聂勇冰,侯 强
(中北大学 理学院,山西 太原 030051)
文献[1]利用函数h(I)=cI/(b+I)反映疾病治疗的情况,提出以下传染病模型:
(1)
作者利用稳定性和分支理论,研究了平衡点的存在性、 稳定性、 后向分支和Hopf分支等[1]. 文献[2-12]深入研究了具有饱和治疗函数的传染病模型. 这些模型的人口输入均是常数输入,这与实际情况不是很吻合. 因此,本文基于Logistic出生和饱和治疗项提出以下模型:
(2)
式中:S(t),I(t)分别为t时刻的易感者和染病者数量;r为内禀增长率;k为环境容纳量;β为有效接触率;μ为自然恢复率;c为单位时间内的最大治疗量;b用来衡量饱和发生的时间,满足h(b)=c/2;d为染病者的死亡率; 所有参数都是正的.
本文主要研究模型(2)的可行域和平衡点的存在性、 稳定性,以及模型的Hopf分支和B-T分支,并通过数值模拟来验证理论结果.
根据模型(2)的第1个方程,可以得到
对上述不等式积分,并代入初始条件,得
类似地,根据模型(2)的第2个方程,可以得到
因此,模型的解都是正的. 接下来考虑模型解的有界性,首先把模型(2)的两个方程相加得到
对于任意的实数λ,有
其中,N=S+I.选择一个正数λ,使得d-λ>0. 然后有
(3)
定理1模型(2)的正不变集为
模型(2)有一个无病平衡点E0=(S0,0)=(k,0). 根据下一代生成矩阵[13],模型的基本再生数为
(4)
正平衡点满足下列方程
(5)
令A1=B2-3AC,B1=BC-9AD,C1=C2-3BD,定义Δ是g(I)关于I的判别式.
引理1当R0≥1时,如果C>0那么B>0.
d+μ)cr+4(μ+d)(-βk+d+μ)r≥
B=2bβ2dk+(μ+d)(-βk+d+μ)r≥mC.
根据引理1可以得到:
1) 当R0>1,C>0,B>0;C<0,B>0或C<0,B<0时,模型存在一个正平衡点.
2) 当R0=1,C>0,B>0时,模型不存在正平衡点;C<0时,模型存在一个正平衡点.
3) 当R0<1,C>0,B>0时,模型不存在正平衡点;C<0时,有下列几种情况:
a) 当Δ>0时,模型不存在正平衡点.
b) 当Δ<0时,模型存在两个正平衡点.
c) 当Δ=0时,模型存在一个正平衡点.
根据以上分析,有以下定理:
定理2对于模型(2)而言,无病平衡点E0始终存在.当R0>1时,模型存在唯一的正平衡点E1(S1,I1); 当R0=1,C<0时,模型存在唯一的正平衡点E2(S2,I2); 当R0<1,C<0,Δ<0时,模型存在两个正平衡点E3(S3,I3),E4(S4,I4),且当Δ=0时,两个正平衡点重合为一个正平衡点E*.
在无病平衡点E0(k,0)处,模型(2)的Jacobian矩阵为
特征方程为
(6)
通过分析,可以得到以下定理:
定理3当R0<1时,无病平衡点是局部渐近稳定的; 当R0>1时,无病平衡点是不稳定的.
模型(2)在正平衡点E(S,I)的Jacobian矩阵为
特征方程为
λ2-tr(JE)λ+det(JE)=0.
(7)
根据模型(2)的第2个方程,得
((βb2-2rb-c)k+4rbS)I-b2r(k-2S)),
Idkβ(b+I)2+(-2βS+2d+2μ)Ib)+
I2(-βS+d+μ)(k-2S)r)=βIg′(I),
其中,g′(I)=3AI2+2BI+C,A>0.因此,有以下几种情况:
1) 当R0>1时,存在一个正平衡点E1,当R0=1时,存在一个正平衡点E2.在Ei(i=1,2)处,g′(Ii)>0,det(JEi)>0,当tr(JEi)<0时,Ei是局部渐近稳定的; tr(JEi)>0时,Ei是不稳定的.
2) 当R0<1时,在E3处,g′(I3)<0,det(JE3)<0,则E3是一个鞍点.在E4处,g′(I4)>0,det(JE4)>0,当tr(JE4)<0时,E4是局部渐近稳定的; 当tr(JE4)>0时,E4是不稳定的.于是,可得下面的定理:
定理4当R0>1时,存在一个正平衡点E1; 当R0=1时,存在一个正平衡点E2; 当tr(JEi)<0(i=1,2)时,Ei是稳定的结点或焦点; 当tr(JEi)>0时,Ei是不稳定的.当R0<1时,存在两个正平衡点E3和E4;E3是一个鞍点; 当tr(JE4)<0时,E4是稳定的结点或焦点; 当tr(JE4)>0时,E4是不稳定的.
根据Sotomayor’s定理[14],当R0=1时,如果cr≠βb2d,模型会发生跨临界分支; 如果cr=βb2d,模型会发生叉形分支.根据文献[15]的方法,当R0=1时,如果cr>βb2d,模型会发生后向分支. 接下来研究Hopf分支以及尖点分支.
在正平衡点Ei(i=1,2,4)处,当tr(JEi)=0时,模型可能会发生Hopf分支,令x=S-S*,y=I-I*,将模型(2)在原点泰勒展开可得
(8)
其中
其中,Δ=a0d0-b0c0=det(JE2)>0,可以得到下面的定理:
定理5对于模型(2),当σ<0时,模型发生超临界Hopf分支; 当σ>0时,模型发生亚临界Hopf分支; 当σ=0时,模型发生Bautin分支.
由定理2的分析可知,当Δ=0时,两个正平衡点E3和E4合并为一个正平衡点E*,此时det(E*)=0.如果tr(E*)=0,正平衡点的特征方程有两个零特征值,模型(2)会发生B-T分支.
定理6正平衡点E*是一个余维2的尖点,也是一个B-T分支点.
证明令x=S-S*,y=I-I*,然后将模型(2) 在原点泰勒展开成式(8),同时作变换X=x,Y=a0x+b0y,可以得到
(9)
其中
作近似恒等变换
v=Y+α20X2-β02XY.
可以得到
(10)
因此,当β11+2α20≠0时,E*是一个余维2尖点,当β11+2α20=0时,至少是余维3的.
为了验证正平衡点的存在性,取r=0.05,k=20,β=0.033,μ=0.001,c=0.027,b=0.1,绘制I随R0变化的曲线.由图 1 可以看出,正平衡点的个数随着R0的变化而变化.当R0较小时,模型不存在正平衡点; 当R0=0.858时,模型存在一个正平衡点; 当R0取值在0.858~1之间时,模型存在两个正平衡点; 当R0≥1时,模型存在一个正平衡点.
图 1 模型(2)平衡点个数随R0变化的分支图
下面验证Hopf分支以及极限环的存在性,选择第1个Hopf分支点作为初始点,以R0为分支参数,绘制极限环曲线,如图 2 所示.
图 2 以第1个Hopf分支点为初始点的分支图
由图 2 可以看出,在第1个Hopf分支点附近形成一个不稳定的极限环且在第2个Hopf分支点附近消失.
然后,以第3个Hopf分支点为初始点,以R0作为分支参数,绘制极限环曲线,如图 3 所示. 由图 3 可以看出,在第3个Hopf分支点附近形成一个不稳定极限环后趋于稳定,最后消失.
图 3 以第3个Hopf分支点为初始点的分支图
固定参数r=0.027 412 217,k=20,μ=0.001,c=0.5,b=0.2,d=0.027,随着参数β的变化模型会发生倍周期分支,如图 4 所示.
图 4 模型(2)的倍周期分支曲线图
选择r,c作为分支参数,固定参数k=20,μ=0.001,b=2,d=0.027,模型会随着分支参数的变化出现Bautin分支GH点、 B-T分支点以及尖分支CP点,如图 5 和图 6 所示.
图 5 模型(2)的Bautin分支及B-T分支曲线图
图 6 图5中BT点以及CP点的局部放大图
以上数值模拟验证了理论结果,变化的人口模型具有更加复杂的分支现象.
基于文献[1]中的传染病动力学模型,本文考虑logistic增长率和饱和治疗项,建立了一个新的SIS传染病模型. 首先确定了模型的可行域和基本再生数,分析发现模型正平衡点的个数会随着R0的变化发生改变; 其次,分析了平衡点的稳定性,利用规范型理论,研究模型出现的分支现象,发现模型不仅出现余维1的跨临界、 叉形、 后向和Hopf分支,还会出现Bautin分支和至少余维2的尖点. 通过数值模拟发现,模型经历了倍周期分支和B-T分支. 分析结果拓展了人们对疾病控制影响因素的认识,在控制长期传播的传染病时,不仅要考虑到医疗资源的限制,而且要充分考虑人口增长的影响.