联通与融合：理解性学习的教学策略

【摘 要】“理解性学习”是基于已有认知基础的学习，强调从学生自身已有的知识、方法或活动经验出发，完成对新信息意义本质的内化、联系与建构。“等比数列前n项和”的发现路径众多，设计教学时可以从“理解性学习”的视角，联通等比数列前n项和的发现史，融合人类数学发现和学生数学认知，将数学知识理解上升到数学思想方法，最终能上升到学生的数学文化。

【关键词】理解性学习；数学文化；等比数列前n项和

【中图分类号】G633.6  【文献标志码】A  【文章编号】1005-6009（2022）59-0075-06

【作者简介】陆贤彬，江苏省靖江市教师发展中心（江苏泰州，214599）主任，高级教师，江苏省特级教师。

“等比数列的前n项和公式”是苏教版选择性必修第一册中的内容，虽然《高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》（以下简称“新课标”）中只有一段30余字的内容要求——“探索并掌握等比数列的前n项和公式，理解等比数列的通项公式与前n项和公式的关系”，但它却是各类优课评比、专题研修课、课改观摩课青睐的选题，研究者也围绕它发表了许多论文。究其原因有二：其一，从认知层面看，“等比数列求和公式的发现”属于策略性知识，而“掌握策略与方法”是思维需求的最高层次，其推导过程需要调动学生的策略意识、发挥学生的探索智慧［1］；其二，从实践过程看，发现等比数列求和公式的路径众多，面对不同学习基础的学生，教师可以选择“错位相减法”，搭建“Sn”与“Sn-1”的递推关系式，构造“Sn”的等量关系式，采用“归纳—猜想—数学归纳法证明”合情推理方式、“归纳—猜想—综合法证明”演绎推理方法等。

本文尝试以“理解性学习”的视角，以“等比数列求和公式的发现”为载体，阐释“联通与融合”的教学设计策略。

一、高中数学理解性学习的意蕴

1.理解性学习

“理解性學习”是针对“机械性学习”“强制性学习”等实际教学的普遍性弊病提出的，并且是“素养指向的有效教学”的重要标志。最早明确提出“理解性学习”“理解性教学”的学者是美国哈佛大学教育学院的大卫·珀金斯教授，他倡导学习者根据自身已有的知识基础对新信息意义本质进行内化、联系与建构，并归纳出理解性学习教学设计的“四要素”框架：生成性主题、理解性目标、理解性实作、追踪式评价。伴随新课标的实施，“理解性学习”渐渐成为指向核心素养培养的学习范式。

2.高中数学理解性学习

近年来，吕林海、郭晓娜等众多专家对“理解性学习”进行了深入研究，分别从文化的视角、学习科学、本体论意义及哲学解释等维度做了系统诠释［2］［3］，对“理解性学习”的“理解”内涵基本形成共识：所谓“理解”是从学生能否解释、释译、应用、洞察、移情、自我认知六个维度进行考虑，强调“思维”是实现“理解”的关键，在设计课程时应以培养学生能力为导向，根据学生的素养发展需求来设计课程。

所谓高中数学理解性学习，是指高中学生在理解基础上的数学学习。首先，高中数学理解性学习是以高中学生理解数学为目标指向的；其次，这样的学习须真实地促成高中学生对数学的理解，而这两个方面的结合从目标与效果两个维度圈定了数学理解性学习的基本要义。高中数学理解性学习并非一种具体的数学学习方式，而更多的是一种体现促进学生高中数学核心素养发展的理念取向，包括从数学知识理解上升到数学思想方法，最终上升到学生的数学文化。

二、发现等比数列前n项和公式的路径分析

1.“错位相减法”直接推导与“已有认知”不联通

在高中数学教材中，人教A版、北师大版、苏教版和沪教版教材均采用“错位相减法”进行等比数列前n项和公式的推导。“错位相减法”是教师对推导过程的形象描述，教材中没有明确命名，学生也难以精准提炼，往往由教师在完成推导后直接告知。顾名思义，首先，对于目标等式Sn=a1+a2+…+an，两边乘以q，得到一个关联式qSn=a2+a3+…+an+an+1；其次，“错位相减”，将两式中带“…”的一段（n-1项的和）相减，转化为“0+0+…+0”（n-1个0的和），先“化不定为确定”，进而“化无限为有限”，整理可得（q-1）Sn=a1（qn-1）。“错位相减法”是一种最高思维层次的策略性方法，本质上是应用等比数列定义，即an与an-1之间的递推关系，对等式进行乘以“q”的恒等变形。其中蕴含着“由一生二，相邻式相减”“化归与转化”“化繁为简”等数学思想与数学方法。

在功利性教学的现实诉求下，大多的常态课往往采用教材提供的问题情境及“错位相减法”，这样的教学不仅可以“短平快”地获得等比数列求和公式，而且能够将探究的重点放在体悟“乘以q，错位相减”中蕴含的数学思想。有的课堂还增加探究“除以q，错位相减”；还有的课堂将等式Sn=a1+a1q+…+a1qn-1中的“常数a1”换成等差数列an，将问题转换为：已知{an}是公差为d的等差数列，求Sn=a1+a2q+…+anqn-1。

因为腾出了大量思考时间用于公式的解释、记忆、练习与应用，这种教学设计能够增加课堂容量，但很难解释学生的疑问：“老师，你怎么想到乘以q的呢？” 事实上，“错位相减法”的直接告知，没有达成“探索并掌握”的新课标要求，也让学生错失了探索发现的乐趣。

从“理解性学习”的视角看，一方面，从“理解”的解释、释译、应用、洞察、移情、自我认知六个维度进行量度，经历“错位相减法”的推导和探究过程，学生能够“解释”方法，因为教师提炼的方法名称“错位相减”就已表明了其中的程序性知识；也能“释译”“应用”，探究并拓展求和的本质，解释其中的方法与思想；但达不到“洞察”，既没有从学生的知识基础出发，也没有从学生的方法基础、经验基础出发，学生无法“洞察”其中的因果与逻辑；达不到“移情”，因为结论不是由学生自己发现的，故无法检视自身思维的成就或缺陷。

另一方面，按照高中数学理解性学习的界定，这样的学习仅达成了理解数学知识的目标，而没有实现对数学的深度理解，即没有将对数学知识的理解上升到对数学思想方法的理解，进而形成一种基于数学思维的文化理解。

2.联通等比数列前n项和公式的发现史，体悟数学家式的理解

“数学文化”已然融入所有高中数学内容，将数学知识理解上升到数学思想方法、最终上升到学生的数学文化是高中数学理解性学习的核心价值。联通数学思想的历史发展，将数学史融合于数学课程、内化于教学内容、根植于学生内心，让数学文化与数学知识和方法在课堂上一起生长。按照探索发展所基于的认知基础，等比数列前n项和公式的发现史大概分为三个阶段：搭建Sn与Sn-1的递推关系式，猜想Sn的表达式，构造Sn的等量关系式。

第一阶段，通过特殊等比数列和式的简易变形搭建Sn与Sn-1的递推关系式。大约公元前1650年，莱因德纸草书上载有等比数列7，72，73，74，75的求和问题，写成一般形式，即数列7，72，…，7n 的前n项和為Sn=（1+Sn-1）×7，但未能给出求和的一般公式。［4］

第二阶段，通过对特殊等比数列的归纳猜想，启示探究未知数学的逻辑。大约公元前300年，塞流斯时期的泥版AO 6484上有一个1，2，22，…，29的求和问题，通过观察与归纳写成一般形式，即1+2+22+…+2n=2n+2n-1。［4］

第三阶段，基于等比数列定义的恒等变换，构造Sn的等量关系式。①定义+等比定理。约公元前325年—前265年，古希腊数学家欧几里得在《几何原本》第９卷中根据等比数列的定义，利用比例性质推导出了求和公式q-1=[a1（qn-1）Sn]。②定义+错位相减。18世纪，欧拉（L. Euler，1707—1783）在《代数学基础》（1822）中采用了我们所熟知的“错位相减法”，构造Sn的等量关系式。③定义+掐头去尾。与欧拉同时期的法国数学家拉克洛瓦（S. F. Lacroix，1765—1843）在《代数学基础》（1812）中采用“掐头去尾法”，他发现等比数列的前n项和减去首项，恰好是减去末项的q倍［5］：掐头，Sn-a1=a2+a3+…+an；去尾，Sn-an=a1+a2+…+an-1。根据定义得[Sn-a1Sn-a1qn-1]=q，构造出Sn的等量关系式。［5］

代数学的发展经历了两个主要阶段——修辞代数和符号代数，等比数列前n项和公式的发现史恰恰与此契合。历史告诉我们，在没有用字母表示数、一切均用文字来表达的修辞代数时代，人们很难得到等比数列求和的一般公式，在研究一些特殊数列的过程中，寻找等比数列前n项和Sn和前n-1项和Sn-1之间的关系是更为合理的想法，而“错位相减法”“掐头去尾法”是符号代数高度发展的产物。在18世纪，函数的概念已演变为“变量的对应关系”［6］，人们将数列作为特殊的函数，构造“Sn”与“n”的等量关系也是一种合理的选择。

3.联通认知基础，融合知识的发生发展过程，追求自然而然地理解

“理解性学习”是基于已有认知基础的学习，强调从学生已有的知识、方法或活动经验出发，教师设计情境、提出问题、明确任务、组织活动、全程评价，学生完成对新信息意义本质的内化、联系与建构。课堂教学时，教师联通学生已有基础，融合知识的发生与发展过程，追求“自然流淌”的境界，既能凸显所学知识的必要性，又能激发学生的学习动机、促进数学理解。

新课标对数列内容的安排，遵循先一般后特殊的顺序，先认知一般数列，再学习两个重要的数列模型——等差数列和等比数列。所以，按照学生认知数列的先后顺序，等比数列的前n项和的知识与方法基础分别是：数列相邻两项的递推关系可以表示数列；给出有限项的一列数，可以猜想数列的通项公式；“逆序相加”推导等差数列的前n项和；等比数列的递推关系和通项公式；等等。下面，笔者从学生认知发生的视角出发，介绍几种等比数列前n项和的发现路径。

【发现1】联通数列概念，尝试中意外惊喜

从数列的前n项和概念入手。从问题解决的对象看，探索的目标是等比数列前n项和，即Sn=a1+a1q+…+a1qn-1，由前面习得的一般数列知识可知，等比数列前n项和也是一个数列：S1，S2，…，Sn。所以，“求等比数列前n项和”可转化为“求新数列{Sn}的通项”，基于数列的递推关系式，问题可进一步转化为寻找Sn与Sn-1相邻两项的等量关系。对于Sn=a1+a1q+…+a1qn-1与Sn-1=a1+a1q+…+a1qn-2，要让等式左边的Sn与Sn-1产生联系，通常对等式右边的式子有两种“化同”加工路径。一是将右边式子的项数“化同”，可得Sn-a1=qSn-a1qn；二是将右边式子的最高次幂“化同”，可得Sn=a1+qSn-a1qn。

【发现2】联通逆序相加，类比中“收之桑榆”

从类比等差数列求和入手。学生的认知基础——“‘逆序相加法’推导等差数列前n项和”是方法基础，“类比”是认知等差数列和等比数列的逻辑推理基础。在前面研究等比数列定义、等比数列通项、等比数列性质时，学生已经习得了“类比”这种合情推理的基本活动经验，通过“类比”能够很轻松自然地探索出等比数列通项与性质。此时，教师可以引导学生进行“理解”——自我认知。等差数列与等比数列如何类比？“-”类比为“÷”；“+”类比为“×”；“乘”类比为“乘方”；“除”类比为“开方”；“累加法，求通项”类比为“累乘法，求通项”。教师继续引导“逆序相加法，求前n项和应该类比什么呢？”引导学生自己克服思维定式，得出类比“逆序相乘法，求前n项积”的结论“求和”未成、收获“求积”，加深了学生对类比推理的数学理解。

【发现3】联通等比定义，探究中发现公式

从等比数列的定义入手。从学习科学的视角看，基于等比数列求和公式的学习目标，研究的对象是“等比数列”，“等比数列是什么”是学生需要提取的核心信息。等比数列的定义是学生上一课习得的，既是研究等比数列求和的知识基础，也是学生能快速提取和加工的最近信息。如果提取的等比数列定义是[an+1an] = q，正是上文欧几里得“定义+等比定理”发现路径，定义结构是“商”的形式，恒等变化的技巧性强。一般学生很难想到将定义变形为“积”的形式，从an+1=qan出发，发现等比数列的求和公式。

事实上，等式an+1=qan中的“n”具有一般性，“一”就是“无限”，赋值n能得到系列具体等式：a2=qa1，a3=qa2，…，an=qan-1。将n-1个等式的左右两边分别相加，根据Sn=a1+a2+…+an，Sn-1=a1+a2+…+an-1可得a2+a3+…+an=q（a1+a2+…+an-1）。最终得出Sn-a1=qSn-1，将“Sn-1”用“Sn-a1qn-1”替换，整理可得Sn-a1=qSn-a1qn。

三、发现等比数列前n项和公式的教学实践

等比数列前n项和公式的发现路径很多，但具体到课堂，适合学生理解性学习的路径往往只有一两种。2020年9月，笔者参与该选题的泰州市级名教师“同课异构”教学评比活动，借班泰州市的一所三星高中进行授课，学生的基础相对比较薄弱，学情也不熟悉。所以，笔者采用的是“归纳—猜想—证明”的发现路径，课前确定的学习目标得到较好落实，具体教学设计简录如下。

1.学习目标

目标1：类比等差数列的学习内容，明确本课的学习任务，并能用数学语言表达出需要解决的问题，强化类比推理研究等差和等比数列的数学意识。

目标2：从等差数列求和的數学情境中，回归数列求和的本质和方法，在探究等比数列求和的过程中，学会“特殊化”思想和“归纳、猜想、证明”的问题解决策略，发展逻辑推理、数学运算等数学核心素养。

目标3：经历“分析法”和“综合法”证明的过程，理解等比数列求和采用的“错位相减法”，体会“求和”过程中化繁为简的策略，能够记忆和运用习得的公式，提高数学运算、数学模型等素养。

2.学习活动

【活动1】发现问题

师：在前面的学习中我们学习了等差数列的概念、通项、性质、前n项和，等比数列的概念、通项、性质。你觉得我们今天会学什么？

生1：今天该学习“等比数列的前n项和”。

师：这个同学说得对，学习等差、等比数列要学会“类比推理”，可以让我们的“数列”学习变得更简单、更有效。

【活动2】表达问题

师：数学问题常写成“已知”“求”的形式，“求等比数列的前n项和”如何数学地表达？

生2：已知数列｛an｝是等比数列，首项为a1，公比为q，求Sn=a1+a2+…+an。

生3：可以具体些，已知数列｛an｝是等比数列，首项为a1，公比为q，求Sn=a1+a1q+…+a1qn-1。

生4：可以简单些，因为生3提出的式子中每一项都有a1，可以将a1提取Sn=a1（1+q+…+qn-1），求1+q+…+qn-1即可。

师：生4说得很好，将生3提出的式子中的a1特殊化为“1”。

【活动3】探索问题

师：怎样求Sn=1+q+…+qn-1？我们可以尝试用等差数列求和的方法——“逆序相加”。

∵Sn=a1+a2+…+an-1+an

Sn=an+an-1+…+a2+a1

∴2Sn=（a1+an）+（a2+an-1）+…+（an-1+a2）+（an+a1）

生5：对于上式，如果是等差数列，括号内是常数，可以进一步求和；但对于等比数列，括号内不是常数列，也不是其他特殊数列，进一步求和难以继续。

师：求和的本质是将复杂的部分简化，等差数列“逆序相加”得到的是一个常数列的和。有兴趣的同学课后继续思考：针对等比数列的求和，是不是不适用类比推理了？还是类比推理出错了？

生6：可以求前n项的积。

∵Tn=a1·a2…an-1·an

Tn=an·an-1…a2·a1

∴T[2n]=（a1·an）·（a2·an-1）…（an-1·a2）·（an·a1）

师：生6突破了思维定式，“逆序相加法，求等差数列的和”应类比为“逆序相乘法，求等比数列的积”。现在我们回到等比数列的求和上来，怎么办呢？

生7：我想“特殊化”，写了几个简单的等比数列先试试，但还没有得到一般结果。

师：很好，现在我们a1已经特殊化为“1”，还有哪些量可以特殊化？

生8：q退到1，Sn=1+1+1+…+1=n；q退到2，Sn=1+2+22+…+2n-1=？

生9：将n也特殊化，n取2、3、4、5……，可得1+2=3，1+2+4=7，1+2+4+8=15……结论：1+2+4+…+2n=2n-1。

师：请同学们猜想1+q+q2+…+qn-1= ？

（版面所限，猜想过程略）

结论：1+q+q2+…+qn-1= [qn-1q-1]

【活动4】解决问题

师：如何证明1+q+q2+…+qn-1= [qn-1q-1]？

生：首先，可采用分析法，简分母：只要证明“（q-1）（1+q+q2+…+qn-1）=qn-1”；简式子：只要证明：（q-1）Sn=qn-1；简括号：即证明：qSn-Sn=qn-1。还可以使用综合法，即错位相减法（限于版面，略）。

以上是发现“错位相减法”之前的课堂实录，经历归纳、猜想和分析法探索，自然而然地走到“乘q”后错位相减。实践中，4个活动共花费近30分钟时间，教学现场学生的思维参与度高，气氛很活跃，每个人都能体会到了探索发现的快乐。事实上，特殊化的数学思想、归纳猜想的数学推理，正是人们在对新信息意义建构初期的自然选择，这也验证“历史发生原理”——学生的数学认知发展与人类的数学发现历史具有相似性。

作为“理解性学习”的一次实践，本课例的学生基础较薄弱，故选择“猜想+错位相减法”与发现史相似的路径，对于学习基础较好的学生，则可以选择更多的路径进行探索与发现。总之，基于学生的认知基础，联通与融合数学文化，“为理解而教”“培养具有高水平数学素养的学生”应成为我们数学教学的时代追求。

【参考文献】

［1］关雅南.“等比数列前n项和公式”PCK分析研究［J］.上海中学数学，2020（1-2）：69-71，89.

［2］吕林海，王爱芬.理解性学习与教学的思想源起与内涵论争［J］.教育理论与实践，2008（7）：53-59.

［3］郭晓娜.理解性学习的实践策略： 基于哲学解释学的视角［J］.全球教育展望，2016（2）：41-49，128.

［4］吴现荣，宋军.HPM视角下的等比数列前n项和公式教学［J］.数学通报，2016（7）：28-31，34.

［5］李玲，汪晓勤.基于数学史的等比数列前n项和公式教学［J］.中学数学月刊，2019（11）：46-49.

［6］陆贤彬. 联通发展历史，理解函数概念［J］.新世纪智能，2020（98）：12-14.

*本文系江苏省教育科学“十三五”规划2016年度立项课题“‘简中求道’数学教育思想的行动研究”（D/2016/02/304）及江苏省教育科学“十三五”规划2018年度重点课题“促进理解性学习的高中数学单元教学实践研究”（B-b/2018/02/87）的研究成果。