以探索性思维导学培养学生的有“度”思维——以高三数列二轮复习课为例

马喜君, 赵琴学

(1.元济高级中学,浙江 海盐 321004;2.海盐高级中学，浙江 海盐 321004)

纵观历年的浙江省数学高考试题，具有新颖、灵活、概念的理解性强、重本质等特点，对学生核心素养的要求很高，因此对高三课堂的教学提出了重概念、重本质、重思维、重素养的高要求.高三二轮复习讲究的是高效、精准，优策略，抓本质.如果二轮复习仅仅以基本知识、方法为线索，穿插例题分析的固定微专题模式，也许能比较系统地解决一类问题，但是缺乏对学生的自主思维、数学学科素养的培养，也就是如果遇到新颖、灵活、概念性强的题目，学生缺乏自主思考、分析的能力，很难找到解题的突破口.因此高三二轮复习是要突破固定的课堂教学方式，采取在教师思维导学的指引下以培养学生有“度”思维为目的的学生自主探究型课堂教学.下面以高三数列二轮复习课为例，对探索性思维导学在课堂教学中培养学生思维广度、思维角度、思维深度、思维高度这4个角度进行初步探究.

1 框图式知识网络梳理，拓展学生的思维广度

大单元中知识框架就如人体的骨骼，是支撑整个知识模块的核心知识，为学生设计知识与方法相结合的思维导图，为学生构建完整、系统的知识网络，从整体上把握基础知识及技能，为进一步探究高精尖的问题打好基础.框图式知识网络具有直观性、系统性等特征，有助于学生明确该知识模块需要掌握的知识技能的同时，还能清楚地了解该知识点可以解决的问题类型、处理方式与方法等.

例如对于求和可分为三大方向：通项公式可知型、通项公式未知需放缩型、数学归纳型.数列求和的知识网络可以梳理如下：

图1

熟悉了以上的知识网络，学生遇到求和便可以从头脑中搜索出主要的解决策略，同时能分辨出各种不同方法适用的条件以及限用的要求等，可以快速地制定出解题路径，很大程度上避免“雷区”，节约时间，优化解题过程.因此通过对框图式知识网络的梳理，可以拓展学生的思维广度、思维面，让知识有联系地形成记忆进行存档，便于“搜索”.对于交汇知识的梳理将知识网络模块化、个性化的同时更趋于联系化、整体化，有效地帮助学生应对综合性问题的考查.

2 探索性问题导学引领，开拓学生的思维角度

传统的二轮复习课以解决一个专题为主，是一种完全按照剧本演练的实践操作，并不能满足对学生核心素养的培养要求，因此需要改善这种固化的教学方式，在二轮复习课中按照制定好的教学目标，教师要敢于以问题做引导，鼓励学生自主探究研究方向，在不断完善和进阶的研究过程中，从本质上考查学生对知识的理解，同时开阔学生的思维角度，将逻辑推理、数学运算、数据分析等素养落实到位.

2.1 开放性问题，引导学生发散思维

我们所碰到的问题基本都是完整的题干、固定的条件、明确的求解，即使解法是多样化的，思维也都是被框死在一个区域内的，因此一题只能解决一个或一类，最多是一个区块的问题，并不能真正达到触类旁通的效果.解决问题若缺少思维的可变性、多样性，则会影响学生对所学知识和思想方法的理解和掌握，学习效率大打折扣，因此我们要以开放性问题作为引导学生思维的驱动力，放飞禁锢的思想，这样往往会得到意想不到的收获.

探究1若{bn}为等比数列，b1=1，公比q>0，且b1+b2=6b3，你能提出什么问题？先想一想，然后与同伴交流.

生2：还可以求前n项积的最值以及此时n的取值.

师：如果将题中的条件“公比q>0”改为“公比q<0”，那么我们还可以研究其他什么问题呢？

生3：如果b1=1，q<0，那么该数列为摆动数列，我们可以根据数列的图像研究数列的收敛情况.

生4：可以求{cn}的通项公式和前n项和.

生5:要求{cn}的通项公式，还需要知道c1的值，不妨设c1=1，则可求得cn=4n-1.

当特殊数列的基本量确定之后，数列便是确定的，可以多角度去研究此数列，可以增添不同的条件，从而达到不同的考查效果.

2.2 结构不良性问题，引领学生理解本质

2020年山东省数学高考卷出现了结构不良试题，这引起了各方重视.结构不良试题具有界定不明确、结构不完整、逻辑断层等特征，是一个考查学生发散性思维的有效平台，是一种考查学生灵活变通能力和知识迁移能力的高效方式，也是一种能较好地评价学生核心素养的新题型.教师如果平时在课堂教学中重视结构不良问题的设置，让学生通过对已有条件和所求解结果的运算、推理、反思、联想等活动，预设解决问题需要增加的条件，这就需要理解问题的本质，才可能得到多种条件，产生多种解题方法和途径.

生6：若{bn}是常数列，则{cn}是等比数列，便可以用累加法求出{an}的通项公式.

生7：若{bn}是等比数列，则{cn}也是等比数列，同理也可以用累加法求出{an}的通项公式.

生8：若{bn}是等差数列，则可以用累乘法求出{cn}的通项公式，还可以用累加法求出{an}的通项公式.

生9：其实无论{bn}是什么数列，只要它的每一项都是非零实数，都可以用累乘法求出{cn}的通项公式，再用累加法求出{an}的通项公式.

……

由此可见，教师借助结构不良试题，引领学生分析、推理、联想以及进行同伴间的合作、互助，从而产生多维度的思考空间，开拓了思维角度，拓展了思维广度，还能从本源出发，理解题目背景以及考查的知识点，让本来不明确的开放性问题，为学生展示出一种豁然开朗的境界.这种思维的训练，远比灌输式的知识方法教学高效得多.

3 类比型变式教学探究，挖掘学生的思维深度

变式教学是学科教学中培养学生高阶思维能力的重要路径.变式的有效设计与运用能促进深度学习的开展[1].类比型变式主要分两种类型，即同构型(题目条件、结论等结构类似型)变式和同源型(数学本质相类似型)变式.通过类比型变式的教学，逐步引导学生探究问题的本源，挖掘思维的深度，以此培养学生对数学的理解能力、探究能力、应用能力，落实学生逻辑推理、数学运算、数学抽象等核心素养.

3.1 同构型变式，深化知识纵向发展

同构型变式一般从改变、优化条件或结果入手，通过对比分析，挖掘并便于学生理解知识本质，从而达到深度教学的效果.

探究4在探究3的基础上，如何更改已知条件，求数列{an}的通项公式？

……

师：根据这几位同学的思路分为4个小组，请大家商量一下，看看如何赋予数列条件，使得题目能完整、正确地求解？

学生参与同构变形，有助于他们对知识点的进阶理解.同构变形不仅能系统地掌握累加法、累乘法的含义及其具体运算过程，而且还能通过推理得出各种变式下符合题意的适用条件，以高阶的思维角度认识累加法、累乘法，加强学生对知识的本源理解，深化对知识的认知.

3.2 同源型变式，加强知识横向联系

波利亚说过：“教师的首要职责之一是不要给学生以下错觉，即数学题目之间很少有联系，和任何其他事物则完全没有什么联系.”[2]同源型变式是指数学本质一致或类似的变式.通过同源型变式的探究分析，可以帮助学生通过对比不同的条件、不同的知识点，拨开题目本身的“伪装”，更清楚地寻找到相同或相类似的数学本质，找到相同本源下各知识点之间千丝万缕的联系，使知识交汇点在知识网络中扩大其交汇的作用，以提高学生数学综合运用技能和素养.

此类同源型，基于同源题根、目标精度不等提升的进阶变式，可以提升学生自主辨析思维的能力，结合数列求和放缩的特点，理性把握放缩的“跨度”与“起点”，达到思维进阶、挖掘深度的目的.

1)若{bn}为等比数列，公比q>0，且b1+b2=6b3，求q的值及数列{an}的通项公式；

(2020年浙江省数学高考试题第20题)

变式3已知等比数列{an}的公比q>1，且a3+a4+a5=28，a4+2是a3,a5的等差中项，数列{bn}满足b1=1，数列{(bn+1-bn)an}的前n项和为2n2+n.

1)求q的值；

2)求数列{bn}的通项公式.

(2018年浙江省数学高考试题第20题)

看似完全没关系的两道题，其本质都是求通项公式，而它们呈现的形式是完全不同的.探究6是借助累加法、累乘法实现了3个数列之间的关联，而互相钳制的嵌套关联使题目变得错综复杂，如果没有发现其本质特征，那么就无法理清思路，很难找到解题的突破口.变式3的本质有很大的隐蔽性，要突破已知Sn求an、累加法、错位相减法等重重障碍，才能看清目标，在有限的解题时间内，如何做到迅速理清思路，设计运算策略，这就需要教师平时对学生进行本源型变式的训练，让学生通过揭示数学的本质寻找它们之间的共通点以及区别，提高学生逻辑推理以及数学抽象能力.

4 回归性数学本质提炼，提升学生的思维高度

在课堂小结时，通过问题式思维导学的探究，学生不仅掌握了特殊数列——等差、等比数列的基本量求解，通项公式的求解方法以及前n项和的求解方法等基础知识，而且学生通过自主探究各种通项公式的求解方法、前n项和的求解方法所适用的特征与要求以及通项公式与前n项和的关联，站在数学本质的高度，归纳提炼知识，提高了学生的思维高度.从根源上寻找解题方向，让考题千变万化，让学生拥有以不变应万变的思维高度，从而让素养教育真正落地.

5 综合性问题导学突破，推进学生“四度”进阶

对学生数学学科素养的评价，落脚于对综合问题的处理，挖掘数学本质，看透数学背景，在数学学科核心素养的顶层设计下，研究解题策略、总结方法、归纳思辨，养成思维的生产、辨析、归纳、延伸，用合理的数学方法突破问题.

( )

(2021年浙江省数学高考试题第10题)

故

可知

从而

即

于是

故

因此

从而

于是

数学教学是数学思维活动的教学.在教师探索性思维导学的指引下，基于问题、有效设计、动态生成，在师生与生生对话、思考、讨论、质疑、共鸣中，实现“以生为本”的思辨、归纳、拓展、延伸的思维进阶，引领学生拓展思维广度、开拓思维角度、挖掘思维深度、提升思维高度，即进行有“度”思维，激发学生的探索能力，提升学生的思辨能力，培育学生的数学核心素养[3].