一类潜伏期与染病期均具有传染性的随机传染病模型

胡 瑞，黄立冬，李荣庭，徐权峰

(云南民族大学 数学与计算机科学学院，云南 昆明 650500)

自古以来，传染病一直阻碍着人类社会的发展，所以基于传染病的研究一直被学术界广泛关注.为了更加深入了解传染病，避免其对社会和经济的危害，学者们通过建立微分方程模型对传染病进行定性分析和定量研究.20世纪初，Kermack和Mekendrick提出了最经典的传染病模型SIR(susceptible-infection-removed)仓室模型[1-2].此后传染病动力学的建模和研究开始快速发展[3-11].但是，在现实生活中，由于环境多变，确定性的传染病模型很难做到对实际情况的具体描述.1951年，KiyoshiIt引入了It微积分对随机现象的研究和分析.经过学者们不断的深入研究，随机微分方程取得了很大的进展.因此随机微分方程也被引入到疾病动力学领域中.近年来，国内外学者在基于随机扰动的传染病模型的研究中取得了很多成果[12-17].

胡晶晶[18]建立了几类随机SIQS传染病模型，通过构造Lyapunov函数、使用It公式以及强大数定理等证明传染病模型存在全局唯一正解.通过得出的疾病灭绝充分条件，结果表明大的噪声可以抑制疾病的爆发.徐敏等[19]考虑传染病传播过程中的随机干扰，运用随机人口建模中参数扰动的标准化技术，建立了一类具有随机扰动的传染病SEIR模型.李雪等[20]建立了一类随机SEIQR传染病模型，通过构造合适的Lyapunov函数并利用It公式，证明了该传染病模型的全局唯一正解的存在性，通过确定性SEIQR模型进而研究随机模型的渐近行为.

而在现实生活中，部分传染病在潜伏期同样具有传染性.如2019年末爆发的COVID-19.由于其潜伏期具有传染性，短时间内病毒席卷全球，造成很大的损失.综上所述，在现有传染病模型中加入随机扰动对疾病传播的影响，建立一类潜伏期和染病期均具有传染性的随机SEIQR模型更加具有实际意义.

1 模型建立

本文研究的是一类随机SEIQR模型，在此之前首先建立一类确定性SEIQR模型，模型将人口分为易感者(S)，潜伏者(E)，隔离者(Q)，感染者(I)以及恢复者(R)5个部分，并建立以下模型

(1)

其中,A表示易感者的常数输入率，d表示自然死亡率，δ1,δ2,δ3分别表示潜伏者，染病者和隔离者的康复率，β1表示潜伏者与易感者之间的有效接触率，β2表示染病者与易感者之间的有效接触率，ε表示潜伏者转为染病者的比率，α表示染病者的因病死亡率，γ表示隔离者的因病死亡率，μ1表示潜伏者被隔离的比率，μ2表示染病者被隔离的比率，从生物数学角度考虑，规定本文所有参数都是非负的.该模型对应的流程图如下：

图1 确定性SEIQR模型流程图

本模型的基本再生数为

当R0≤1时,系统(1)无病平衡点P0为(A/d,0,0,0,0)；当R0>1时，有唯一地方病平衡点P*=(S*,E*,I*,Q*,R*)，均全局渐近稳定[21].

设Bi(t)(i=1,2,3,4,5)为独立的一维布朗运动，σi(i=1,2,3,4,5)为噪声强度，建立一类潜伏期与染病期均具有传染性的随机SEIQR传染病模型，对应的微分方程组为

(2)

2 全局正解的存在唯一性

取充分大的正数k0≥0，使得初值y(0)的每一个分量都属于区间[1/k0,k0]，对∀k≥k0，k∈N+整数，定义停时

这里infØ=∞(Ø表示空集).

若τ∞=∞a.s.成立，则有τk=∞a.s..采用反证法，证明如下：

如若不然，存在常数T>0和δ∈(0,1)使得P{τ∞≤T}>δ.因此，存在整数k1>k0，∀k≥k1，都有P{τk≤T}≥δ.

构造lyapunov函数，得

V(y)=(S+1-lnS)+(E+1-lnE)+(I+1-lnI)+(Q+1-lnQ)+(R+1-lnR).

dV=LVdt+(S-1)σ1dB1(t)+(E-1)σ2dB2(t)+(I-1)σ3dB3(t)+

(Q-1)σ4dB4(t)+(R-1)σ5dB5(t),

其中,

得

取

则有

dV≤Kdt+(S-1)σ1dB1(t)+(E-1)σ2dB2(t)+(I-1)σ3dB3(t)+

(Q-1)σ4dB4(t)+(R-1)σ5dB5(t).

对于上式，从0到τk∧T积分，并取期望有

EV(S(τk∧T),E(τk∧T),I(τk∧T),Q(τk∧T),R(τk∧T))≤V(y(0))+KT.

得

其中1Ωk表示Ωk的示性函数.

令k→∞，有∞>V(y(0))+KT=∞，矛盾.于是必有τ∞=∞a.s.即解是正的且全局唯一存在.

3 模型解的渐近行为

当确定性SEIQR传染病模型的R0≤1时，模型(1)存在无病平衡点P0=(A/d,0,0,0,0)且全局稳定.接下来，讨论模型(2)的解在P0点附近的渐近性质.

若满足条件

其中

证明构造lyapunov函数

显然，V1,V2,V3,V4,V5,V6是正定的，由It公式计算得

当R0≤1，使得：

又2ab≤a2+b2，有

构造Lyapunov函数

显然V正定，由It公式计算可得

其中

从0到t取积分并取期望，有

若满足

则有

证明完毕.

由定理2可知，当确定性传染病模型(1)的R0≤1时，模型(2)的解会在确定性SEIQR模型无病平衡点P0附近扰动，且波动大小与σ1有关，当环境噪声强度越小时，模型(2)的解越趋近于模型(1)无病平衡点P0.

当确定性传染病模型(1)的R0>1时，存在唯一的地方病平衡点P*=(S*,E*,I*,Q*,R*)且全局渐近稳定，接下来，讨论模型(2)的解在P*点附近的渐近性质.

若满足条件：

其中

证明构造lyapunov函数

显然V1,V2,V3,V4,V5正定，由It公式，计算得

dV1=LV1dt+(S-S*+E-E*)(σ1SdB1(t)-σ2EdB2(t)),

其中

(3)

当R0>1时，确定性SEIQR模型(1)有唯一地方病平衡点P*=(S*,E*,I*,Q*,R*).令确定性SEIQR模型左边等于零，得

A=β1S*E*+β2S*I*+dS*,

β1S*E*+β2S*I*=(d+ε+δ1+μ1)E*,

εE*=(d+α+δ2+μ2)I*,

μ1E*+μ2I*=(d+γ+δ3)Q*,

dR*=δ1E*+δ2I*+δ3Q*.

将上述等式带入(3)中，得

同理得出

得出不等式

通过构造Lyapunov函数

V=V1+V2+V3+V4.

dV=LVdt+(S-S*+E-E*)Sσ1dB1(t)+Eσ2dB2(t)+(I-I*)Iσ3dB3(t)+

(Q-Q*)Qσ4dB4(t)+(R-R*)Rσ5dB5(t).

(4)

令

有

LV≤m1(S-S*)2+m2(E-E*)2+m3(I-I*)2+m4(Q-Q*)2+m5(R-R*)2+K.

对(4)取期望，计算得：

那么，当

0

有：

由定理3可知，当模型(1)的R0>1时，模型(2)的解在确定性SEIQR模型唯一的地方病平衡点P*扰动，且波动范围与σ1,σ2,σ3,σ4,σ5有关，当环境噪声强度越小时，模型(2)的解越接近地方病平衡点P*，并在P*附近波动.