含放大机构的三要素型动力吸振器的H∞优化

周子博, 申永军,2, 杨绍普,2

(1.石家庄铁道大学 机械工程学院，石家庄 050043；2.石家庄铁道大学 省部共建交通工程结构力学行为与系统安全国家重点实验室，石家庄 050043)

在被动减振领域中，自1909年Frahm[1]发明无阻尼动力吸振器(dynamic vibration absorber，DVA)距今已有100多年。经过不断优化改进，相继出现半主动控制系统、主动控制系统等。由于被动减振系统结构简单且可靠性高，应用范围广，目前依旧是研究热点。然而Frahm所发明的动力吸振器只考虑了在单自由度主系统上附加无阻尼动力吸振器的情况。1928年Ormondroyd等[2]发现在无阻尼动力吸振器中加入适当的阻尼会拓宽动力吸振器的减振频率。现在该模型通常被称为Voigt型动力吸振器，而且已经被视为动力吸振器的经典模型。1932年Hahnkamm[3]根据该理论得到了吸振器最优调谐比；随后在1946年，Brock[4]得到了最优阻尼比。目前根据固定点理论得到的结果已经成为国内外振动工程教科书[5-6]中的经典结论。进入21世纪，Ren[7]提出了一种新型的接地式动力吸振器，研究发现该吸振器仍然存在固定点，并且通过调整接地阻尼可以改善振动控制效果。Liu等[8-9]对该模型采用另一种方法进行了参数优化，并在2010年对主系统含阻尼的情况通过存在近似固定点的假设得到了近似最优参数。Asami等[10-11]提出了含黏弹性器件的三要素动力吸振器模型并对其进行了优化设计，发现在相同质量比情况下，该模型具有更好的减振效果。赵艳影等[12]分析了时滞对动力吸振器的影响，并提出利用时滞可以提高减振效果的思想。Almazan等[13]提出了一种由摩擦阻尼代替黏性阻尼的简单双向减振机构，并控制25层混凝土建筑在地震载荷下的振动。此外Agathoklis等[14-15]发现将动力吸振器应用到建筑及桥梁领域可以有效降低风致振动的危害。为了提高悬臂管道输送的稳定性，安装不同类型的DVA[16-19]可以抑制管道结构的振荡，在石油管道、机车制动系统、混凝土泵车等管道设备中具有实际意义。研究发现，DVA被认为是一种有效的振动控制装置且在车辆悬架中[20-24]可以成功抑制车体垂向振动。而文献[25]建立的一种双振子结构的复合动力吸振器，可以同时吸收车体垂向及俯仰振动，进一步提高乘坐舒适性。在文献[26-29]中均表明含有惯容器的DVA可以控制共振频率的大小，拓宽有效频带，并发现惯容器具有表观质量远大于其物理质量的优势。文献[30]推导了加入接地负刚度弹簧的Voigt式DVA的最优设计参数，并通过对比得出优异的减振性能，此外，文献[31-33]深入研究了负刚度特性，结果均表明具有负刚度的DVA具有良好的控制性能，减振效果比较明显。总而言之，动力吸振器广泛应用于交通运输、工业机械、建筑桥梁等工程实践中，并成为振动控制领域最重要的设备之一。

力放大机构也已经用于减振和隔振领域，可以在振动系统中抑制振动的幅度，具有良好的工程应用前景。以杠杆元件为例，Flannelly[34]为适应航空航天工业中对隔振器刚度和质量的严格限制，提出含有杠杆元件的动力反共振隔振器(dynamic anti-resonant vibration isolation, DAVI)。由于杠杆的引入，有效质量将会增加，使隔振器能够在较低的频率范围内工作，此装置已经应用于直升机上[35-36]。为了提高杠杆效率，Halwes等[37]设计了液压式DAVI，隔振器质量将进一步降低。Liu等[38]采用在水下航行器的轴向推力轴承上并联DAVI，有效降低了螺旋桨传递到船体的振动。汪正兴等[39]利用杠杆放大作用设计了斜拉索杠杆质量阻尼器并在实桥中实验，通过有效附加阻尼抑制斜拉索的振动。Zang等[40]提出的非线性DVA，引入杠杆后比传统吸振器有更好的减振性能，并研究了支点位置对系统稳定性的影响。文献[41]提出基于杠杆放大原理的铅黏弹性阻尼器具有耗能效果明显的优势。文献[42]将杠杆放大机构与负刚度弹簧加入DVA中，通过固定点理论和H∞优化得到最优方案，具有很好的减振效果。

工程机械中多见谐波激励，如旋转机械、运载工具、偏心质量和支撑运动等引起的强迫运动。当系统受到谐波激励时，通常采用H∞优化准则进行参数优化，即使得主系统的最大振幅放大因子(称为H∞范数)最小化，从而可以有效控制振动幅值。本文通过在三要素型动力吸振器中附加放大机构得到了一种新的动力吸振器模型，研究系统受到谐波激励的情况，应用H∞优化方法对该动力吸振器进行动力学分析和参数优化，得到了最优调谐比、最优刚度比和最优阻尼比的设计公式，并通过分析比较验证了该吸振器的振动控制效果。

1 基本模型及解析解研究

由于空气弹簧、金属橡胶等很多振动控制器件具有黏弹性特征，而Maxwell三要素模型是描述黏弹性特征的一种典型模型，因此本文提出了如图1所示的含放大机构的三要素型动力吸振器。该模型是在Asami等的三要素模型基础上附加一个固定在支点位置的杠杆，通过滑块将杠杆与主系统、DVA连接在一起。其中m1代表主系统质量，m2代表动力吸振器质量，杠杆的阻力臂与动力臂分别为r1与r2，k1和k2分别代表主系统和动力吸振器的刚度，k3和c分别是串联黏弹性Maxwell模型[43]的刚度和阻尼，F0和ω分别表示激振力振幅和频率，x1、x2、x3分别表示主系统、动力吸振器以及串联弹簧和阻尼分割点的位移。

图1 动力吸振器模型

根据相似三角形定理可知，系统在振动时r2与r1的比值恒定，定义杠杆的放大比为L=r2/r1，阻力臂受到的力为动力臂的L倍，动力臂处的位移为阻力臂处的L倍。为了简化模型，忽略滑块质量、杠杆质量及运动过程中的摩擦损失，根据牛顿第二定律，建立以下动力学方程

(1)

引入以下参数

则式(1)可以化为

(2)

将响应和正弦激励写为如下形式

(3)

并代入式(3)中，得出无量纲运动规律

(4)

式中，j为虚数单位。其它参数如下

B1=α(Lω-ω2)(Lω+ω2)ω2

(5)

(6)

其中

A2=2[(1+α)υ2λ-L2λ3]

B2=υα(υ2-L2λ2)

C2=2{L2λ3(λ2-1)-

(1+α)[λ2(1+L2μ)-1]υ2λ}

D2=υα[(λ2-1)υ2+L2λ2(1-λ2+υ2μ)]

(7)

2 参数优化

2.1 最优调谐比和最优刚度比

固定点理论是DVA参数优化的经典手段，通过H∞优化可以得到最优刚度比和最优阻尼比等参数。由式(6)通过简单推导，可以证明其归一化幅频曲线都将通过三个独立于阻尼比的点，这三个点称为该动力吸振器的固定点。为了直观说明该结论图2给出了阻尼比为0、1和+∞时的归一化幅频曲线。从图中可以清楚地看出曲线均通过独立于阻尼比的P、Q和R三点。根据此特性，则有

(8)

图2 不同阻尼比下归一化幅频响应曲线

化简得到

n1λ6+n2λ4+n3λ2+n4=0

(9)

其中

n1=L4

n2=-0.5L2{2υ2(2+α)+L2[2+(2+α)υ2μ]}

n3=υ4(1+α)+L2υ2[2+α+(1+α)υ2μ]

n4=-υ4(1+α)

(10)

由于固定点与阻尼比无关，因此当ζ=0时满足

(11)

当ξ=∞时满足

(12)

进而得到

(13)

当把三个固定点的纵坐标调到同一高度，就可以得到最优调谐比。这个调整需要两步完成。第一步把P点和R点的纵坐标调到同一高度，可以得到

(15)

把式(15)代入到式(9)可以得到

(L4+L6μ)λ6-(3L4+2L6μ)λ4-

{υ4+2L2υ2(υ2μ-1)+L4[υ2μ(υ2μ-2)-2]}λ2+

L2υ2(υ2μ-2)+υ4=0

(16)

由式(16)解得三固定点的横坐标

(17)

由式(14)整理得到

(18)

第二步，把P或R点与Q点的纵坐标调整到同一高度，可以得到最优调谐比

υopt=

(19)

把式(19)代入到式(15)得到最优刚度比

(20)

此时

(21)

图3给出了固定点处的响应与放大比和质量比的关系。由图3可以看出，固定点处的响应与质量比μ和放大比L有关。在质量比μ一定时，可以通过增大放大比L，使固定点处的响应减小。

图3 不同放大比下固定点位置和质量比的关系曲线

2.2 最优阻尼比

当把三个固定点调整到同一高度后，如图4所示。此时改变阻尼比，可以改变共振峰的高度。最优阻尼比可以通过调整两个共振峰为同一高度时实现。

为了得到最优阻尼比，需要知道在两个共振峰处的横坐标，即λ1,2。令

(22)

图4 不同阻尼比下幅频曲线

由式(22)可以得到ζ1和ζ2的值，然后得到ζopt=(ζ1+ζ2)/2，但是这样很难得到解析结果。

由图4我们可以清晰地观察到，当两个共振峰在同一高度时，Q点的附近正好是幅频曲线斜率为零的区域，Q点的横坐标已经求出，可以根据Q点的横坐标得出近似的最优阻尼比。

根据

(23)

从而得到近似最优阻尼比

(24)

其中

a=(1+L2μ){Ω+2L2μ(3+4L2μ)[3Ω+L2+

μL2(6L2+9L4μ+4L6μ2+4Ω)]}

b=2L6μ2(1+L2μ){6Ω+L2(1+L2μ)[1+

32μΩ+2μL2(3+4L2μ)2]}

c=-L8μ2(Ω+2L2μ(3+4μ)[3Ω+L2+

4L2μΩ+L4μ(6+9L2μ+4L4μ2)]

(25)

图5给出了根据前述优化结果得到的幅频曲线，可以发现达到了优化目的。图6给出了不同杠杆放大比时的系统幅频曲线，可以看出随着杠杆放大比的增大，两共振峰间距拉大，幅值越低。

图6 不同放大比时的幅频曲线

3 数值验证

为了验证无量纲参数优化的正确性，这里选取质量比μ=0.1，杠杆放大比L=2.5，根据前述解析结果得到α=3.265，υ=1.209，ζ=1.218。取激励幅值F0=800 N，利用四阶龙格库塔法，选取计算时间为100倍的激励周期，可以得到在给定简谐激励下主系统响应的数值解。忽略瞬态响应，选取稳态解的最大值为响应幅值并进行归一化处理，得到幅频响应曲线并与解析解对比。图7显示了解析解与数值解所得结果完全吻合(实线为系统的解析解)，验证了本文求解过程和结果的正确性。

图7 μ=0.1时数值解与解析解对比

4 模型对比

4.1 简谐激励下的响应对比

为了验证含放大机构的三要素动力吸振器的减振性能，与其它经典DVA在H∞优化准则下的结果进行了对比。对比过程中均选取质量比μ=0.1，惯质比δ=0.2，杠杆元件的惯性效应可以提高系统有效质量，因此它不需要很大的质量来达到满意的效果，拟采取杠杆放大比L=3。这里采用的其它经典减振模型为文献[2]、[7]、[10]、[19]、[21]中的模型(后文简称Den式、Ren式、Asami式、Li式、Peng式)，每一种模型的最优参数如表1所示。所得的归一化幅频曲线，如图8所示。

表1 优化结果

图8 与其它形式动力吸振器模型对比

从图8中可以看出，在相同质量比且忽略空间限制的情况下，本文模型相对于传统的动力吸振器，能够更大幅度降低共振区的振幅，两峰值的间距拉大，拓宽了减振频带，在主系统减振方面有更好的效果。

4.2 随机激励下的响应对比

为了更真实地模拟工程实际，构建了50 s均值为0方差为1的随机激励，其时间历程如图9所示。选取主系统质量m1=1 kg、主系统刚度k1=100 N/m，并根据本文推导及表1中的最优参数。主系统附加6种不同的DVA后的响应分别如图10～15所示。

图9 随机激励时间历程

图10 附加Den式DVA的主系统时间历程

图11 附加Ren式DVA的主系统时间历程

图12 附加Asami式DVA的主系统时间历程

图13 附加Li式DVA的主系统时间历程

图14 附加Peng式DVA的主系统时间历程

图15 附加含放大机构的三要素型DVA的主系统时间历程

从图9～图15可以看出，本文模型和已有模型的最优参数虽然均是在简谐激励下按照H∞优化准则得到的最优参数，但是在随机激励下本文模型仍然有更好的减振性能，可以更好地降低主系统受到随机激励时的统计能量。

5 结 论

本文将三要素型黏弹性模型与放大机构引入动力吸振器中，并以其为研究对象根据固定点理论得到了系统取得最优减振效果时的动力吸振器参数，通过数值解验证了所得结果的正确性。并通过与经典动力吸振器的对比证明了含放大机构的三要素型动力吸振器有较好的吸振效果。进一步的研究表明，放大比越大，动力吸振器模型的减振性能越好；通过适当增大放大比，可以降低系统总质量以提高减振效果。如果工程应用中不存在空间制约因素或者制约因素不大时，本文模型具有明显的优势。