核心素养背景下一道“新定义题”分析与思考

扬州大学数学科学学院(225100)占昱

《普通高中数学课程标准(2017年版)》提出了学生能在学习数学课程和应用数学的过程中发展数学核心素养,树立善于思考、严谨求实的科学精神,认识数学的应用价值、审美价值的课程目标.为了在评价课程目标的实现,考察结果性目标的同时兼顾过程性目标,数学考试中的试题应该具有一定的创新性和灵活度,在考查基础知识的同时还能考查学生数学核心素养和数学应用能力.“新定义题型”作为创新性题型,是在题目中给出学生在课堂上没有学习过的新概念、新运算,将“新定义”与已学知识结合,提出相关数学问题.解决该类型题目需要学生在短时间内通过阅读题目条件和例子,自主学习和理解题目中的“新定义”,并运用“新定义”解决问题.新定义题在考察学生对已有知识的掌握程度和知识的迁移能力的同时,也考察了学生的从问题中提取信息能力、阅读理解能力和自主学习能力,并且解决问题时往往会要求学生具有较高的数学素养,实现了学生数学核心素养的考察.

2021年是江苏省实行新高考改革的第一年,八省联考作为第一次新高考前的一次适应性考试,既是对各省的教育的一次评价,又为各省在新高考模式下高中教育教学指明方向.在八省联考数学卷第20 题中,改变了以往常规出题方式,应用了“新定义题”题型.下面就八省联考数学卷中的第20 题新定义题为例,分析该题所考查的数学素养和数学能力.

1 试题解析与点评

试题:北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用.刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容.用曲率刻画空间弯曲性,规定:多面体顶点的曲率等于2π与多面体在该点的面角之和的差(多面体的面的内角叫做多面体的面角,角度用弧度制),多面体面上非顶点的曲率均为零,多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和.例如:正四面体在每个顶点有3 个面角,每个面角是,所以正四面体在各顶点的曲率为,故其总曲率

为4π.

(1)求四棱锥的总曲率.

(2)若多面体满足:顶点数−棱数+面数=2,证明:这类多面体的总曲率是常数.

1.1 试题解析

通过分析题目中给出的计算曲率的公式和例子,可以发现要按照题目中所举的例子计算四棱锥的总曲率,需要知道四棱锥的顶点数、面角数以及面角的大小,但是由于四棱锥的不确定,其每个面角的大小是不确定的,所以通过各顶点曲率求和得到总曲率的方法是较难的.但是通过观察可以发现四棱锥有一个面为四边形,内角和为2π,其余四个面是三角形,四个面的总内角和是π·4,所以所有面角的和为所有面的内角和相加即π·4+2π·1,由于四棱锥有五个顶点,再计算出2π·5 与所有面的内角和的差得出答案.第(2)问是将第(1)问抽象化,在解决第(2)问时可以类比第(1)问的方法.首先设出每个面的边数,再利用多边形内角和公式计算出所有面的内角的总和,并化简该式子,最后在利用曲率的公式计算并利用问题中的条件化简,发现该类多面体的总曲率为4π,即多面体满足:顶点数−棱数+面数=2 时,多面体总曲率是4π.

解:(1)记总曲率为K,则四棱锥的总曲率K=2π·5−(π×4+2π×1)=4π,

(2)记多面体总曲率为K,顶点数为V,面数为F,棱数为E;设多面体每个面的边数分别为n1,n2...nF,则对应的每个面是ni边形;则第i面的内角和为(ni −2)·π;所以总内角和为.

1.2 试题点评

该题以大学微分学中的曲率为背景,结合立体几何中相关知识点进行试题命制.但是该题中的“曲率”并不是几何中真正的曲率,而是将曲线的曲率性质类比到空间当中,用来描述空间的弯曲性,以此形成了一个新“曲率”的概念.同时第(2)问的条件也是著名的欧拉定理,即在一凸多面体中,顶点数−棱数+面数=2.此题属于新定义题型中的新概念题,学生要能够解决这个问题,首先需要结合已有的几何知识结构和理论体系来理解“曲率”的概念,应用数学语言和符号解释“曲率”的计算方法.这要求学生具有较高数学表征能力;学生在理解“曲率”概念和计算方法基础上,根据题目中的计算公式和自身的空间观念找到多面体的点、面、边和角的密切关系,通过图形的性质和变换建构“数”与“形”的关系,并将其转化为“数”的关系来解决问题.该题的第(2)问形式上是证明题,但本质上是计算题,即计算一类满足顶点数−棱数+面数=2 条件的多面体的总曲率,与其面数n无关.在解决问题(2)时,需要把第(1)问的解题方法类比到第(2)问,将求具体的四棱锥的总曲率抽象为求n面体的总曲率,从而证明第(2)问结论,考查了学生的数学抽象这一数学核心素养,同时学生需要运用逻辑推理能力,选择恰当的数学方法证明问题(2)的数学命题,并用准确的语言表述论证过程.在计算第(2)问的多面体曲率时,需要学生具有一定的符号意识,从多面体中理清点、面、边和角的数量关系和变化规律,并能用符号表示运算对象,运用符号进行运算、推理,同时理解运算对象、探究运算思路,通过运算证明问题中的一般性结论.由此可见,该试题不仅考查了学生的基础知识,还综合考查了学生的数学抽象、逻辑推理、几何直观、数学计算等数学核心素养.

新定义题除了定义新概念外,还有定义新运算的题型.解决新运算题需要学生具有一定的抽象意识,理解新运算中的运算规则,避免对一些运算符号的思维定势干扰解题思路.其实学习新定义、新运算等是学生扩充其数学知识体系的一个基本途径,数学新知识的学习,无非就是新概念、新结构和新运算的学习过程.例如,我们在小学阶段就已经学习了数的加法,在初中阶段性学习了多项式和分式的加法,到了高中又学习了函数加法和向量的加法.相对于实数的加法,中学阶段所学的这些“加法”都是新运算.到了大学阶段学习代数结构以后知道,任何一个交换群中的运算都可以叫做“加法”,进一步抽象化,所谓集合G上的加法就是G×G到G的满足一定条件的一个映射.因此“新定义题”能够很好地体现数学的核心素养,对学生的进一步学习大有裨益.

下面将对往年高考中出现的新概念题、新运算题进行简要分析,体会新定义题对学生数学核心素养的考查.

2 往年高考新定义题

试题1:(2017年江苏第19 题)对于给定的正整数k,若数列{an}满足:an−k+an−k+1+...an−1+an+1+...+an+k−1+an+k=2kan对任意正整数n(n >k)总成立,则称数列{an}是“P(k)数列”.

(1)证明:等差数列{an}是“P(3)数列”;

(2)若数列{an}既是“P(2)数列”,又是“P(3)数列”,证明:{an}是等差数列.

解析:(1)根据等差数列的性质,an−3+an−2+an−1+

an+1+an+2+an+3=(an−3+an+3)+(an−2+an+2)+(an−1+an+1)=2×3an根据“P(k)数列”的定义,可得数列{an}是“P(3)数列”;

(2)由{an}是P(3)数列可得an−2+an−1+an+1+an+2=4an,又由{an}是P(3)数列可得an−3+an−2+an−1+an+1+an+2+an+3=6an,整理即可求得2an=an−1+an+1,即可证明数列{an}是等差数列.

分析:该题将新定义题型与数列的知识点进行结合,属于新定义题中的新概念题.解决该问题需要学生在理解“P(k)数列”定义的基础上,灵活运用等差数列概念和性质,并运用符号进行运算、推理,得出等差数列是“数列P(k)”的结论,同时在第一问的基础上,利用题目中的条件和“P(k)数列”的定义得到(2)问中的结论.该题不仅考察了学生对数列知识的掌握程度,同时还考察了学生的数学运算、逻辑推理等核心素养.除此之外,教师在该题的教学过程中,可以让学生探索更一般的结论,培养学生的探索精神.个交点,故选 B.

分析:该题属于新定义题中的新运算题型,题中定义了一种新的运算“⊗”,利用新运算构建一个新的函数f(x).该题需要学生能理解、运用运算法则得到函数f(x)的解析式,并利用分段函数和函数零点的相关知识点,运用数形结合的方法结合函数图像解决该问题.对于该题,抛开新运算,这道题其实是一道简单的关于函数零点的选择题,但是加入新运算后,不仅提高了试题的难度、区分度和创新度,同时考查了学生灵活运用知识的能力,对学生几何直观、逻辑推理,特别是数学运算的数学核心素养要求较高.

3 教学建议

通过分析上述八省联考和往年高考中的新定义题,我们发现这些题难度并不大,本质上还是对高中的相关数学知识的考查.为了提高学生新定义题的解题能力,培养学生数学学习能力,下面提出几点教学建议.

3.1 注重知识的联系和知识的迁移

对于“新定义题”,虽然是新的“定义”,但是这些概念其实是已经学习过的概念、定理的延伸,其问题本质上还是考察书本中数学知识,以及学生能否通过已经学习的定义来理解新定义.所以解决问题的关键还是在学习知识的过程中关注数学知识间的联系性,注意学生知识的迁移能力.在教学过程中,教师应该加深学生对迁移能力的认识,培养学生的数学迁移意识,在学生牢固掌握知识的基础上,让学生对基础知识有一定的归纳总结能力,进而提高学生的迁移能力,同时引导学生关注知识之间的联系,建立完整的知识结构,为学生知识的迁移打下基础.

3.2 加强学生数学语言操作能力

“新定义题”解题的一大难点就在学生需要精准理解问题中给出的新定义的内涵,并应用新定义解决问题,其考察的本质是学生的数学语言操作能力,学生需要理解问题中新定义的概念,实现定义的数学语言的转化.因此,教师在教学过程中,应该有意识地培养学生数学语言的转化能力.在解决问题时,让学生自主思考,提取问题中的有效信息并转化为数学语言解决问题.在学习新定义、新运算时,有意识地让学生将语言文字转化为数学语言,用自己的话表达,培养学生的语言表达能力.同时,教师在教学过程中还应该注意多种数学表征类型的应用,这样不仅加深对数学知识的理解,还能切实提高数学语言操作能力.

3.3 培养学生深度思考能力

数学学科的根本是其思维特性,数学活动主要表现在思维活动,数学教学的根本是教学生学会思考.学生在考试过程中遇到新定义题后不会解决,产生畏难心理和恐惧心理,其很大原因是学生不善于思考.在数学课堂教学中,教师应该教会学生学会思考.让学生提出问题,让学生举例论证,有意识地训练学生举反例、特例,培养学生的逆向思维,提高学生的思维“活性”.为学生提供质疑反思的机会,培养学生质疑反思能力.同时,在解决数学问题时,展现思路的产生过程,教会学生数学研究的一般方法,通过教会学生思考来提高学生的解决问题的能力,培养学生的数学核心素养.