洞悉旋转本质 巧构模型破题

沈岳夫

[摘  要] 旋转问题是中考数学的重点题型，以其为基础命制的综合题一般会以压轴题的形式出现，此类问题具有图形复杂、形式多样、综合性强等特点. 因此，对此类问题进行剖析和方法总结就显得格外重要. 文章以两类旋转综合题为例展开探索，借助“旋转”本质，通过合理的构图，化无序为有序、化隐为显，与读者交流.

[关键词] 旋转问题;挖掘模型;中考试题

综观2020年各地的中考试卷，有两类旋转型的中考题引起笔者的注意，这些试题虽然以熟悉的几何图形为背景，但思维含量高、难度大，涉及的知识点较多，涉及的知识面广，成为整卷的拉分题. 那么如何化解，如何识别隐藏的模型，如何化陌生为熟悉等，笔者特以两类有代表性的中考试题为例，对其进行分类剖析，望能对教学有所启迪和帮助.

全等旋转藏等腰，等角定弦圆相助

例1 （2020年湖北十堰24题）如图1，已知△ABC≌△EBD，∠ACB=∠EDB=90°，点D在AB上，连接CD并延长交AE于点F.

（1）猜想：线段AF与EF的数量关系为______;

（2）探究：若将图1的△EBD绕点B顺时针方向旋转，当∠CBE小于180°时，得到图2，连接CD并延长交AE于点F，则（1）中的结论是否还成立？若成立，请证明;若不成立，请说明理由;

（3）拓展：图1中，过点E作EG⊥CB，垂足为点G. 当∠ABC的大小发生变化，其他条件不变时，若∠EBG=∠BAE，BC=6，直接写出AB的长.

解析 （1）答案应为：AF=EF.

（2）AF=EF仍然成立，理由如下：

1. 辅“直”解法

思路1：如图3，分别过点A，E作AM⊥CF，EN⊥CF，垂足分别为M，N. 由旋转可知AC=DE，BC=BD，所以∠BCD=∠BDC，于是∠ACD=∠EDN. 接着证明△AMC≌△END，可得AM=EN，進而再证△AMF≌△ENF，所以AF=EF.

思路2：如图4，延长DF到G，并使FG=DC，连接GE.由旋转可知AC=DE，BC=BD，所以∠BCD=∠BDC，于是∠ACD=∠EDG. 接着证明△ACF≌△EDG，于是AF=EG，进而由∠DGE=∠CFA=∠EFG得到△GEF为等腰三角形，即可证明AF=GE=EF.

2. 辅“曲”解法

思路3：如图5，由旋转可知BC=BD，BA=BE，且∠CBD=∠ABE，可得∠BCD=∠BAE. 连接BF，则B，C，A，F“四点共圆”，由于∠ACB=90°，所以AB是直径. 进而可知∠AFB=90°，所以AF=EF.

（3）AB的长为12或6（-1）. 分两种情况讨论：

当AC>BC，如图6，由旋转可知BA=BE，所以∠BEA=∠BAE=∠EBG. 于是可证四边形AEGC为矩形，进一步可证∠ABC=∠ABE=∠EBG=60°，所以AB=2BC=12.

当BC>AC，如图7，由旋转可知BA=BE，所以∠BEA=∠BAE=∠EBG. 于是可证△BAE∽△HBE，进一步可证∠AHC=∠ABC=∠EBD=36°，于是△HBE是黄金三角形，点A是黄金分割点，所以==，即=. 所以AB=6（-1）.

解题反思 证明两条线段相等，最常用的方法是证明线段所在的三角形全等. 如本题第（1）（2）两小题，根据旋转的性质得到AC=DE，∠ACD=∠EDF，所以以此为切口展开联想，比如图3是基于AC=DE，∠ACB=∠EDB=90°构造三角形全等，图4是基于AC=DE，∠ACD=∠EDF构造三角形全等，图5是基于∠BCD=∠BAE构造“辅助圆”等，其中图5的构造（辅“曲”解法）是另辟蹊径，简单明了，对解题起到事半功倍的效果;第（3）小题是以思维为经络，以运算为骨骼进行了一次有机的结合，需要学生领悟已搭建起的桥梁，借此问顺势而为，可通过分类构造出图6（矩形）、图7（黄金等腰三角形）的特殊图形，进而类比探求.

类题巩固 （2019年福建莆田24题）如图8，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，将△ABC绕点A逆时针旋转，得到△ADE，旋转角为α（0°<α<90°），连接BD，设BD的延长线交CE于点F.

（1）如图9，当α=45°时，求证：CF=EF;

（2）在旋转过程中，

①问（1）中的结论是否仍然成立？证明你的结论;

②连接CD，当△CDF为等腰直角三角形时，求tan的值.

解法提示 第2问中的第①小问比例1更特殊，是典型的等腰直角三角形的旋转问题，应充分利用45°角的“特殊功能”，借助平行线、全等三角形、等腰三角形、圆等图形的诸多性质，添加不同的辅助线助力解题，因而可仿照例1提供的方法解决问题;第②小问，可秉承相关思路和解法，抓住∠BFC=∠BAC=45°（用“辅曲解法”推知）的这一隐含信息，勾画出∠CDF=90°或∠FCD=90°的相关图形，进而分类探求出tan=或.

相似旋转伴中点，巧借中点来破解

例2 （2020年辽宁葫芦岛25题）在等腰△ADC和等腰△BEC中，∠ADC=∠BEC=90°，BC<CD，将△BEC绕点C逆时针旋转，连接AB，点O为线段AB的中点，连接DO，EO.

（1）如图10，当点B旋转到CD边上时，请直接写出线段DO与EO的位置关系和数量关系;

（2）如图11，当点B旋转到AC边上时，（1）中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由;

（3）若BC=4，CD=2，在△BEC绕点C逆时针旋转的过程中，当∠ACB=60°时，请直接写出线段OD的长.

解析 （1）答案应为： DO⊥EO，DO=EO.

（2）由第（1）问的特殊性、直观性，要悟出解题的真谛，找准“中点”的生长点，如等腰三角形遇中点——三线合一;直角三角形遇中点——斜中线定理;中点遇中点——中位线定理;中线倍长法等，就此题而言，当我们看到图12时（P是AB的中点），你会怎么处理？

我们是不是不由自主地想要让它变成图13（构造DP=CP，使P为CD的中点）或图14（构造CD=BC，使C为BD的中点）？当解题的思路理清了，解答第（1）（2）两问的方法就明了了.

思路1：如图15，延长EO到点M，使OM=OE，连接AM，DM，DE，由题意可证△OAM≌△OBE，进一步可得∠MAD=90°=∠ECD，然后可证△DAM≌△DCE，于是∠MDE=90°，即可证明DO⊥EO，DO=EO成立.

思路2：如图16，延长EB交AD于点F，于是可证四边形CEFD为矩形，进而可证△OFD≌△OBE，即可证明DO⊥EO，DO=EO成立.

思路3：如图17，过点B作BF∥AD，与DO的延长线交于点F，连接EF，DE，则△OAD≌△OBF，进而可证△EBF≌△ECD，即可证明DO⊥EO，DO=EO成立.

（3）OD的长为2或2. 分两种情况讨论：

当CB与CD在AC的同侧时，如图18，延长AD到点G，使DG=AD，连接BG，GC，则OD是△ABG的中位线.过点B作BF⊥CG，垂足为点F.由题意知∠BCF=30°，而GC=4，于是进一步可得BG=BC=4，所以OD=BG=2.

当CB与CD在AC的异侧时，如图19，延长AD到点G，使DG=AD，连接BG，GC，则OD是△ABG的中位线. 过点B作BF⊥CG，垂足為点F. 由题意知∠BCF=30°，而GC=4，于是进一步可得BG=4，所以OD=BG=2.

解题反思 此题立足于中点的畅想进行施策构图，如图15基于构造中心对称三角形全等来证明，图16基于斜中线定理的角度思考问题，图17基于∠DAO=∠OBF=45°，进而构造“手拉手”三角形全等来解决问题，因而善于捕捉信息、抽象和归类建模是解决问题的关键;第（3）小题峰回路转，难度增大，需要将解题过程中得到的方法、策略和思想进行内化，这就需要考生有较强的转化能力、良好的构图意识.由此可见，通过辅助线的添加激活已知条件，揭示问题本质，体会到数的精准、形的灵动，解法多样，精彩纷呈.真所谓“脑中有中点，心中有模型”，解法自然来.

类题巩固 （2019年辽宁·沈阳卷）思维启迪：

（1）如图20，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小亮想用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长，聪明的小亮想出一个办法：先在地上取一个可以直接到达B点的点C，连接BC，取BC的中点P（点P可以直接到达A点），利用工具过点C作CD∥AB交AP的延长线于点D，此时测得CD=200米，那么A，B间的距离是__________米.

思维探索：

（2）在△ABC和△ADE中，AC=BC，AE=DE，且AE<AC，∠ACB=∠AED=90°，将△ADE绕点A顺时针方向旋转，把点E在AC边上时△ADE的位置作为起始位置（此时点B和点D位于AC的两侧），设旋转角为α，连接BD，点P是线段BD的中点，连接PC，PE.

①如图21，当△ADE在起始位置时，猜想：PC与PE的数量关系和位置关系分别是__________;

②如图22，当α=90°时，点D落在AB边上，请判断PC与PE的数量关系和位置关系，并证明你的结论;

③当α=150°时，若BC=3，DE=1，请直接写出PC2的值.

解法提示 对于第（2）小题的①②问可分别构造出图23、图24，具体过程留给读者思考.

③如图25，作BF∥DE，交EP延长线于点F，连接CE，CF，过E点作EH⊥AC，交CA的延长线于点H.由②可得△FBP≌△EDP，而在五边形ACBDE中，易求得∠CBP+∠PDE=210°，进而求得∠CBF=150°=∠CAE，于是证得△FCE是等腰直角三角形. 在Rt△AHE中，∠EAH=30°，AE=DE=1，则HE=，AH=，于是CH=3+，则EC2=CH2+HE2=10+3，所以PC2=EC2=. 由此看出，这种“补形”策略，是通过对题目的深入分析，或联想，或转化，挖掘知识模块蕴含的思想方法，是一种经验的“喷薄”. 让人不禁感叹，几何构造之神奇，探索无止境.

综上，通过对上述旋转型中考试题的研究，笔者得到了一些启发：当遇到一个难题，我们应该努力从已知条件中寻找通往未知的桥梁（辅助线、方法技巧），针对问题进行巧妙而准确的构图. 通过构图可以找到解决数学问题的多种途径，搭建培养创新思维的绚丽舞台，认清各条件之间的联结纽带，呈现简明、形象的解题过程. 因此，在几何教学中，教师一方面要引导学生总结与归纳典型问题的分析思路、解题方法及模型建构，帮助学生整理并形成相应的解题策略;另一方面也要鼓励学生开展解后反思，使学生在解题中做到“思”之有形，“做”之有图，“解”之有道，不断提炼、积累解题方法，将所学的知识和方法内化吸收，从而真正提高学生的数学核心素养.