专题突破——圆雏曲线与三角形销“心”相印

陈泽刚

从近几年高考式题中圆锥曲线的命题特

点看，此类题型既注重基础知识又注重考查能力，既突出圆锥曲线的本质特征又灵活多变，尤其圆锥曲线中面积、弦长、最值几乎成为必考内容。三角形的“四心”问题与圆锥曲线交汇，让题目更具活力。因此，通过专题研究三角形的“四心”与圆锥曲线的交汇问题，可以帮助同学们快速提高关于这部分知识的解题能力，从而增强学习信心。

一、三角形的重心（三角形中三条中线的交点）

知识储备：

（1）G是△ABC的重心台GA+GB+

（2）G为△ABC的重心，P为平面上任

意点，则PG=]（PA+PB+PC）;

（3）重心是中线的三等分点，它到顶点的距离与它到对边中点的距离之比是2：1;

（4）重心与三角形的三个顶点组成的三个三角形的面积相等，即重心到三条边的距离与三条边的长度成反比。

例1（2019年成都市树德中学高三二模第12题）抛物线C：y2=4x的焦点为F，点P、Q、R在抛物线C上，且△PQR的重心为F，则|PF|+QF|的取值范围为（）。

D.[3，5]

解析：由题意知，抛物线C的焦点为F（1，0）。设点P（xP，yP），Q（xQ，yQ），R（xR，yR）。

由重心的坐标公式得

xR=3-（xP+xQ），yR=-（yP+yQ）。设直线PQ的方程为x=ky+m，由

则△=16k2+16m=16（k2+m）》0，且由韦达定理得，yp+yQ=4k，ypyQ=-4m。

所以，xp+xQ=（kyp+m）+（kyQ+m）=k（yp+yQ）+2m=4k2+2m。

故xR=3-（xp+xQ）=3-4k2-2m，yR=-（yp+yQ）=-4k。

将点R的坐标代λ抛物线C的方程得16k2=4×（3-4k2-2m），即2m=3-8k2。

则△=8（2k2+2m）=8（3-6k2）》0，解

点评：本题考查抛物线与直线的交汇，求距离的取值范围及重心坐标的计算，稍难。变式1.（2020年浙江高三月考）已知F1（-1，0），F2（1，0），M是第一象限内的点，且满足|MF1|+|MF2|=4。若I是△MF1F2的内心，G是△MF1F2的重心，记△IF1F2与△GF1M的面积分别为S1，S2，则（）。

A.S>S2

B.S=S2

C.S<S2

D.S，与S2的大小不确定

已知I是△MF，F？的内心，可设内切圆的半径为r，此时：

点评：本题芳查了椭圆的定义，其中涉及三角形的内心和重心，对同学们分析图形中数量关系的能力要求较高。

二、三角形的内心（三角形中三条角平分线的交点）

例2（2020年浙江高三期中卷）已知上，过点M作MB⊥F1F2于点B，过点I作IA⊥F1F2于点A。设△MF1F2的内切圆半径为r，则IA=r。

点评：本题主要是利用三角形相以将所求的比值转化成三角形相以比问题，即构造两个三角形相以来处理，对于内切圆问题通

变式2.（2020年江西高三期中卷））已知

解析：设P（xp，yp），不妨设yp》0。如图3，设三角形内切圆的半径为”，由三角形内切圆的性质可得：

点评：解决本题的关键是利用内切圆的

三、三角形的垂心（三角形中三条高线的交点）

知识储备：

（2）垂心到三角形-顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍。

例3

（2020年浙江高三模拟）记椭圆C：x2+2y2=1的左、右焦点为F1、F2，过F2的直线1交椭圆于A，B，A，B处的切线交于点P，设△F1F2P的垂心为H，则PH的最小值是（）。

由题意知直线L的斜率存在（若斜率不存在，则F1，F2，P三点共线，不能构成三角

點评：本题主要考查椭圆中的最值问题，考查椭圆的切线方程，涉及基本不等式求最值，属于跨章节的综合题。

变式3.（2020年江苏省高三期中卷）已

的左、右焦点，过点F？且垂直于实轴的直线与双曲线的两条渐近线分别相交于A，B两点，则坐标原点O可能为△ABF1的（）。

A.垂心

B.内心

C.外心

D.重心

解析：对于选项B，若O为△ABF，的内心，则O到直线AF1的距离等于|OF2|=c，显然不可能。因O到直线AF，的距离恒小于OF1|，故选项B错误。对于选项C，若O为△ABF1的外心，则|OF|=|OF2|=|OA|，故AF1⊥AF2，和已知矛盾，选项C错误。对于选项D，若O为△ABF，的重心，则OF，=2|OF2|，这也明显错误。

根据排除法，O可能为△ABF1的垂心，故选A。

点评：本题考查双曲线中三角形的几种心的性质，考查同学们的逻辑推理能力，求解时应注意三角形各种心的定义及性质。

四、三角形的外心（三角形中三条垂直平分线的交点）

知识储备：

右焦点，点M在双曲线C的左支上，MF2与双曲线C的-条渐近线交于点D，且D为MF2的中点，点I为△OMF2的外心。若O、I、D三点共线，则双曲线C的离心率为（）。

A.2

B.3

C.5

D.5

解析：不妨设点M在第二象限，设M（m，n），F2（c，0）。

由D为MF2的中点，O、I、D三点共线

点评：本题主要考查双曲线的标准方程、双曲线的简单性质的应用，运用平面几何的知识分析出直线OD垂直平分MF2，并用a，c表示出，点M的坐标是解决此题的难，点。

=1（a》0，b》0）的右焦点，以F为圆心，b为半径的圆与双曲线在第一象限的交点为P，线段FP的中点为D，△POF的外心为I，且满足O心=λOi（λ≠0），则双曲线E的离心率为（）。

A.2

B.3

C.2

D.5

因为点D为线段FP的中点，且△POF的外心为I，所以DI⊥PF，即OD⊥PF。

点评：本题借助三角形的外心考查双曲线的离心率的求法，也考查双曲线定义的应用。

圆锥曲线是高中的重点和难点之-，同学们要学习好该专题，第一步就是要先把双曲线、抛物线以及椭圆的相关定理吃透，再进行拓展研究。要解决此类题型，还是要多做题，自己从其中归纳总结方法，对专题深度剖析，从而提高解题效率。

（责任编辑 徐利杰）