中考微专题复习课的设计与思考——以“隐圆问题”为例

江苏省苏州工业园区星海实验中学 (215000) 张 哲

“圆”是初中数学内容中较难的一个章节，和圆有关的问题中难度较大的要属“隐圆”问题了.近年各地中考试题中，“隐圆”问题出现的频率较高，其中常常涉及动点求线段最值问题．笔者认为在中考的复习中，可以采取微专题的模式，让学生对该类题型的思想方法、解题思路有更深层次的认识．

1. 微专题复习教学过程

1.1 根据圆的定义构造圆

图1

例1 如图1，AB=AC=AD,∠CBD=2∠BDC,∠BAC=46°，则∠CAD

=________.

点评：在解决几何问题时，应结合已知条件，观察图形，联想条件相关的知识点.本题的条件AB=AC=AD，它们有一个公共顶点A，我们称之为“伞型”，由它联想到“到定点的距离等于定长”的圆的定义，从而画出对应的隐圆，将角度问题转化到圆内成为圆周角、圆心角问题去解决．

设计意图：由简单的题目切入，让学生从自己会做的题目入手，增强学生的自信心，提高学生学习的积极性和主动性.

图2

点评：本题以矩形的翻折为背景，研究最值问题．题中并未直接给出“伞型”条件，但是翻折问题里有很多隐含条件，包括对应线段相等、对应角度相等.本题由翻折得到BE=BG，继而想到“到定点的距离等于定长”，画出隐圆．本题有两个难点：一是将四边形面积的最值问题转化为三角形面积的最值问题，再进一步将三角形面积的最值问题转化为动点到定线段的距离问题；二是寻找动点轨迹．

图3

设计意图：与例1的隐圆构造方法一样，难度比例1大.在完成例1的基础上思考例2，提升学生的思维深度，对“利用定义构造圆”的方法进行巩固

1.2 根据定边对直角构造圆

例3 如图3，在RtΔABC中，AB⊥BC，AB=6,BC=4，P是ΔABC内部的一个动点，且满足∠PAB=∠PBC，则线段CP长的最小值为________.

点评：本题由已知条件可得P点处是直角，而直角所对的边AD为定边，想到圆内的“直径对直角，直角对直径”，进而画出隐圆，得出P点的轨迹，将问题转化为求圆外一点到圆周上一点的最短距离．

设计意图：本题是“直角对直径”构造圆中较为典型的题型，难度不大，大部分学生应该可以独立解决.由典型题型切入，引导学生自己总结方法.

图4

例4 如图4，在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=2，D是边AC上一个动点，连接BD，以AD为直径的圆交BD于点E，则线段CE长的最小值

为________.

点评：本题动点E处是直角，不难想到“直角对直径”，存在隐圆．但是因本题中本身有一个圆，学生容易被这个已知圆干扰，错认为E的轨迹是以AD为直径的圆，从而错解．实际上因为D是动点，所以AD是动线段，因此这个已知圆也是不确定的．而∠AED的邻补角∠AEB也等于90°，且∠AEB的所对边AB是一条定边，因此E点的轨迹应该是以AB为直径的圆，画出隐圆后，问题迎刃而解．

设计意图：与例3是同类型的题型，在例3的基础上再进一步突破难点，加深学生对模型的理解.

1.3 根据定边对定角构造圆

图5

例5 如图5，已知等边ΔABC边长为6，D、E分别为边AB，AC上的动点，且BD=AE，连结CD，BE相交于点F，求点F运动的路径长为________.

点评：此题中动点F处的∠BFC的度数是定值120°，不再是90°，因此加大了寻找圆心的难度．设隐圆圆心为G，∠BGC=(180°-120°)×2=120°，以BC为等腰ΔBCG的底边，在BC下方构造顶角为120°、底角为30°的等腰ΔBCG，从而找到圆心G，画出隐圆．

设计意图：由“直角对直径”的类型转变为一般的“定角对定边”的类型，让学生体会由特殊到一般的数学思想.

图6

例6 如图6，抛物线y=x2-2x-3与坐标轴交于A、B、C三点，第四象限有一个动点E，满足AE=OA，过E作EF⊥x轴于点F，设F坐标为(t,0)，0

点评：此题要求顶点G与动点I的距离最小值，必定要先找到动点I的运动轨迹．由I是内心，可知∠AIE为定角，不难推测是隐圆问题．但是∠AIE的对边AE虽然长度不变，但是位置在变化，以此判断要找的定角并非∠AIE，定弦也不是AE，由AE=OA，AI平分∠OAE，可知ΔAIO≌ΔAIE，∠AIO=∠AIE=135°，而∠AIO的对边AO长度位置均固定不变，此时定角与定弦找到，就可以画出隐圆了．

设计意图：在例5的基础上提升难度，由浅入深，逐渐递进，实现学生解决综合题能力的螺旋式上升.

2.微专题复习的教学思考

教师在进行微专题复习设计中，需要有效的落实“以学生为主体”的教学理念，并且在教学中要充分的体现出学生的主体作用，这样才能有效的培养学生的数学核心素养，并充分的发挥出学生的创新精神，并提高学生的自主学习能力.教学实施中应强调：一是因学施教.在进行教学中每一个班级和学生都存在着一定的不同，在复习中的存在问题也不同，进行微专题复习方法的选择应具备一定的针对性，在学生遇到难以解决的问题时，要帮助学生由浅入深的方式来进行问题的解决；二是注重学生思维活动的参与.复习中，应当让学生充分的融入到解题当中，并对题型进行有效的分析和研究，从而真实的投入到复习当中，并真正的了解数学.这样可以有效的促进学生思维的提高，并帮助学生从多方面的角度来进行问题的思考，促进学生数学素养的全面养成.