概念教学中数学抽象实现的路径探究——以函数的概念为例

朱 玲

(萧山区第五高级中学，浙江 杭州 311202)

2014年，教育部公布的《关于全面深化课程改革的意见》中明确提出：针对各学段学生，教育部将组织研究、注重核心素养体系的发展，指明各学段学生都应该具备适合自身发展以及符合社会发展所必需的品格和能力.主要包括6个方面，即：数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象以及数据分析.随着核心素养的提出，一线教学的课堂也在发生转变，其中一个重要的目标就是学生核心素养的培养.

数学抽象素养是六个核心素养的第一大素养，很多学者也提出希望能通过研究数量的关系、空间的形式，得到抽象素养的提升.在我们的研究中，希望学生能用数学语言来表达：把一些抽象的数学概念从数量、图像间的关系中抽象出来，并能找到它们之间的联系；能够通过实际背景归纳总结出事物的一般规律和结构.在日常数学学习过程中，数学抽象是十分重要的一种思想方法，有助于理性思维的建立；通过数学抽象，能够将数学学科具有的本质特点有效地呈现出来，使其在数学学科概念形成以及衍生的整个过程中，都有所体现；数学抽象能够使数学这门学科成为言简意赅、表达精准、结论简练的系统.它主要体现在获得数学概念和规则、提出数学命题和模型、形成数学方法与思想、认识数学结构与体系等方面[1].

《普通高中数学课程标准(2017年版)》中针对概念教学有这样的教学建议：教师要引导学生能从实际问题入手，能够抽象概括出数学概念，能理解基本概念的来龙去脉[1].通过高中三年数学课程的学习，让学生能够通过生活中的实际问题抽象出理论性的数学概念，积累从实例到概括抽象的活动经验；让高中阶段的学生在日常生活中逐步养成思考问题的习惯，看清事物的本质，以简驭繁；让高中阶段的学生能运用数学抽象思维的方式去思考并解决遇到的问题[2].进入高中后，学生较早接触到的一个抽象数学概念就是函数，而且函数的内容更是贯穿在整个高中数学体系中，是一条主线.本文以“函数的概念”这一课为例，阐述核心素养中的数学抽象素养在概念教学中的实现.

1 创设情境，搭建抽象基础

情境1函数概念比较抽象，通过对抽象事物的研究，使学生能获得并理解核心的抽象概念的过程，是学生数学抽象素养培养的重要契机.可是在现阶段，许多一线教师对于这个问题的重视程度还不够，很多教师认为这个过程能讲的题目很少，也没什么可以教，于是经常会采用“一个定义，三项注意”的填鸭式教学方法，使学生对将要了解的概念不甚了解.那么，我们该如何研究函数这一抽象概念呢？初中阶段对函数的定义：如果两个变量x与y，且对于x的每一个确定的值都有唯一的y与之对应，我们就称x是自变量，y是x的函数.在教学中，笔者首先抛出了一个简单的问题：正方形的周长l与边长x的对应关系是l=4x,这样的回答准确吗？

教师抛出问题，但不急于回答.笔者利用学生相对熟悉的现实问题引入，在课堂教学中引用了书本中4个典型的情境进行比较.

情境1杭州到上海的“和谐号”加速到320千米/小时后，会匀速行驶0.5小时.在该时间段内，列车行驶的路程s(千米)与行驶时间t(小时)之间的关系可以用s=320t来表示.这里的t和s是两个变量，对于每一个确定的t，都有唯一的s和它对应.对于t的取值范围来说，即数集A={t|0≤t≤0.5},对于s的取值范围来说，即数集B={0≤s≤160}.

情境2某网络平台要求公司员工每周至少1天到公司总部上班.假设该公司的薪资标准是320元/天，并且工资一周一结，请问如何确定一个员工每周的收入，一个员工的收入w是工作天数d的函数吗?

我们发现，收入w确实是一周工作天数关于d的函数，其对应关系是w=320d，其中d的变化范围是数集A={1,2,3,4,5,6}，w的变化范围是数集B={320,640,960,1 280,1 600,1 920}.针对存在于数集A中的任意一个工作天数d，根据这种对应关系，在数集B中有且仅有一个收入w和其相互对应.

情境3图1是北京市某年某月某一天的空气质量指数(Air Quality Index,简称AQI)的变化图.请问：如何根据图1确定这一天在任何一个时刻t的空气质量指数I的值？你是否能看出这里的I是关于t的函数？

图1

从曲线变化可知，变量t的变化范围是数集A={t|0≤t≤24}，AQI的值I在数集B={I|0

表1 某省城镇居民恩格尔系数变化情况

y的范围是数集A={2 006,2 007,2 008,2 009,2 010,2 011,2 012,2 013,2 014,2 015}，r的取值范围是数集B={r|0

这4个情境的引入，不仅可以激发学生学习数学的兴趣，也能帮助学生在具体的情境中逐步形成抽象的概念.培养学生的抽象思维能力的一个切入点是我们可以尝试通过与实际相结合，重现这种概念抽象的过程[3].

2 寻找共性，抽象概念特征

学生抽象概括的能力相对比较弱，除了主观因素(如理解不到位等)，客观因素还在于他们可以抽象概括的机会比较少，一般概括归纳或方法总结的步骤都是以教师为主导的.要发展学生的数学抽象能力，就要把概括的机会还给学生，体现学生在课堂上的主体地位.一个人的能力是靠经验的积累并逐步培养形成的.教师应带领学生更多地去思考、去探索、去体验，亲身经历，习得这种数学抽象的能力.采用导向式的问题教学模式，可以激发学生的思考兴趣；同时通过设计问题串，为学生提供抽象概括的机会，循序渐进、层层逼近，从而将学生的思维联系起来，帮助学生从被动归纳到主动抽象，加深加固对数学抽象的认识和理解，更有效地提高数学抽象能力.

在教学中，师生共同梳理出表2，再针对表2归纳的内容提出问题1和问题2.

表2 4个情境中的对应关系

问题1观察上述4个函数，可以发现它们有哪些共同的特征，你能概括出函数有哪些特征吗？学生总结，教师归纳：1)两个非空数集；2)确定的对应关系.

上面4个实例的对应关系基本涵盖了我们平时最常见的函数表示方法：解析式法、图像法、表格法.事实上还有其他一些方法，为了方便，我们引进f来统一表示对应关系.由此，便引出了有关函数的概念，并用y=f(x)来表示对应关系，其中x被称为自变量.x的取值范围A为函数的定义域；对应的y值为函数值，其取值范围又被称为值域[3].

问题2在情境1与情境2中，这两个函数的对应关系是一致的，它们是相同的函数吗？请具体说明.

情境1与情境2既有典型性，又可用于比较，由此巩固定义域和值域的概念，让学生能够真正理解定义域和对应关系的概念，能够知道二者是密不可分的.

在课堂上提出恰当的数学问题，在教学过程中采用启发、互动、探究相结合的教学方式，激发学生的好奇心、想象力和求知欲.引导学生主动思考，自主探究，从而使学生理解函数概念.这是一个“抽丝剥茧”的过程，从具体到抽象，也是落实数学抽象素养的重要环节.

3 互动探索，拓展概念理解

学习了函数概念的新知识后，尝试要求学生在课堂上继续深入探索，希望能以此挖掘学生的潜在能力，拓宽视野.让学生在学习数学的过程中养成自觉探索的意识，促进应用意识的形成，达到学生核心素养养成的目的.

在课堂上设计了以下两个问题让学生探究辨析：

1)请用新学的函数概念的知识来解释初中已经接触过的初等函数的定义域、对应关系以及值域(学生独立完成).

对这一问题的辨析，能使学生更深刻地理解函数三要素：对应关系、定义域、值域.

2)构造一个有关问题的情境，确保能够通过解析式来表达其中的变量关系.这是一个“化茧成蝶”的过程，回到实际中去构建问题情境，解释函数y=x(10-x)的对应关系，是从抽象到概括具化的过程，让学生的数学抽象素养得到了一定的提升.实践表明，由于学生的生活经验不够丰富，他们构建实际问题的背景往往比较简单，教学时教师应多鼓励学生举出各种例子[4].

追问上课开始时提出的问题：正方形的周长l与边长x的对应关系是l=4x,这个回答是否准确？通过对这个问题的讨论分析，可以让学生更加深刻地体会到：函数的本质是两个数集之间的对应关系，而不是用什么符号或什么形式[4]，因此l=4x只给出了对应关系.对于函数，我们还需要关注自变量的取值范围以及相应函数值的范围.用新知识解释旧问题，回到实践中去，能促进学生对函数概念的真正理解，通过这些探索辨析，真正落实数学抽象思维.

4 总结应用，建构概念体系

依靠数学抽象形成数学概念之后，还要依靠实际案例展开具体的概念辨析，使学生熟练地掌握概念内含.通过具体练习，熟练操作步骤，形成技能，然后加以归纳总结.

例1下列哪个函数与y=x是相同函数？

( )

例2若集合A={1，2}，集合B={1，2，3}，请尝试写出所有集合A到B的函数.

数学是思维学科，数学教学要渗透数学思维.而数学概念更是数学学科的基础，是数学思维的基本形式，更是“数学抽象”的落脚点[3].从整体上来看：解决数学问题本质上属于一个思维的过程，是在对其进行教学的过程中，将所针对的所有学习的知识、方法以及数学问题有效地结合起来，并展开深入探究的过程.以上是“函数概念”课堂教学中落实数学抽象素养所做的一些尝试，函数高度的抽象性，要让学生经历“从事实到概念”的认识过程，帮助他们获得数学研究对象.笔者从“创设情境，搭建抽象基础；寻找共性，抽象概念特征；互动探索，拓展概念理解；总结应用，建构概念体系”4个方面逐步推进概念学习，是从“感性具体、感性一般、理性具体、理性一般”4个水平逐步加深理解概念的过程，也是基于理解数学抽象从而不断深化发展的过程.