指向“四个理解”的幂函数教学设计研究

彭萧 李兆敏

[摘  要] “四个理解”是教改中“以不变应万变”的法宝. 理解数学是开展教学的前提，落脚于对章节知识逻辑网和上下位知识的理解，确立教学目标;理解学生是促进学生全面发展的保障，关注学生知识储备与思维障碍找到最近发展区，自然衍生出教学重难点;理解教学是开展教学活动，创设有意义的情境与活动，设立针对性的问题串，促进教师的“教”与学生的“学”的统一;理解技术是发展学生直观想象素养的“点睛之笔”. 在幂函数教学设计中，四个理解相互联系，共同作用有效落实立德树人的根本任务.

[关键词] 四个理解;幂函数;教学设计

章建跃先生指出：在课堂教学改革中有效落实“四个理解”，即理解数学、理解学生、理解教学、理解技术，决定了育德、育智所能达到的水平和效果. 面对教师在“理解数学”上不到位，“玩不转”数学的教育问题[1]，章先生提出“四个理解”是教学改革中“以不变应万变”的法宝[2]. 教师要把学生当做一个活生生的人，而要想让数学教学教出数学味道，教学设计值得每一位教师深思. 为解决数学教学中的这些问题，基于“四个理解”并结合《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》（以下简称《课标》）的教学指导，对《普通高中人教A版数学必修（第一册）》第三章第三节幂函数教学设计进行研究，以期供一线教师参考借鉴.

理解数学，设定教学目标

理解数学是开展教学的前提，是确定教学目标的方向舵. 理解数学在幂函数教学设计中的落脚点是对章节结构逻辑知识网的把握和对内容上、下位知识的清晰认识，《课标》在其“基本理念”中强调“突出数学主线，凸显数学的内在逻辑和思想方法”，这表明，理解数学知识应建构起逻辑关系网，整体把握主线教学，将幂函数这一节的教学放在“函数”这一主线下去探究章节结构中知识的内在联系，形成系统的知识结构，架构起整个函数章节的数学知识体系，以便建立研究函数的一般思路：定义—图像与性质—应用，为后面研究指数函数、对数函数、三角函数提供研究系统参考，实现数学知识的自然延拓. 该结构所体现的逻辑性、思维性，以及融入的数学学科核心素养才是贯穿课堂始终的“数学灵魂”.

理解幂函数的上、下位知识，明确知识的来龙去脉[3]，就是要在教学设计中将幂函数内容与已知的知识发生实质性的联系，实现对知识的同化. 学生在初中已经学习了一次函数、二次函数、反比例函数，在高中已掌握函数性质和概念，理解函数在高中是通过“对应说”把握其变化规律，而从具体情境中抽象出的以前学过的函数模型及函数中不变的性质便是幂函数概念形成的上位知识;根据抽象出的函数模型需要进一步归纳概括以实现对幂函数概念的同化，并将函数性质引申到研究幂函数中幂指数α对其性质的影响，这是一个借助图像去高度概括和抽象的过程，因此可称为幂函数的下位知识.

基于此，教师可将从具体函数中抽象出函数概念、确定一般函数的研究思路，借助图像探究五个幂函数和任意幂函数的性质，进一步渗透“数形结合思想、由特殊到一般的思想”作为教学目标.

理解学生，清晰教学重难点

理解学生是促进学生全面发展的保障. 以学生为主体的教学，是要把学生看作一个有思想有活力的个体，关注学生的知识储备是否充足，不足之处怎样搭建“知与不知”的桥梁;思维是否有障碍，如何寻找介于“已知区”和“未知区”之间的“最近发展区”. 在探索过程中，衍生出教学设计的重难点. 《课标》在“课程理念”中强调数学课程是为了实现“人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展”，如果没有一定的数学知识储备，那么应用数学知识处理问题也变成空谈，教学设计要清楚学生的已有知识系统，通过新课学习丰富知识储备，为“四能”的获得和扩充终身学习的知识库做准备. 进而确定教学重点是从五个具体幂函数归纳认识幂函数的概念和性质，在研究过程中做到对知识系统扩充，形成高中第一个初等函数研究的典范.

教育学家维果茨基提出“最近发展区”这一理念，内涵中将介于已知区和未知区之间的区域归结为“最近发展区”[4]，人的认知水平常在这三个层次之间不断转化，螺旋式上升. 理解学生就要寻找学生的最近发展区，并搭建跨越知与不知的桥梁，在这里将这个桥梁的搭建过程理解为学生的思维障碍，突破这个障碍就是本节课要确定的教学难点. 根据数学认知过程的四个阶段：输入阶段、相互作用阶段、操作阶段和输出阶段，画出幂函数认知发展水平的模式（如图1），力求突破学生画y=x3，y=x图像的思维障碍，做到理解学生的最近发展区，衍生出幂函数的教学难点是画出五个幂函数的图像，并能借助图像研究出一般幂函数y=xα中幂指数α对图像及性质的影响.

理解教学，精设教学过程

理解教学是开展教学活动，师生共同提高的过程. 教学过程的精心设计，将思想、方法融入有趣且有意义的教学情境和教学活动中，实现教学方式的多样化，有利于促进教师的“教”与学生的“学”的自然统一.

1. 情境创设引入教学，实现概念形成

数学知识的高度概括性，使得数学直接感知、理解和内化存在一定难度，往往“学的人不知数学如何去意会”，而“教的人不知数学如何去言传”，这就需要创设情境去消除“意会”和“言传”之间的障碍[5]. 由此，在教学中，为学生提供具有现实意义和思考价值的问题情境[6]，能充分调动学生学习的主动性，启发学生思维，带给学生心灵感染和内心情感的体验，这也是提高数学教学实效的重要途径. 在《课标》课程理念中也提出创设合适的教学情境能启发学生思考，引导学生把握数学内容的本质.

将问题情境創设思想应用于幂函数教学引入中，对于幂函数概念形成的教学在以往创设的教学情境上，进行创新，基于新型冠状病毒肆虐全球，全世界人民携手抗击疫情的社会大情境下，找到情境创设突破口，创设能引起学生关注与思考的教学情境，使创设的教学情境更能引起学生的情感共鸣，找到教育的“触点”，实现对教学的理解. 其新旧教学情境对照如表1：

表1  幂函数问题情境表

2. 问题串驱动教学，实现性质探究

在驱动教学进程中，“问题串”已成为教学的共识，但不同学者对“问题串”的使用理解不同. 龙艳文学者基于问题串设计的必要性、合理性、严谨性对概念教学的问题进行改进，深入教学中概念的理解[7]. 王先进学者将问题串看作思维训练的良好载体，指引着思维的发展[8]. 学者们对问题串的研究主要从问题串的形式、问题串的作用进行教学设计，但问题串的设计离不开对教学的理解，在学者的理解之上，从学生幂函数的理解障碍出发，教师对幂函数教学问题串进行改进，设计引领思维发展的幂函数性质探究的问题串.

教学片段设计1

问题1：研究函数的性质，一般借助什么？

问题2：按照画图像的步骤，在画α=1，2，-1，3，这五个幂函数的图像时，哪些图像的大致走向不太好画出？思考画不出来的原因.

问题3：依据函数y=x3的画图思路，请同学们研究函数y=x的图像如何画，并完善在同一平面直角坐标系中这五个幂函数的大致图像.

设计说明：三个问题层层递进，是让学生思考在画函数y=x3，y=x时，如何合理取点，突破画图障碍，这个过程让学生经历“思想障碍—思索原因—思有所获—消除障碍”的过程，真正从理解学生的思维障碍出发，做到理解教学，因材施教，让学生知道“哪里不会”到懂得“突破不会”再到“应用所会”，为突破教学重难点做铺垫，这也体现了数学学习中“何由以知其所以然”的重要性.

教学片段设计2

问题4：所有图像都过第几象限？所有图像都过哪个公共点？

问题5：第二象限中有的函数有图像，有的没有图像，请同学们观察，这五个幂函数中哪些函数在第二象限有图像，解析式有什么特征？

问题6：同样，有的函数在第三象限有图像，这些函数有什么共同特征？

问题7：第一象限内函数图像的单调性是怎样的？你能作出函数y=x-2，y=x的大致图像吗？

设计说明：问题4、5、6的设置完成了对五个幂函数借助图像研究性质的过程，为问题7展开对函数在第一象限的研究做铺垫，通过问题串让学生的关注点聚焦于α的奇偶性影响幂函数的奇偶性，α符号的正负影响幂函数的单调性，从对五个特殊的幂函数的图像与性质研究推广到对一般幂函数的图像与性质研究，以此突破教学重难点，实现思维的跨越与知识的延伸.

问题串的设置解决了学生“要研究什么”“需要关注什么”到“总结推广研究得到了什么”的研究过程. 至此本节课真正让学生在困惑中寻找方向，在问题驱动中解决困惑，学会知识，由此得到的知识为研究指数函数、对数函数找到思路的固着点，是数学思维和素养的有力保障.

理解技术，升华教学内容

理解技术是指将信息化时代的元素融入教学中，体现信息技术在教学中起的“画龙点睛”的作用. 高中数学学习较为抽象，信息技术可作为应用于数学教学的一种认知工具和数学学习的一部分，一个关键特征是应用数字、图形和符号，为抽象的数学理论构建一个直观、动态的模型[9]. 在理解数学的基础上，教师借助数学软件开展教学，能让学生的数学抽象、直观想象的素养得到有效发展. 通俗地讲就是学生直观感受到数学知识“不能动”时，借助软件辅助思考，让这些知识“活起来”. 当教学中遇到凭借教师讲解依旧无法突破的知识时，我们应敏锐地把握住，并采用上述技术来讲授，使其成为活跃思维、发展直观想象素养的点睛之笔.

比如应用Geogebra（以下简称GGB）软件辅助幂函数教学. 在探究α对幂函数在第一象限的单调性的影响时，此时可以借助GGB创建滚动条（如图2）：当拖动滚动条时，学生能直观感受到当α>0时幂函数在（0，+∞）上单调递增，并且随着拖动α数值越来越大时，幂函数在（1，+∞）上越来越靠近y轴，在（0，1）上越来越靠近x轴. 通过这样一个动态的演示让学生的思维动起来，既突破了教学难点，也发展了数学素养. 在学生动手画幂函数的图像时，对于画函数y=x3的图像，有的喜欢去取整数点，在取（0，0），（1，1），（2，8），（3，27）后，学生对其在（0，1）上的大致图像把握不准，这时在教师的引导下缩小取点间距，不妨再取点，. 在学生继续思考作图后，教师借助GGB准确画出函数y=x3的图像，于是形成完整的五个幂函数的图像（如图3）. 通过信息技术解决学生的困惑，再到对函数图像的整体把握，这样的信息技术应用能有效促进教学，提高教学效率.

结语

“四个理解”在幂函数教学设计环节中看似各司其职，却彼此联系、相互作用，共同承担课堂教学的完整性、连续性、复杂性. 理解数学是开展教学的前提，教师只有理解知识逻辑网和上下位知识，才能实现幂函数的教学目标;理解学生是促进学生全面发展的保障，教师既要关注学生的知识储备，也要关注学生的思维障碍，切身感受学生的发展需要，由此才能贴近学生，明确教学重难点;理解教学是师生在教学活动中共同提高的保证，有意义的活动与情境、有针对性的问题串都能促进教学有效开展，达到师生“教”与“学”的统一;理解技术是关注知识自然延拓与发展核心素养的“点睛之笔”. 做足“四个理解”的教学设计，对顺利开展数学“育人”教学和培养“全面发展的人”有着不可替代的作用. 教学是动态过程，这就需要教师基于“四个理解”的教学设计，在实践的反思、改进、创新上多下功夫，落实立德树人的根本任务，实现数学所育之人能担起民族复兴的大任，成為全面发展的社会主义建设者和接班人.

参考文献：

[1]  章建跃. 核心素养导向的高中数学教材变革（续1）——《普通高中教科书·数学（人教A版）》的研究与编写[J].中学数学教学参考，2019（19）：6-11.

[2] 章建跃. 理解数学是教好数学的前提[J]. 数学通报，2015，54（01）：61-63.

[3] 章建跃.立德树人与数学课程改革——暨“第九届高中青年数学教师优秀课展示与培训活动”总结[J]. 中国数学教育，2019（08）：7-12.

[4] 赵国义. 教学设计必须考虑学生的“最近发展区”[J]. 数学通报，2015，54（05）：27-28+45.

[5] 张志勇. 高中数学可视化情境的设计原则及实施路径[J]. 数学通报，2019，58（03）：15-19+24.

[6] 任旭，夏小刚. 问题情境的创设：基于思维发展的理解[J]. 数学教育学报，2017，26（04）：15-18.

[7] 龙艳文. 基于概念生成中三个层面追问的问题串设计[J]. 数学通报，2017，56（03）：11-13+17.

[8] 王先进. 谈问题串的设计方法[J]. 数学通报，2012，51（07）：17-19+23.

[9] “中小学数学课程核心内容及其教学的研究”课题组，章建跃. 数学·信息技术·数学教学[J]. 课程·教材·教法，2012，32（12）：62-66+94.