湘教版和人教A版高中《数学》必修教科书“函数”内容比较研究

张晓东 孟彩彩 何军海

(西北师范大学教育学院,730070) (甘肃省嘉峪关市第一中学,735000)

本文选取湖南教育出版社出版的普通高中《数学》(简称湘教版)“函数”为研究对象,运用内容分析法与比较法,从体例结构、内容分布、内容呈现方式与例题习题设置四方面，将其与人民教育出版社出版的普通高中《数学》必修教科书A版(简称人教A版)进行比较分析．

一、比较结果及分析

1.体例结构

由图1可知,两版教科书章结构都由章头图/语、节、拓展栏目与小结四个部分构成．关于章前图/语,湘教版先有章头图后有章头语,章头图配有y=f(x)，A=Bc等数学符号,点明本章主题,章头语简明扼要地介绍本章主要内容；人教A版先有章头语后有章头图,章头语主要包括相关现实情景、前章内容回顾、本章主要任务三个部分．关于节,两版教科书均由节引言、正文、练习题、习题构成,不同的是:湘教版利用“多知道一点”及时拓展本节内容,供学有余力的学生进一步学习；人教A版通过“观察”、“思考”、“探究”、“归纳”等栏目呈现概念、定理、公式等．关于拓展栏目,湘教版设有“数学文化”、“数学实验”栏目；人教A版设有“阅读与思考”、“信息技术应用”、“探究与发现”、“文献阅读与数学写作”栏目．关于小结,湘教版称之为“小结与复习”；人教A版称之为“小结”,两版教科书小结部分都由知识结构图、回顾与思考、复习参考题三部分构成．此外,两版教科书对习题和复习题都作了分层设计,仅命名方式有所不同,湘教版设有“学而时习之”、“温故而知新”、“上下而求索”,人教A版设有“复习巩固”、“综合应用”、“拓广探索”．

2.内容分布

(1)内容选择

两版教科书在函数单调性证明、指数函数的图象和性质及函数建模三个内容选择上存在差异．

对于函数建模,湘教版有“形形色色的函数模型”和“三角函数模型的简单应用”,突出基本初等函数模型的综合应用,初步渗透建模思想和建模过程．人教A版有“函数应用(一)”和“函数应用(二)”、“建立函数模型解决实际问题”、“三角函数的应用”,其中“函数应用(一)”与“函数应用(二)”侧重基本初等函数模型的直接应用,初步渗透建模思想,“建立函数模型解决实际问题”、“三角函数的应用”较为完整地呈现数学建模过程．

(2) 编排顺序

两版教科书函数内容的编排顺序大致相同,但在以下几处有差异．

① 幂函数与实数指数幂的编排顺序

湘教版先结合初中所学的开平方、开立方、二次根式引入根式,介绍n次方根与分数指数幂的关系,说明分数指数幂的意义,再通过有理数指数幂逼近无理数指数幂并建立实数指数幂的概念,最后以“水滴成雾”的素材引出幂函数的概念．这种编排更加注重数学学科内在的逻辑顺序,也有助于学生理解幂函数中指数的取值范围．人教A版先通过四个实际问题,从函数解析式的形式出发归纳出幂函数的概念,再由平方根、立方根的意义入手说明分数指数幂的意义,进而通过夹逼思想建立实数指数幂的概念．

② 三角恒等变换编排顺序

三角恒等变换是研究三角函数的重要工具,构成相对独立的数学逻辑体系．湘教版将三角恒等变换置于必修第二册平面向量及其应用之后,利用向量的夹角公式得出“两角差的余弦公式”,不仅简化了运算,还将三角恒等变换及解三角形作为平面向量的应用,更突出了向量工具性．人教A版将三角恒等变换置于诱导公式之后,丰富了三角函数的代数运算,为三角函数的研究奠定基础．

3.内容呈现方式

函数内容呈现方式从整体设计思路、素材选取、概念引入三个方面进行分析．

(1) 整体设计思路

函数内容包括函数概念与基本性质,幂函数、指数函数和对数函数,三角函数,分别对其整体设计思路进行梳理．

① 函数概念与基本性质

由图2，3可以看出,两版教科书都介绍了函数的概念,解析法、列表法、图象法三种表示方法与函数基本性质,不同的是湘教版还介绍了以黎曼函数、狄利克雷函数为代表的描述法．对于分段函数,湘教版单独设节,人教A版则设置在图象法之后,人教A版还设置了函数应用的内容．

② 幂函数、指数函数和对数函数

由图4，5可看出,两版教科书把“指数幂运算”作为幂函数、指数函数和对数函数共同的运算基础,都通过指数的相关内容引出对数及其运算,体现了“对数源于指数”．两版教科书函数的应用部分均设计了函数与方程的内容,突出以函数的观点看方程,将方程的解转化为函数零点,用二分法求方程的近似解．人教A版强调指数定义及运算、对数定义及运算的现实意义,而湘教版强调数学意义．湘教版通过反函数的性质探究对数函数的图象与性质,人教A版直接利用描点法探究对数函数的图象与性质．

③ 三角函数

由图6，7可以看出,两版教科书都先将初中学过的角推广至任意角,说明弧度制的必要性并引出单位圆的概念,定义任意角的三角函数,进而引出诱导公式,研究三角函数的图象与性质,利用三角函数模型解决实际问题．不同的是,湘教版引入三角函数线的概念,将三角函数线作为解决三角不等式,探究三角函数图象及性质的重要工具．

(2) 素材选取

两版教科书函数内容素材选取梳理如表1所示．

表1

(3) 概念引入

①函数概念

湘教版将其命名为“对函数的再认识”,体现高中函数概念是在初中函数概念的基础上进行的,同时用学生最为熟悉的加减乘除及常用公式为素材引入,强调“对应观”．人教A版是用四个现实问题为感性材料通过“思考”和“探究”栏目的问题引入．

②幂函数概念

湘教版在阅读材料的基础上,提出“水滴成雾”为什么小水滴不掉下来?构建y=x,y=x2,y=x3三类函数,深入浅出地引出幂函数的概念．人教A版则是在函数解析式的基础上,添加幂指数运算的属性,探究不同解析式的异同,归纳出幂函数的概念．

③三角函数概念

湘教版在锐角三角函数的基础上采用比值定义法,并将锐角三角函数推广至任意角的三角函数．为了使运算简化,取r=1,进而得到单位圆的概念,最后引出三角函数线的概念．人教A版直接构建单位圆来呈现任意角的三角函数,与学生初中所学锐角三角形的三角函数有一定的思维跨度．由此可见,湘教版教科书概念引入注重与学生已有知识的关联．

4.例习题设置

对例题从类型和辅助表现形式两个指标进行分析,对习题和复习题从水平层次指标[2]进行分析．

(1)例题的类型和辅助表现形式

例题类型可分为纯数学例题和有背景性例题[3],例题的辅助表现形式包括图、表和旁白．对两版教科书函数例题的类型和表现形式进行统计,如表2所示．

表2

注:凡有图、表、旁白的例题,分别按图、表、旁白累加统计．

从例题总量看,湘教版教科书例题共106个,其中有背景性例题8个，占比7.5%;人教A版共90个,其中有背景性例题14个，占比15%．有辅助表现形式的例题，湘教版29个，占比27.3%,人教A版32个，占比35.6%．说明人教A版例题的类型和表现形式更丰富和多样化一些．

(2)习题与复习题的水平层次

湘教版在习题和复习题中,设计了“学而时习之”、“温故而知新”、“上下而求索”三个水平层次,人教A版设计了“复习巩固”、“综合运用”、“拓广探索”三个水平层次．本研究中,将“学而时习之”与“复习巩固”作为水平一,“温故而知新”与“综合运用”作为水平二,“上下而求索”与“拓广探索”作为水平三,按上述三级水平层次对函数习题与复习题进行统计,结果如表3．

表3

在习题和复习题的总量上,湘教版(共280道)多于人教A版(共234道)．水平一层次的习题,湘教版(共117道,占比61.3%)明显多于人教A版(共78道,占比43.3%)；水平三层次的习题,湘教版(共1道,占比0.05%)少于人教A版(共32道,占17.8%)．湘教版水平一层次的复习题(共56道,占比62.9%)明显多于人教A版(共25道,占比46.3%);湘教版水平三层次的复习题(共8道,占比8.9%)少于人教A版(共11道,占比20.3%).水平二层次的习题复习题差别不大．可见,湘教版注重基础题目的设置,人教A版题目设计较为均衡．

二、结论与建议

1.结论

通过比较与分析,可以得到如下结论:

第一,体例结构方面.两版教科书体例结构大致相同,但栏目设计各有特色．湘教版关注数学文化、数学实验,通过“多知道一点”栏目为学有余力的学生提供拓展性学习内容．人教A 版关注阅读思考、探究发现,通过“观察”“思考”等栏目为学生学习提供引导．

第二,内容分布方面.湘教版更加注重函数内容与其它内容之间的联系以及数学学科内在的逻辑顺序．

第三,内容呈现方面.湘教版侧重于挖掘素材中的数学元素,人教A版侧重于解决素材中现实问题;湘教版注重基于学生已有的数学知识引入概念,人教A版主要从感性材料出发,以问题为导向归纳探索引入概念．

例习题设置方面,湘教版例题数量多于人教A版,表明湘教版更注重例题的示范作用．湘教版重视基础题目的设置,人教A版题目设计较为均衡．

2.建议

基于以上分析和结论,对使用湘教版教科书的老师提出以下建议．

(1)处理好数学内容间的内在逻辑关系．深入挖掘教科书特点,把握函数内容的逻辑结构与整体设计思路,做好函数主题教学设计．

(2)处理好数学思考过程与结果的关系．分析教科书中的情境案例及问题探究过程,深挖素材中的数学元素,把握学生的认知水平,重视利用学生熟知的经验构建新的知识．

(3)处理好数学实践与信息技术应用的关系．重视并挖掘湘教版教科书中的拓展性内容,深入钻研“数学实验”专栏中的“网络画板”这一动态的共享实验室,重视信息技术在学生解题或建模过程中的应用．

(4)处理好学情与习题水平层次的关系．优化习题和复习题的数量,均衡水平层次,满足不同层次学生的不同需求．