解非线性方程的一种新的三步六阶迭代格式

黄丝引，曾 光，张思平，余笑宇，雷 莉

(东华理工大学理学院，330013，南昌)

0 引言

在工程与科学计算中会遇到大量的求解非线性方程的问题，对于一般的代数方程，当它的次数超过4次时无法用公式直接表示方程的根；对于更复杂的超越方程，解析法求方程的根有不少困难；因此研究数值方法计算非线性方程的根就显得尤为重要。迭代法是数值求解非线性方程根的重要方法，但是使用迭代法的困难在于计算量难以估计，有时迭代过程收敛，但收敛速度缓慢，此时迭代格式因为计算量变得很大而失去实用价值。与简单迭代法相比，Newton迭代法的收敛速度更快，它具有局部平方收敛的性质。因此得到了学者们的重视和广泛应用。

一直以来有很多学者提出了各种关于 Newton 迭代法的改进。A Y Özban[1]基于算术平均牛顿法，用调和平均数代替算术平均数而得到调和平均牛顿法，该方法的收敛阶为三阶；范倩楠和王晓峰[2]通过改造史蒂芬森迭代法，构造了一种新的具有最优阶的无导数两步迭代法，得到收敛阶为四阶的无需计算导数的迭代法；黄芳芳[3]等在经典牛顿迭代法和弦截法的基础上，构造了3种新的迭代法，这3种迭代法在一定程度上加快了收敛速度；张辉[4]等根据四点 Newton-Cotes求积公式提出了一种六阶的牛顿迭代法；吴江[5]在算术平均牛顿法的基础上提出了一种六阶收敛的迭代格式；王尧和陈豫眉[6]在Ostrowski[7]四阶收敛和Grau[8]的六阶收敛以及三步迭代法的基础上，构造了一种新的求解非线性方程单根的三步六阶迭代法；薛霜[9]在2013年基于2种三阶牛顿变形方法的基础上，通过线性插值和待定系数法得到了2种新的牛顿变形法，并且理论证明了这2种方法的收敛阶都能达到五阶。

本文以Newton迭代法为基础，结合两步迭代格式，通过组合迭代，构造收敛阶更高的迭代法，以进一步提高迭代法的计算效率。文章安排如下：第1节介绍迭代格式的具体形式；第2节给出收敛性的证明；第3节利用数值实验进一步验证理论方法的有效性。

1 新迭代格式的构造

定义1[10]: 设迭代序列xk收敛于点x*，所以误差为ek=xk-x*，若存在实数p≥1和非零常数C使得

此时，迭代序列xk的收敛阶是p,C为渐进误差系数。显然，收敛阶p越大收敛速度越快，当p=1时，迭代法称为线性收敛；当p>1时，迭代法称为超线性收敛；当p=2时，迭代法称为平方收敛。

定义2[11]：设迭代序列xk是p阶收敛于点x*，每次迭代中所需计算的函数值的次数为k次，则称EI为迭代序列中的效率指数，计算公式为

定义3[12]：设定义在开区间D⊂R→R上的函数f(x)足够光滑，a为方程f(x)=0的一个根，若满足

其中c是非零正常数，则称上式为误差方程。

Newton迭代法是求解非线性方程的重要方法之一，其迭代格式为

(1)

王小瑞[13]等人提出一种收敛阶为四阶的两步迭代，迭代格式为

(2)

为了提高迭代格式的收敛速度，同时又尽量减少迭代格式中对于函数值和导数值的求解，本文基于迭代格式(2)提出新的三步迭代格式，其构造过程如下：

首先，式(2)中的第一式保持不变

(3)

再用zk替代式(2)的第2式中的xk+1，即得到与xk,yk有关的zk

(4)

最后，添加一步牛顿迭代即得到新的三步六阶迭代格式

(5)

下面利用(xk,f′(xk)),(yk,f′(yk))对(f′(zk))进行插值估计

(6)

由上式可知

(7)

将式(5)中间的式子代入式(7)中，化简得

(8)

将式(5)的第1式代入式(8)中，化简得

(9)

将式(9)代入式(5)的第3式中，化简得

(10)

于是得到新的迭代格式为：

(11)

2 收敛性分析

定理1：设方程f(x)=0 的一个单根为a，函数f(x)在包含a的一个开区间I中充分光滑，当x0充分靠近a时，则由式(11)所定义的迭代法在开区间I中以六阶收敛速度收敛于a，且其误差方程为

证明：f(xk)在a处使用泰勒公式展开

(12)

(13)

由式(12)和式(13)得到

(14)

所以

(15)

利用式(15)，将f′(yk)在a处使用泰勒公式展开

(16)

由式(13)和式(16)得到

(17)

(18)

(19)

利用式(19)，将f(zk)和f′(zk)用泰勒公式在a处展开

f(zk)=f′(a)[(zk-a)+c2(zk-a)2+o(zk-a)3]

(20)

故

(21)

故本文迭代格式的误差估计为

(22)

将式(18)代入式(22)中，得到

(23)

3 数值实验

为了验证本文的迭代格式的有效性，将其应用于求解以下4个测试函数的零点，并将本文新的迭代格式(简称H6方法)与牛顿迭代法(简称NM方法)进行比较。文中的数值实验在 MATLAB R2017b中进行，digits = 1 024, 测试函数为：

测试函数的零点(此处仅考虑一个零点)分别为：

α1=1.365 230 013 414 10;

α2=0.739 085 133 215 16;

α3=0.567 143 290 409 78;

α4=2.174 952 447 083 43。

数值实验测试结果如下表所示，其中表1至表4分别是函数f1(x)至f4(x)用牛顿迭代法和本文的三步六阶迭代法求解的数值实验，x0表示迭代初值，k表示迭代步数,|xk-xk-1|表示误差，迭代终止的条件是|xk-xk-1|<10-14。

表1 NM方法与H6方法数值求解f1(x)的结果对比

表2 NM方法与H6方法数值求解f2(x)的结果对比

表3 NM方法与H6方法数值求解f3(x)的结果对比

表4 NM方法与H6方法数值求解f4(x)的结果对比

在表1中，在取3个不同的初始值时，H6迭代法均快于经典的牛顿迭代法，特别的，当初始值分别取-0.5、-0.3时，经典牛顿迭代法的迭代步数分别是132步、54步。本文H6方法的迭代步数分别是是58步、13步，H6方法大大提高了迭代速度；从表2可以看出，当取不同的迭代初始值时，相对于经典牛顿迭代法，H6方法都不同程度地减少了迭代的次数；对于函数f3(x)=xex-1, 迭代初值取-0.1和-0.2时，迭代法H6明显优于牛顿迭代法。同时，通过数值实验表明，迭代法的收敛速度与选取的初始值有关，不同的初始值在用相同迭代法计算时，其迭代步数也不相同；一般初始值越接近零点，迭代步数越少；但是在初始值相同的情况下，H6方法始终快于牛顿迭代法。