皮亚杰认知发展理论在“圆的面积”教学的应用

陈巧玲

南宁师范大学初等教育学院 （广西南宁市 530000）

《义务教育数学课程标准（2011 年版）》（以下简称“课标”）对“圆”这一内容的要求最早出现在第二学段，具体目标为：通过观察、操作了解圆的特征、会使用圆规画圆、探索并掌握圆的周长和面积公式。在认识圆的面积之前，学生已经熟悉半径的定义，也知道如何使用圆规画圆。根据课标的要求，实际教学活动中要以实践活动引领学生学习，加强学生动手操作、自主探索的能力，在探求知识的同时，引导学生体会和掌握有关的数学思想方法，同时教师合理用好生活素材，凸显其教学价值。结合课标要求和李晓梅对圆的教学建议，本文总结出“圆的面积”教学可以分为四个部分：即画圆环节、表达环节、探索环节和总结环节。从心理学角度来说，这四个教学环节是符合皮亚杰认知发展理论的，通过整理文献发现，皮亚杰认知发展理论曾被广泛应用在小学数学不同知识点上，比如金轩竹根据皮亚杰认知发展理论将小学生对小学数学速度概念的理解与认知阶段进行划分，又比如章勤琼认为小学生对分数不同意义的理解是符合皮亚杰认知发展规律的。但是皮亚杰认知发展理论在对小学数学“圆的面积”教学研究的理论审视较少。鉴于此，本文将在认知理论的基础上，提出针对小学数学“圆的面积”教学的有效策略。

1 皮亚杰认知发展理论的主要观点

根据皮亚杰认知发展理论，皮亚杰将儿童的认知发展划分为四个阶段：感觉运动阶段、前运算阶段、具体运算阶段和形式运算阶段。皮亚杰认知发展理论对各个年龄阶段儿童的认知发展能力做了一个阶段性的划分，得出不同年龄阶段儿童的认知发展水平现状，在这里可以将其看作是一个学习者能独立达到的水平。人教版关于“圆”的内容安排在六年级上册，根据皮亚杰认知发展理论，这一时段的儿童处于具体运算阶段向形式运算阶段的过渡，布鲁纳的结构主义理论认为，在这一阶段，如果我们向儿童提供具有挑战性且合适的机会，也可以引导学生智力发展，激励他向下一阶段发展，因此在实际教学中，教师可以把皮亚杰认知发展过程特点与教学过程进行对应，本文以“圆的面积”教学为例，根据皮亚杰认知发展理论将教学过程划分为四个阶段：感知阶段（画圆环节）-语言表达阶段（表达环节）-具体操作阶段（探索环节）-总结验证阶段（总结环节）。

2 “圆的面积”认知发展阶段的划分

2.1 感知阶段——感知半径与圆面积之间的关系

感知运动阶段对应的儿童年龄为0～2 岁，该阶段的婴儿靠感觉与动作认识周围的世界。即使学生的认知发展到了具体运算阶段感知，不可否认的是在实际教学和学生学习中，感知对学生知识的建构是必不可少的，而这一特征正是对应了我们教学中导入环节的感知阶段，在这一环节里教师需要联系学生的生活或实践提供一定的条件，为学生学习新知识提供一定的感知性材料，帮助学生更好地沟通新知与图式中已有的观念，促进学生对新知的理解。

比如在“圆的面积”这一课中，我们需要提供一定的材料让学生感知半径与圆的面积之间的关系，虽然很多教材在“圆的面积”这一子单元前会传授学生关于半径的关系，但是在学生正式学习圆的面积公式之前，教师却鲜少提供机会让学生感知圆的面积和半径之间的关系，因此，本文认为在教授“圆的面积“这一课时，教师需要通过一定的手段让学生理解半径与圆的面积之间的关系，比如教师可以让学生用圆规在纸上想办法画出不同大小的圆，并探讨圆规该如何调整才能划出更大的圆等问题，一步步地引导学生直观地感受半径与圆的面积之间的关系。

2.2 语言表达阶段——引导学生表达出半径与圆之间的关系

皮亚杰的认知发展理论认为处于前运算阶段的儿童经历了通过感知运动阶段后，能熟练地运用符号表征事物，并用符号从事简单的思考活动。同样的，课堂教学在导入阶段让学生感知了半径和圆的面积关系后，下一个阶段即表达阶段就要引导学生用语言或者符号等方式表达出半径与圆之间的关系。

心理学家霍华德·加德纳认为个体具有八种不同的智力，分别是：音乐智力、身体运动智力、逻辑数学智力、语言智力、空间视觉智力、人际交往智力、自我认知智力，其中语言智力指的是个体生成和使用语言的技能，而逻辑数学智力代表了学生进行问题解决和科学思考时的技能，每种智力相对独立但一起发挥作用，也就是说在培养学生问题解决问题、发展学生智力的同时，不能只关注学生逻辑数学智力的发展，也应该结合语言智力等能力的作用。因此，我们在进行“圆的面积”教学时，不能仅仅通过教师的讲授或者学生的操作帮助学生理解圆的半径和圆的面积之间的关系，教师应该采用“适中的问题”对学生进行提问，引导学生说出半径与圆的面积之间的关系：半径越大，圆的面积越大。这一结论就是从上一个环节中画圆的步骤中得出来的，这个结论不能只是由教师直接告诉学生，而是应该让学生通过实实在在的操作总结出来的。关于什么是“适中的问题”，布鲁纳认为“适中的问题”就是既能符合学生当下的认知，但是又能促进学生前进的难易适当的问题。

2.3 操作环节——运用“转化”的策略推导面积公式

皮亚杰认为处于具体运算阶段（7-12 岁）的儿童思维特征是主动且恰当地使用逻辑，这一阶段的儿童不再只是受事物的表象影响，他们会运用认知和逻辑过程去回答，但是，要帮助他们理解还是需要具体事物的支撑。人教版教材“圆的面积”在教授学生如何计算圆的面积时，就是采用了具体的“转化”策略，沟通学生图式中相关知识与新知识之间的联系，将学生认知结构中已有的相关知识迁移到新知识的学习上，通过具体操作帮助学生计算圆的面积。因此，在引导学生运用“转化”策略完成计算，并推导出公式的过程对应具体运算阶段的特点，即具体操作阶段。

首先要确定“转化”策略，提取学生认知中关于图形转化的认知—平行四边形、三角形“转化”成其它图形的方法来推导出它们的面积计算公式。接着引导学生探讨该如何把圆进行转化，这个步骤对于大部分学生来说是比较有难度的，教师可以通过课件演示或者让学生进行剪裁，引导学生通过对比观察体会到圆被分割的扇形面积越小，拼出的底边就会越接近于直线，这一步的处理至关重要，为进一步做出数理上的逻辑分析和合情推理做出铺垫，只有学生理解了这个概念，学生才能更深入地理解“无限分割，化曲为直”的数学思想。然后通过课件把转化好的图形展示给学生看，引导学生说出自己的观察，最后得出结论：随着剪拼的份数不断增加，拼出的图形逐渐变成长方形。在这个过程中，我们使用了直观的教学方式，将圆的转化过程具象地呈现在学生面前，为学生提供了一条逻辑清晰的认知路径，发展学生的抽象思维能力和空间想象能力，由此也可以看到，信息技术手段的运用对学生抽象认知的发展的贡献不可忽视。

2.4 总结环节——推导公式，并用公式解决问题

当一个学生进入了形式运算阶段，就代表他已经发展出抽象思维能力，皮亚杰认为大约在12 岁左右学生就进入了形式运算阶段，通过采用逻辑的形式原则，学生能够抽象地思考问题，而不再局限于具体的术语，他们可以通过进行简单的实验和观察实验结果来系统化地检验自己对问题的理解，在“圆的面积”最后一个总结推导的环节，对应的就是学生发展抽象思维能力的过程，即总结环节。

在总结环节里分为三个重要的步骤。第一步教师要联系前面学生得出的结论：半径越大，得到的面积就越大，并同时对学生提出论题：那圆的面积可以用圆的半径表示出来吗？第二步教师需要引导学生简单地总结我们把圆的面积转化成长方形的面积的过程，这一步也对应了进行实验验证的过程，第三步教师应该引导学生通过对实验结果的观察，对学生提出“适中的问题”引导学生发现圆的半径与圆的面积的关系，在这一步学生通过观察实验结果得出结论，并学会用数学符号将结论通过数学的形式表达出来，即圆的面积公式，教授学生学会用面积公式解决有关的圆的面积问题，提高学生解决问题的能力。综上所述，学生推导圆的面积公式的过程，就是学生通过进行简单的实验和观察实验结果，验证“圆的半径与圆的面积存在实质性的联系”论题的过程，之后还需要通过适当的练习帮助学生系统化地检验自己对问题的理解。在最后的总结环节里，学生不再是简单感知和表达问题，也不是通过动手将知识具象化，而是进行了更复杂，认知程度更高的概括活动，并将知识反复验证得出结论的过程，在这个环节里培养了学生逻辑推理的能力，使学生学会初步使用形式运算来解决问题。

3 认知发展理论对教学的启示

根据“最近发展区”理论，学生需要通过与能力更高的同伴合作和教师指导的方式来帮助个体达到潜在发展水平。但由于个体差异性，每个学生的自身能力发展水平与潜在发展水平不尽相同，因而学生得到的发展也不同。教学应该走在学生发展的前面，引领学生的发展，在现行的班级授课制中，笔者针对教学如何适应学生发展差距的不同，结合认知发展理论，提出有利于小学数学教学的几点启示。

3.1 提供机会丰富学生感知经验

皮亚杰认为，人的知识来源于动作，动作时感知的源泉和思维的基础。婴儿通过抓取获取感知经验，小学生虽然积累了一定的感知经验，可以在头脑内进行一定的逻辑性运算和简单的具体性推理，但是教学面对的是全体学生，学生的感知经验具有差异性，因此在实际教学中，教师应该在导入环节结合教学目标，提供更多的机会让学生对教学内容进行感知，适当地拉近学生感知经验的差距。在“圆的面积”实际教学中，往往教师会跳过感知导入这一环节，有一部分学生因为缺少联系认知结构中相关知识的自觉和能力，从而造成感知的差异，很难察觉到圆的半径和圆的面积的关系，即使之后学生学习了圆的面积公式，能用数学公式把圆的面积和圆的半径之间关系表达出来，也会因为缺少感知阶段而无法深入地理解两者的关系。因此教师应该提供机会丰富学生的感知经验。

3.2 通过表达强化学生的认知结构

儿童的语言发展与其他认知活动（如思维、记忆）的相互作用是不可忽视的，学生的语言发展受到期认知图式的影响，同时学生学习构建认知结构的过程也受其语言能力的制约，因此在教学活动中需要重视学生语言表达的过程，突出学生在课堂中的主体性。从建构主义视角出发，学习环境由情境、协作、会话和意义四个要素构成，其中情境时意义构建的基本条件，教师与学生之间、学生与学生之间的协作和会话是意义构建的具体过程，意义构建则是建构主义学习的目的。由此看出，教学中学生需要通过交流或者表达建构知识，发展学生的认知。因此，在实际教学开展阶段，教师可以通过师生互动或者团队合作的方式，鼓励学生表达自己的意见，通过不同观点的冲突、碰撞、补充、修正，加深每一个学习者对当前问题的理解。

3.3 展示具象发展学生抽象能力

皮亚杰认为小学阶段的儿童处于具体运算阶段，虽然这一阶段的儿童认知相较于前运算阶段的儿童认知有了很大的发展，具有去中心化、可逆性，以及掌握物品守恒等特点，但是在这一阶段儿童的运算仍然需要借助具象完成运算。学生在推理圆的面积并运用以符号形式存在的圆的半径和圆的面积的关系都离不开数学抽象，学生抽象能力的发展需要通过活动不断积累后天经验，提高直观能力。除了可以通过媒体向学生展示拼剪圆的过程，教师也可以组织学生通过合作的方式完成拼剪，再对比拼剪结果帮助学生掌握圆的转化过程，有利于在儿童大脑中构建圆的转化的图式，为学生以后的图形几何学习打下坚实的基础。

3.4 适当练习提高学生应用能力

小学生掌握数学概念不是一蹴而就的，必须通过适当的练习和应用来加深对概念的理解。因此如果学生想要真正地理解学习的知识，只停留在概念的理解层面是不够的，还要求学生必须学会灵活应用。只有通过实践与应用，学生才能更好地巩固与拓展他们所学的知识，数学知识也才能转化为数学素养。教学中教师可以提供相似情境，让学生“举一反三”运用概念，也可以创设新的情境让学生学会迁移运用，从而实现对概念的巩固和深化。在学习“圆的面积”后，除了给学生布置适当的书面作业巩固知识外，教师也可以安排一些实践性的活动让学生学会测量圆的面积，或者给出圆的面积让学生学会剪出对应的圆形。这样不仅强化了学生对概念的全面理解，而且体会了数学的价值，提高学生解决日常生活中相关问题的能力。