质完全是由x=x0两侧的单调性决定的.这为将来学习“极值点偏移”的表示带来可以借鉴的方式：如图4，定义在区间(0，xA)上的下凸函数f(x)的极值点x0在中点M(xM，0)左侧的充要条件是：对定义域内任意的x1>x2，若x1-xM=xM-x2，则f(x1-xM)>f(xM-x2).

图4

3.4 函数的最值

4 小结

以上以3个函数的“图像—性质”教学为线索进行了分析，“情景—概念—图像—性质”是研究函数性质的一般方法，借助函数图像或表达式探索函数的性质是一个整体过程，但三者显然存在育人价值上的差异.

“能画”一次函数图像显然是指能依据“两点确定一条直线”的基本原理画出函数图像，获得函数图像是一条直线是教学的一个重要环节，但更为重要的是要让学生体会到坐标系的力量，感悟平面几何中“两点确定一条直线”和函数表达式中确定k和b(要素)之间的内在联系.通过平面几何和一次函数图像的学习，要让学生明晰确定一条直线的基本要素是“一个点和一个方向”，初步掌握在坐标系中，方向的代数化方法.体会抽象的代数对象(函数表达式)是如何转化为形的直观(函数图像)，具体的几何对象(图形)如何代数化，用方程来表示，进一步理解数形结合的含义.

借助函数图像和表达式研究一次函数的性质，即研究y=kx+b的变化规律——不仅要明确x，y的意义，也要明确k，b的意义，即图像的变化规律由k，b决定，通过不同的情景、图像的变化和表达式的分析等维度理解k的意义(变化率、方向).

“能画”反比例函数图像显然是指能依据“程序”画出函数的图像，通过画图教学，培养学生有条理的做事方法，学会解决问题的关键在于必须找到产生问题的最小功能单元，在过程中初步理解“连续”和“渐近”的几何直观和数学内涵.

画二次函数图像的过程中，要求掌握“五点法”的基本方法，学习如何把图像直观用数学语言精准表达，为今后学习其他函数提供研究方法和研究样例.

希望通过学习3种函数的图像和性质等核心知识，培养学生分析问题、归纳总结等关键能力，提升学生能用函数观念观察、研究和表达世界等核心素养，树立持久的探索和研究精神．