浅谈数字“1”在最值问题中的应用

曹江谊

(义乌市第五中学,浙江 义乌 322000)

“1”是数字发展的开始，也是人类最早用于记数的单位，更是在数学解题中不寻常且又奇妙的存在，在诸多知识板块的问题求解中都能见到它活跃的身影，尤其在最值问题中.无论是不等式的最值问题，还是与函数、解析几何、线性规划等其他知识相结合的问题，灵活运用数字“1”进行式子转化，常能快速找到解题思路，从而使问题迎刃而解.

本文从平时的教学中总结了多类最值问题，试图通过数字“1”在这些题目中的巧妙应用，让学生深刻体会数字“1”在最值问题中的重要作用，尝试引导学生发掘数字“1”的各种巧思妙用，以此提高他们的观察运算能力和逻辑思维能力.

1 在不等式最值问题中的应用

在不等式最值问题中，如何巧妙地使用数字“1”是解题的关键.它的恰当、灵活运用，不仅能达到化繁为简、化难为易的效果，而且还能让学生在解题中感受到“柳暗花明又一村”的惊喜.求解时，数字“1”有相乘、配凑、分离、消减等多种应用技巧和方式.下面就“1”的应用技巧简单举例介绍.

( )

A.m≥4或m≤-2 B.m≥2或m≤-4

C.-2

解若x+2y>m2-2m恒成立，则

m2-2m<(x+2y)min.

当且仅当x=4,y=2时取到等号，所以

(x+2y)min=8,

即

m2-2m<8,

解得-2

( )

A.3 B.4 C.10 D.16

进行适当变形,得到

利用基本不等式即可求得最小值为4.

解由已知x+y=1,可得

x+1+y+2=4,

当且仅当x=0,y=1时取到等号.故选B.

这里对数字“1”应用了直接相乘和配凑相乘的解题技巧，特别是在凑系数时，我们要根据题意将目标式进行拆分，从而找到缺少的系数.通过技巧为基本不等式的使用创设条件，成功地将式子变形为能相乘为常数的结构，从而达到快速解题的目的.

在有关分式的题目中最常用的方法是分离常数法.本题就是抓住题目中分式的结构特征，分离出数字“1”，并对式子进行巧妙的变形，使其出现两数之积为定值的结构，以此利用基本不等式进行求解.分离技巧往往应用于分式最值问题中，此时还需注意分子、分母在配凑时的系数变化情况.

例4已知正实数x,y满足x2+xy=1，则y2-2xy的最小值是______.

解由x2+xy=1，可得

此题应用的是数字“1”的消去技巧.除了上述方法外，数字“1”的应用技巧还有很多，如代入法、加减法等.学生在解题过程中，容易形成思维定势，我们除了要掌握典型题型中“1”的妙用外，在平时的解题中，更要学会灵活多变，不拘泥于套路，具体问题具体分析.

2 在与其他知识相结合的最值问题中的应用

2.1 与三角函数相结合

解三角形是三角函数中的重要组成部分.在求解三角形的过程中，往往需要结合正余弦定理对原等式进行“边化角”或“角化边”运算.在“角化边”的运算中通常可以得到几条边之间的等式关系，巧妙地对等式中的“1”进行转换，往往会得到意想不到的好处.

图1

( )

因为C∈(0,180°),sinC≠0,所以

即

又因为A∈(0,180°),所以A=120°.

如图1，由S△ABC=S△ABD+S△ACD,知

得

bc=b+c,

即

当且仅当b=c=2时取到等号.故选C.

2.2 与线性规划知识相结合

图2

2a+3b=12.

评注本题综合了线性规划的知识.在解题时，首先需要根据线性规划知识建立关系式，然后利用得到的关系式巧用“1”进行代换，将所求式子巧妙变形为两数之积为常数的形式,进而求得最值.

2.3 与函数相结合

f′(1)=0,

从而

2a+b=3,

于是

评注函数知识是高中数学中的重要内容，常常与其他知识综合进行考查，与不等式相结合的最值问题就是常考的内容.因此在解题时，要抓住问题的本质，结合函数的概念、性质、图像变换等得到“两数之和或两数之积为定值”的结构，最终利用数字“1”的各种应用技巧快速解题.

2.4 与解析几何相结合

解析几何中的最值问题往往综合性较强，常与距离、角度有关.在解题时，需要根据题意挖掘出关于“1”的等式，从而达到化繁为简的效果.

( )

图3

解如图3，椭圆的焦点在y轴上，且当点P为椭圆的左、右顶点时，∠APB取得最大值120°,则

又

得

|PM|+|PN|=2a=6,

当且仅当|PM|=2,|PN|=4时取到等号.故选D.

2.5 与立体几何相结合

图4

分析本题考查立体几何的空间位置关系，首先要找到线面之间的联系，然后运用求体积的相关知识将空间问题转化为不等式关系，最后结合“1”的妙用求解.

解如图4，设点A在底面BCD的射影为E,则△BCD的外接圆半径为

从而

所以

由等体积法可得

VA-BCD=VO-ABC+VO-ACD+VO-ABD+VO-BCD

即

又因为x,y都是正数，所以

以上是笔者积累和总结的“1”在不等式及与其他知识相结合最值中的应用.在具体问题中，我们要针对不同类型的目标式采用相应的有关“1”的方法进行求解,特别是与其他知识相结合的题目中，要善于挖掘题中隐含的“1”的条件.只要能够灵活运用有关“1”的各种方法，举“1”反三，时刻牢记基本不等式的运用条件“一正、二定、三相等”，最终往往能化繁为简，化难为易，起到“1”点通的妙效[1].

拓展学生的探索创新思维，提高其逻辑解题能力，进而培养他们的数学核心素养，这一直是数学教学的核心要求和终极目标.笔者通过数字“1”在最值问题中的灵活妙用，试图从中找到线索,以期在培养学生数学综合能力方面达到抛砖引玉之效.