高中数学阅读与写作教学的实践与思考

刘雅芳 邱云

摘  要：人教A版新教材将数学文化融入正文内容中，并以“文献阅读与数学写作”等方式对学生提出具体学习要求. 数学阅读与写作可以解决学生数学学习内驱力问题. 以研究对数概念的形成与发展过程为例，让学生体验文献查阅的方法及文献综述的写作过程，整理出一个数学写作脉络的“模板”，用以指导学生的数学写作.

关键词：数学阅读;数学写作;数学文化

数学阅读是掌握数学语言的前提，是有效进行数学学习的基础，是正确解题的重要保障. 数学教育学家斯托里亚尔说过，数学教学也就是数学语言的教学. 加强阅读是提高学生自主学习能力的一个重要方面.《普通高中数学课程标准（2017年版）》指出，数学是人类文化的重要组成部分. 数学课程应适当反映数学的历史、应用和发展趋势，帮助学生了解数学在人类文明发展中的作用，逐步形成正确的数学观. 阅读数学史，让数学文化走进课堂是非常有必要的. 数学写作让学生表达和思考数学知识、数学方法及数学情感，丰富了学生的数学文化生活，也为创造积极、和谐的教学氛围，构建和谐的师生、生生关系起到积极作用.

用数学语言进行表达和交流是高中数学新课程的目标之一. 数学阅读与写作的学习为实现这一目标发挥了独特的作用. 本文以“对数概念的形成与发展”为例，探析高中数学阅读与写作教学的实践与思考.

一、课前分析

对高一学生来说，对数是一个全新的内容，学习起来有一定的难度. 本节课是人教A版《普通高中教科书·数学》必修第一册（以下统称“教材”）中“文献阅读与数学写作”课初探，属于选学内容，虽然不作考试要求，但对学生了解对数概念的产生与发展过程、感受数学文化的魅力、提高数学探究与学习兴趣、提升基本数学素养、加深对数学概念的理解有益，为后续学习对数函数打下坚实的基础.

学生从初中阶段的学习过渡到高中阶段的学习已有一段时间，已经形成对知识的理解和感悟，以及自主学习、课堂分组讨论等基本习惯. 学生对互联网较熟悉，知悉如何通过互联网进行资料搜索，这为本节课课程资源的建立提供了条件. 本节课是在学生学习了对数的概念及对数的运算之后呈现的，有关对数的历史、发明方法，以及如何使用对数表，学生在此之前没有接触过，致使学习的陌生度较高. 当然，对于数学史这样的课外内容，学生应该会有较高的学习兴趣.

二、课堂实录

1. 阅读材料，提取信息

师：上一节课我们学习了对数的概念及对数的运算，教材中是如何定义对数的？

师：在教材中，对数是通过指数的定义得到的. 但是在数学史上，对数的起源并不完全是这样的. 这节课我们就一起来了解一下对数概念的形成与发展过程.

教师让学生再次阅读教材第128页的“阅读与思考”材料——对数的发明，并回答下列问题.

问题1：对数发明的背景是什么？它对社会产生了怎样的影响？

问题2：谁发明了对数？他是怎样描述对数的定义的？

问题3：谁令对数更为广泛地流传？他做了什么改进？

问题4：谁发现了指数与对数的关系？

【设计意图】通过学生自主阅读和教师提问的方式让学生提取阅读材料中的关键信息. 一方面，学生初步了解了对数发明的历史背景，体会到数学来源于生活又应用于生活;另一方面，通过一则简单的阅读材料，学生梳理了阅读脉络，进行了课前热身.

2. 搜集资料，交流讨论

师：课前布置了对数概念形成与发展的研究性学习任务，同学们通过图书馆、书店及网络查阅资料，或者向教师、家长咨询，或者与周围的同学进行交流等方式展开学习，相信对对数概念的形成与发展过程有了更广泛、更深刻的认识. 为了方便交流，每个小组都将自己的研究成果做成PPT. 下面我们请各小组代表上台展示、分享他们的研究成果.

小组代表上台展示、分享研究成果.

第一小组：主题是“对数的起源”. 主要汇报了对数产生的历史背景、对数思想的萌芽、纳皮尔对数定义的形成、对数对人类文明进步的贡献.

第二小组：主题是“对数的发展过程”. 在第一小组的基礎上补充介绍了布里格斯与欧拉对纳皮尔对数定义的改进与完善，以及对数的另一位发明者比尔吉.

第三小组：主题是“对数的应用”. 例如，在生物领域，对数用于求“半衰期”考察生物体的死亡时间;在化学领域，对数用于测量酸碱度（pH值）;在地理领域，对数用于计算地震强度;在物理领域，对数用于测量声音分贝;在天文领域，对数用于测量星星的亮度等级;等等.

师：从三个小组的发言可以看出，这三个小组的成员确实做了充分的准备，三位发言的同学语言严谨、表达流畅，总体上三个小组都完成得很好！第一、二小组为我们展示了比较完整的对数概念的形成与发展过程. 这里补充一个说明，无论是纳皮尔、布里格斯还是比尔吉，当时都没有“底”的概念. 事实上，当时还没有完善的指数概念与指数符号. 由此可见，对数的发现是早于指数的. 第三小组用实例为我们展示了对数在各个领域的应用，很有说服力. 当然，对数在数学领域中的意义就更为深远了. 例如，在接下来的微积分学习中，对数对于解决有关的函数不等式问题起着重要作用.

教师补充解读纳皮尔对数的定义.

师：刚才第一、二小组的汇报都是围绕纳皮尔对数的定义展开的，那么纳皮尔对数是如何定义的呢？现在我们一起来解读纳皮尔对数的定义.

纳皮尔对数是在前人的基础上产生的，它的核心思想仍是等差数列与等比数列之间的对应关系. 只不过纳皮尔借助运动学，从连续的几何量出发，定义的对数是连续的. 在这两个数列中，当[Δt]取非常小的值时，数列中的数可以近似地看成连续的实数，这样就不会出现很多数在表格中找不到，而舒开和史提非给出的数列中的数是离散的，很多数在表格中找不到.

师：课后同学们可以进一步探究以下两个问题. （1）用现在的对数符号如何表示纳皮尔对数？纳皮尔对数与现在的对数之间是什么关系？（2）纳皮尔对数满足怎样的运算性质？

学生课后探究成果如下.

师：对数表凝聚了历史上许多数学家毕生的心血，被称作“将天文学家的寿命延长了许多倍”. 在之后的300多年里，对数表给人们带来了怎样的便利呢？在电子计算器和计算机出现以前，人们是如何使用对数表或对数计算尺来解决大数的乘法运算的呢？同学们拿出课前发的常用对数表，接下来请第四小组代表为我们解读对数表的使用.

第四小组：用例子解读对数表的使用说明，以及对数简化运算的原理（通过对数，可以将乘、除运算转化为比较简单的加、减运算，将高级运算降为次级运算），并与计算器的计算结果进行比较.

【说明】学生通过课前搜集、整理资料，初步掌握文献查阅的方法，体验文献综述的写作过程;促使师生、生生之间形成共同交流、合作探究的和谐关系. 通过小组研究成果的展示和分享，学生了解到比较完整的对数概念的形成与发展过程，加深对数学的理解. 学生通过上台展示锻炼了语言表达能力和逻辑思维能力，体验到自主学习的成就感. 教师对纳皮尔对数定义的解读帮助学生解决文献阅读过程中的困惑. 其中，严谨的逻辑推理和数学运算有助于培养学生的理性思维和科学精神. 对数表的使用，让学生体会到对数简化运算的思想方法，并通过与计算器的计算结果进行比较，使学生对于对数简化运算更信服. 课后探究是对本节课学习的一个延续，加深了学生对对数运算性质的理解. 同时，让学生体会到好的符号体系能够减轻人的思维负担，对于数学的发展至关重要，从而使学生领略到数学的简洁美，感悟科学家的精神意志，激发学生的学习斗志，培养学生独立思考、积极探索的精神.

3. 厘清脉络，数学写作

学生通过经历课前的确定主题、文献搜集、文献阅读、素材整理，将查阅结果整理成小论文交流、讨论，进而得到比较完整的对数概念的形成与发展过程. 以此作为一个案例，厘清论文主体部分的写作脉络，即研究一个数学对象（数学概念、数学定理等）的形成与发展过程的思路：思想萌芽—概念形成—体系完善—推广应用—未来展望.

【说明】通过课前准备和第二环节的成果展示，学生尝试总结归纳，厘清写作脉络，初步体验数学写作的过程与方法.

4. 课堂小结，畅谈收获

师：今天的数学课，大家有什么收获？或者对前面四个小组的汇报内容有什么认识或补充？

生2：通过这节课，我了解了对数的起源、发展与形成过程，以及对数在各个领域中的应用. 对数的产生背景是当时的人们为了解决繁难的大数运算问题，由此可见，学习数学是为了更好地服务生活，而不仅仅是为了考试. 同时，我感觉我们在学习数学的过程中要学会类比和创新，要有埋头苦干、不烦躁、不畏难的精神和毅力. 有时候，我们在学习的过程中遇到难一点的题就会心烦气躁，不想继续研究. 但是纳皮尔坚持研究对数长达20多年，还有许多数学家为了制作和完善对数表付出了毕生的心血. 由此我想，如果我们对待学习也能像他们一样投入，有足够的耐心和信心，有勇于探索的精神，那么一定会有很大的收获！

生3：生2为我们总结了这节课学到的知识，以及他从科学家身上汲取的非常可贵的精神. 综观整节课，让我印象深刻的还有数学写作，想必很多同学与我一样是第一次接触与数学有关的写作. 有关一个数学对象的形成与发展过程的写作主体可以从五个方面展开，这为我们展示了清晰的写作脉络，使我们对数学写作不再感到陌生了. 如果我们平时能多写、多练，并将这五步写作脉络应用到新概念的学习中，不仅能够提高写作水平，而且对提高数学成绩也会有很大帮助.

【说明】学生从知识、方法、情感三个方面谈启示与收获，特别是情感、态度与价值观方面，感悟数学家们的探索精神，让学生感受到榜样的力量，培养坚忍不拔的意志和信念，激发学生对数学史的探索热情，增加学生对数学文化的了解.

5. 开拓思维，优化作业

（1）修改、优化小论文，以个人或小组为单位，提交电子版或纸质版作业.（也可以选取对数发展过程中的某一点为主题进行写作，如对数的具体应用、对数符号的产生与发展、自然对数e的由来等.）

（2）阅读文献《数学符号史》（作者：徐品方，张红），《e的故事：一个常数的传奇》（作者：马奥尔），《数学史上的里程碑》（作者：H.伊夫斯），并上网搜索制作对数表的相关资料.

【说明】通过交流、讨论，以及写作脉络的呈现，学生会产生进一步修改、完善自己的论文的想法. 课后以电子版或纸质版的形式提交论文，弥补了由于时间限制没能在课堂上展示研究成果的缺憾.

三、反思感悟

本节课以研究对数概念的形成与发展过程为例，使学生通过经历查阅文献并将查阅结果整理成小论文进行汇报的过程，初步体验文献查阅的方法及文献综述的写作过程. 通过文献阅读，可以拓宽学生的知识面，使学生对数学概念的理解更加透彻，体会到数学对人类文明发展的作用，感受到数学家们严谨的治学态度和锲而不舍的探索精神，提高学习数学的兴趣. 同时，使学生认识了数学的文化价值和育人价值.

“数学阅读与写作”的学习让学生感到新鲜、有意义. 正如有些學生的课后感言所述：数学史的引入让数学课变得丰富、有趣，让我们扩宽了知识面，加深了对数学的理解，感受到了数学的应用价值. 对对数化乘、除为加、减的算理印象深刻，使对数符号没有那么抽象了，容易理解了. 数学家的故事和他们的科学精神触动我们思考人生的意义.

高中数学教学中怎样融入数学文化？如何在学习数学文化的过程中落实数学学科核心素养？从对数概念的形成与发展的教学来看，要以“研究一个函数对象的基本套路”为指导，设计出体现数学的整体性、逻辑的连贯性、思想的统一性、方法的普适性和思维的系统性的系列数学活动. 数学写作是以过程为目标的学习方式，是把学习过程中对概念的理解、解题方法的体会、学习方法的总结或对某个知识点的创新认识等通过文字表达出来的活动. 本节课整理出的数学写作脉络“模板”，对于初次接触数学写作的学生有一定的指导作用，也为学生学习新的数学对象提供了一个比较明确的思路，有助于发展学生的自主学习能力，实现从“知其然”到“知其所以然”再到“何由以知其所以然”的跨越.

参考文献：

[1]H.伊夫斯. 数学史上的里程碑[M]. 欧阳绛，戴中器，赵卫江，等译. 北京：北京科学技术出版社，1990.

[2]C.H.爱德华. 微积分发展史[M]. 张鸿林，译. 北京：北京出版社，1987.

[3]马奥尔. e的故事：一个常数的传奇[M]. 周昌智，毛兆荣，译. 北京：人民邮电出版社，2010.

[4]徐品方，张红. 数学符号史[M]. 北京：科学出版社，2006.

[5]王冬兰，保继光. 也谈对数的起源[J]. 数学通报，2019，58（10）：4-8.

[6]徐伟建，陈传熙.“对数的发明”的教学设计与反思[J]. 数学通讯，2019（12）：15-19.

[7]钟萍，汪晓勤. 对数的概念：从历史到课堂[J]. 中学数学月刊，2015（5）：50-53.

[8]沈卫芳. 课堂教学开展数学写作的尝试与思考：以一道解析几何题为例[J]. 学苑教育，2010（24）：41.