多维度研究三角形内部长度问题

⦿四川省邻水中学 林冰雁

1 问题呈现

图1

2 问题分析

此题以锐角三角形为背景，已知一角C及其对边AB，和对边上一点P，求三角形内部线段CP所在边的最大值.选取正确的角度作为解题的切入点是关键的一步.根据题目所给的信息，从已知出发，利用“正弦定理与余弦定理[1]”进行简单计算，而长度的最值问题容易涉及到“三角函数和向量[2]”、函数与方程等知识，其中的变形与推理精彩绝伦.还可利用直线的参数方程中t的几何意义轻松解决该问题.最后巧妙结合“圆[3]”的性质并进一步建立平面直角坐标系，将坐标法与三角函数相结合，实现知识的贯穿性.

3 解法探究

3.1 思维视角一：边化角思维

解法1：在△BCP中，由余弦定理可得

CP2=a2+1-2acosB.

(显然，|CP|跟a和角B都有关系，但是无法直接求得最大值，进一步思考边a能否化成角B呢？)

在△ABC中，利用正弦定理可知

点评：解法1比较典型，其主要思路是先利用余弦定理将CP2表示出来，以正弦定理作为桥梁，将边a转化成同一个角B，进一步结合题意确定该角的范围，接着利用三角恒等变换将CP2转化为三角函数模型，最后借助三角函数的性质求得最大值.

那还有其他的方法吗？线段的长度即向量的模，解三角形通常与向量的知识相联系.向量法是指根据题意选择合适的基底，将所求线段用向量表示出来，利用平面向量基本定理和运算法则解题，将几何问题转化为向量运算问题，转换了解题的方向.

3.2 思维视角二：向量思维

解法2：如图2，过点P作BC的平行线交直线AC于点M，过点P作AC的平行线交直线BC于点N.

图2

由相似三角形的判定方法知△APM∽△ABC，△BPN∽△BAC.

又四边形PMCN是平行四边形，则

9m2=b2+4a2+2ab.

①

在△ABC中，由余弦定理可得

9=b2+a2-ab.

②

由式①②消去ab,得9m2=3(2a2+b2-6).

也就是说，要求m的最大值，只需求2a2+b2的最大值.

点评：根据题意，利用三角形相似，寻找相关线段的相似比，结合平面向量基本定理和线性运算，借助余弦定理的应用，找出CP2与a，b间的关系，最后利用边化角思维求得最大值.

以上2种方法从代数角度着手，那能不能从形的角度思考呢？由于角C和对边AB给定，因此考虑在圆上固定AB，再把角C看作劣弧AB所对的圆周角构造△ABC.

3.3 思维视角三：几何思维

图3

显然，当点C运动到点D时有最大值，即|CP|max=|DP|.

如图4，连接AO，BO，过点O作AB的垂线交AB于点H，则∠AOB=120°.

图4

在△AOB中，由余弦定理可得

c2=AO2+BO2-2AO·BO·cos∠AOB.

点评：有效借助工具“圆”，将代数问题转化为几何问题，巧妙利用圆的性质找到|CP|的最大值——|DP|，利用数形结合与余弦定理算出最大值.

3.4 思维视角四：坐标系思维

在解法3的基础上，如果建立平面直角坐标系，则可以利用两点的坐标研究该线段的长度.

(1)坐标法.

图5

点评：在引入圆的知识并建立平面直角坐标系后，根据圆的几何性质以及三角函数的定义寻找目标点的坐标，本质上利用了点C的轨迹是圆的一部分(优弧AB)，使问题得以简化，结合两点间的距离公式直接给出CP2，将其表示成三角函数模型，求出最大值.

(2)参数方程法.

解法5：如图6，建立平面直角坐标系xOy，连接CP交圆O于点D.设α(α∈(0,π))是直线CP的倾斜角.

图6

因此圆的标准方程为x2+y2=3，直线CP的参数方程为

联立直线的参数方程和圆的标准方程，整理得到

显然Δ>0，设点C，D对应的参数分别为t1，t2.由图6知t1>0，t2<0，因此有

点评：以点P为定点，设出直线CP的标准参数方程，联立该方程和圆的方程得到关于t的一元二次方程，利用参数t的几何意义得到CP的最大值即点C所对应参数的绝对值的最大值，从而转化为求函数的最大值，最后结合三角函数的性质求出CP的最大值.

4 结论

在解三角形问题中，涉及的知识点多，覆盖面广，本文中主要从4个不同的思维视角解决已知两个元素的三角形内部边长的问题.

(1)边化角思维：寻找三角形中成立的关系式，分析其特征，通过正弦定理将边转换为角，进而利用三角函数的思想求解最大值.

(2)向量思维：利用平面向量基本定理将目标线段所在向量线性表示，通过余弦定理发现两个重要的式子①②，借助边化角思维进行转换，结合三角函数的性质分析出最大值.

(3)几何思维：构造三角形的外接圆，利用圆的性质和几何特征解题，强调数形结合思想，直观形象地求出最大值.

(4)坐标系思维：通过建立平面直角坐标系，不仅可以利用两点间的距离公式和三角函数知识分析最大值，还巧妙结合直线标准参数方程中参数的几何意义，运用韦达定理和函数的单调性求得最大值.