一道三角函数最值问题的解法、背景及其拓展

李文东

(广东省中山市中山纪念中学 528454)

2018年全国Ⅰ卷理科数学第16题以三角函数为背景，考查三角函数求导，利用导数处理最值问题等知识，考查转化与化归思想、推理论证能力、运算求解能力、函数与方程思想，体现了数学运算、逻辑推理等核心素养，是一道难得的好题，值得我们细细研究，下面我们给出本题的几种典型的解法，然后指出其实际背景，并给出了一个简单的拓展.

1 题目呈现

题目(2018年全国Ⅰ卷16题)求函数f(x)=2sinx+sin2x的最值.

2 解法欣赏

解法1(导数法) 显然f(x)为奇函数且最小正周期为2π，故只需考虑x∈[0,π].

由于f′(x)=2cosx+2cos2x

=2(2cos2x+cosx-1)

=2(2cosx-1)(cosx+1)，

令f′(x)=0，

列表如下：

x0,π3[)π3π3,π(]f ′x()+0-fx()↗极大值↘

点评此题虽然是2018年全国高考的填空压轴题，难度并不算大，只需要按照导数求解最值的常规步骤即可，需要注意的细节是抓住f(x)为奇函数且最小正周期为2π，从而将定义域限制在x∈[0,π]，这样就给单调性的讨论带来极大的方便.

解法2(非线性规划) 显然f(x)为奇函数.

故只需求出f(x)的最大值即可.

又f(x)=2sinx+sin2x=2sinx(1+cosx)，

记sinx=m,cosx=n，f(x)=t，

则2m(1+n)=t

图1

设切点为(m0,n0)，则有

消去n0和t,得

利用f(x)为奇函数知

点评令sinx=m,cosx=n，则m2+n2=1，从而将问题转化为一个条件最值问题.

解法3(待定系数法)f(x)=2sinx(1+cosx)，引入参数k，根据柯西不等式和均值不等式有：

消去k2,得

cosx+cos2x=sin2x.

进一步化简,得

2cos2x+cosx-1=0.

解法4(均值不等式)

因为f(x)=2sinx+sin2x

=2sinx(1+cosx)，

所以[f(x)]2=4sin2x(1+cosx)2

=4(1-cosx)(1+cosx)3

当且仅当3-3cosx=1+cosx，

解法5(琴生不等式) 由f(x)为奇函数，我们可以限定在0

由琴生不等式，若f(x)为凸函数，则

由于y=sinx为(0,π)上的凸函数，

于是f(x)=2sinx+sin2x

=sin(π-x)+sin(π-x)+sin2x

解法6(构造几何模型)

因为f(x)=2sinx+sin2x

=2sinx(1+cosx),

图2

如图2，设A(cosx,sinx)，点A关于x轴的对称点为A′，点B(-1,0)，则

f(x)=2sinx(1+cosx)=2S△AA′B.

3 背景和拓展

此题其实也有实际背景，其来源如下：

已知半圆O的直径为2，AD为直径，B,C是半圆上除直径外的两点，且BC=CD，则四边形ABCD面积的最大值为____.

图3

如图3，连接OB,OC，设∠BOC=∠DOC=α，

则SABCD=S△OBC+S△OCD+S△OAB

进一步，我们可以将此题拓展如下：

拓展求函数f(x)=sinx(a+cosx),a∈R的最大值.

解析显然f(x)的周期为2π，且有

f(2π-x)=-f(x) .

即f(x)关于点(π,0)对称.

为此我们可以限制定义域为[0,π].

f′(x)=2cos2x+acosx-1，

令cosx=t，y′=g(t)=2t2+at-1，

由于Δ=a2+8>0

g(0)=-1<0.

函数g(t)在[-1,1] 内有两个零点t1,t2，

由于y=cosx在[0,π]上单调递减，

故存在唯一的x1,x2使得

由y′=g(t)=2t2+at-1<0，解得t1

即t1

解得x1

由此可知f(x)在[0,x1]上单调递增，

在[x1,x2]上单调递减，

在[x2,π]上单调递增，

由此可知fmax(x)=max{f(x1),-f(x2)}.

代入数据计算可得:

当-1

fmax(x)=-f(x2)=-sinx2(a+cosx2)

而当0≤a<1时，

fmax(x)=f(x1)=sinx1(a+cosx1)

(2)当a≤-1时，函数g(t)在[-1,1] 内有一个零点t0<0.

由于y=cosx在[0,π]上单调递减，

故存在唯一的x0使得

f(x)在[0,x0]上单调递减，

在[x0,π]上单调递增，

由此可知

fmax(x)=-f(x0)

(3)当a≥1时，同理可得

综上：

做百题不如钻研一题，通过对一道高考试题的多角度研究，不仅提高了我们的解题能力，而且拓展了我们的思维，使我们从题海中跳出来.