谈一道解析几何题

单 墫

(南京师范大学数学科学学院，210023)

见到一道解析几何题，如下：

有人称这道题为“恶心”的题.的确，如果仅用课本上(也就是课标规定)的知识，解这道题是颇麻烦的.

考试是指挥棒，既出了这样“恶心”的题，学生与教师不得不去做.

但指挥棒，也可发挥积极的作用，即应当允许师生用课本上虽未讲到，但只是合理引伸或拓展的知识.这样，学生可以获得更多的知识，能力也有所提高.当然，如果一道题，仅是偏、怪、难，即使拓广知识也无好办法，即可真令人恶心，不该出这样的题！

下面我们说明这道题的解法.

(1)

上，所以由点A引出的直线AP，除了点A外，与椭圆仅有一个交点P.AQ与椭圆(1)的交点，也是A与Q.

其次，猜猜，题目的这种表述，多半是PQ通过一个定点(当然，PQ不通过定点的可能性也存在，只是可能性似乎小一些.这是我们的感觉，如果不对，我们也不坚持错误).

如果将A作为原点，BA作为纵轴，问题将简单许多.

这就需要坐标变换的知识，而这正是解析几何极重要的内容.课标不详讲重要内容，实际是见识太差.

新坐标X，Y与老坐标x,y的关系为

x=Xcosα+Ysinα-1，

(2)

(3)

(2),(3)两式可写成

x=aX+bY+c1,

(2′)

y=bX-aY+c2.

(3′)

椭圆(1)在新坐标系中的方程为3(aX+bY+c1)2+4(bX-aY+c2)2=12，即

3(aX+bY)2+4(bX-aY)2+6c1(aX+bY)+8c2(bX-aY)=0.

(4)

(新原点(0，0)在椭圆上，所以常数项一定是0，不必计算)

(4)式可写成

MX2+NY2-2abXY+(6c1a+8c2b)X+(6c1b-8c2a)Y=0.

(4′)

(其中M，N不必算出)

设PQ在新坐标系中的方程为

mX+nY=1.

(5)

这时X，Y的齐次方程MX2+NY2-2abXY+[(6c1a+8c2b)X+(6c1b-8c2a)Y](mX+nY)=0

(6)

因为AP，AQ与以Y轴上一点B为圆心的圆相切，所以AP，AQ的斜率为相反数，即

k1+k2=0.

(7)

由韦达定理，(7)式即(6)式中XY的系数为0，所以

n(3c1a+4c2b)+m(3c1b-4c2a)=ab，

(8)

即方程为(5)的直线PQ过定点

(9)

用(2′)，(3′)换回原坐标，得

注意：用字母代替数，可以减少计算量，通常是先作化简，最后才将数值代替字母，这是一种基本的品质.在学习初一代数时就应当养成.然而，很遗憾，似乎很多教师也未具备这一品质.

我们的解法，特点是利用了坐标变换，学习这个变换，远比解一道题重要.