初中数学单元复习的归纳、反思与突破——以“一次函数”复习教学为例

陈超

（闽江学院附属中学，福建 福州 350005）

目前的很多单元复习课，仅仅罗列整个单元的知识点，讲解一些的典型例题，知识点快速闪过，主要存在以下问题：教师讲得多，提炼得少；学生做得多，思考得少。这样的复习方式很难打通知识间的阻隔，无法有效地构建知识体系，促进知识的掌握、技能的增长、数学能力的提高。如何让复习课更有效果地打通知识屏障，笔者以“一次函数”复习课为例，展示单元复习课的归纳、反思与突破策略。

一、复习“一次函数”教学设计示例

（一）回顾归纳，重构知识

2.一次函数y=kx+b(k≠0)的图像与性质

2.如何画一次函数的图像？以一次函数y=2x-3为例画出该函数的图像

设计意图：一次函数是学生中学阶段学过的第一个函数，而函数又是今后学生学习其他数学知识的统领和基础，因此要让学生学会将解析式和图像有机结合起来，做到“眼中有式，心中有图”，实现二者自由地转换。再通过画一次函数y=2x-3 的图像，让学生更深刻、更全面理解函数的结构和特征，为后续的知识拓展提供厚实的知识储备。

（二）深化概念，形成联系

已知一次函数y=(m-4)x+3 -m，当m为何值时，1.y随x值增大而减小；2 图像与y轴的交点在x轴的上方；3 图像经过第二、三、四象限。

设计意图：设计一个小题组，让学生更加明确函数解析式中的k和b的意义，适时追问学生，若将第1.问的条件改为①x1＜x2，y1＞y2；②x1＞x2，y1＜y2；③＜0，④＜0，将第3 问的条件改为不经过第一象限，结果是否与原题一样？学生通过辨析，对一次函数的本质属性，概念的外延理解更加透彻。

4.若函数的图像过（1，-1）和（2，1）两点，与x轴、y轴分别交于A、B两点，求①求函数的解析式；②△AOB的面积；③求当x取何值时，y的值大于0?小于0？5.若函数y=2x-3 和y=-x+3 的图像分别交x轴于A、B两点，两个函数图像交于C点，求△ABC的面积；6.利用函数图像求不等式2x-3＞-x+3 的解。

设计意图：从复习一次函数待定系数法入手，自然生长出一元一次方程、一元一次不等式、二元一次方程组等相关知识，发现它们不过是函数变化的特殊情况，四者是不可分割的统一体。让学生观察三个小题解题过程中的符号、位置、结构的变化，尝试用函数的观点对以前学过的方程、不等式再审视，从而对初中代数各模块之间的联系理解得更加深刻。

（三）变式拓展，发展思维

7.将函数y=2x-3 的图像向上平移2 个单位，求平移后函数的解析式；8.将函数y=2x-3 的图像向右移2 个单位，求平移后函数的解析式；9.将函数y=2x-3 的图像绕着它与x 轴的交点顺时针旋转90°，求旋转后函数的解析式；10.将函数y=2x-3 的图像沿着y 轴翻折，求翻折后函数的解析式。

设计意图：利用平移、旋转、翻折等几何变换对题目进行变式。引导学生观察变换前后的函数图像，在动态变化中寻找不变的量作为突破口。在变和不变中，让学生领悟函数特征，提高思维的延伸性和灵活性。

11.函数y=2x-3 的图像上是否存在一个点P，使S△BOP=，若存在，求P点的坐标；若不存在，请说明理由；12.若函数y=2x+b的图像与x轴、y轴围成三角形的面积为2，求b的值。

设计意图：在学生熟悉的y=2x-3 函数图像中，植入面积问题。要让学生意识到，对于这类动直线或直线中的动点问题，求三角面积所需要的底或者高，归根到底还是一次函数与xy轴的交点问题，从而突破难点，突出重点，将整节课推向高潮，也将学生的思维引向深处。

二、单元复习教学反思与突破

（一）明晰教学主线是单元复习策略实施的前提

一个单元的知识点纷繁复杂，各种典型的例题层出不穷，复习课若没有把握清晰的主线，学生无法将碎片化的知识进行完善，更谈不上重构知识、应用知识。本节课始终围绕着y=2x-3 这条主线开展的，摒弃烦琐的教学设计，采用简约、凝练的复习方式，把本章中主要知识点巧妙地融入几个教学环节中，每个教学环节都预设追问或变式拓展，或者是围绕着原来的问题“生成”或“生长”出新的问题继续探究［1］，问题由浅到深，层层递进，各环节丝丝入扣，浑然天成，把像散落的珍珠一样杂乱无章的知识点和典型例题串成一条完整有序的线呈现在学生面前，让学生感受知识、方法、经验、思维的自然生长。在一条清晰的主线下，提炼解题策略，渗透数学思想，培养思维品质。

2.形成知识体系是单元复习策略实施的目标

为了让学生把学到的知识从点状式的结构连成网状结构，我们可以从学生的实际水平出发，从复习核心知识开始，始终围绕着核心知识开展活动，要做到起点低、入口浅，能有效激发学生继续探索的信心。要以核心知识为出发点，牵引相关知识点，引导学生把关联的知识点串联起来，形成知识结构网络，更好地固化知识，迁移知识，形成应用能力。在本节课中，从复习一次函数的定义、图像和性质入手，对其概念进行深入挖掘，让学生充分掌握“四基”。然后打破单元的限制，通过问题串，从函数的视角看先前学过的一元一次方程、不等式和二元一次方程组，确立函数的统领位置，把初中四个模块的知识点紧密地联系在一起。再通过多个几何变换求函数解析式，结合面积问题求函数中相关的量，引导学生努力寻找知识之间的内在联系，实现知识重构和完善，使一次函数衍生出来的知识框架覆盖了多个知识点，形成一个有机的整体。

在解题过程中，鼓励学生通过“数”和“形”结合，帮助学生有意识地利用图像，辅助解决函数问题，做到图和式熟练地切换，真正地理解一次函数图像和性质的本质属性。同时利用分类讨论、方程、化归等思想方法综合地思考问题、分析问题、解决问题，活络了整体知识应用的筋脉［2］，促进思维的发展，使得全章的知识脉络更加清晰。

3.主动求“变”是单元复习策略实施的路径

复习课中，在学生全面充分掌握基础知识、基本技能的前提下，采取变式拓展可让课堂更加精彩。

改变问题的条件或结论，或者增加条件，让设置的问题层层递进，难度拾级而上，引发学生主动思考、探索。值得注意的是采用变式拓展教学策略时，教师不能随意将几个类似问题组合在一起，仅仅追求形式上的变式，要对设计的题组进行梳理、分类、归类，变式过程能有效链接相关的知识点，帮助学生揭示变式题组中的知识点所蕴含的本质属性，理清各题之间的相互关系，理解在变式过程中不变的元素如何驱动变化的元素解决问题。学生利用已生成的知识结构，调动相关知识点，寻找有章可循的解题路径，形成固定的解题套路，实现知识的有效迁移。通过一题多变，让学生从代数、几何、数学思想方法、数学核心素养等多角度多方面分析问题，思考问题，寻找最佳解决方案，做到做一题通一类，让学生的思维能力得到锻炼，培养学生思维的灵活性、发散性和创造性。