一道2021年上海数学竞赛试题的解法探究

山西省太原市第三实验中学校 (030031) 董立伟

图1

图2

评注：解法中利用“坐标法”的思想，将求CD的长度转化为求点D的坐标，从而只需想法求出AB、CP、BM三条直线的方程即可.当然，解法是以“点P在线段AB上”和“点D为直线CP与BM的交点”两个事实为基础.其本质是“三点共线”.

评注：向量法有效地将问题中的长度、角度等几何关系进行转化，从而使得问题的解答变得简单.当然，求解中也可以换一个视角来理解“CP是△CAB的一个顶点C与对边AB上一点P的连线”这一几何结构：线段PA和PB是具有一个公共端点的两条线段，且∠ACP和∠BCP分别是这两条线段对同一视点C的张角.

解法4：(张角定理1)在△CAB和△CMB中分别使用张角定理，可得

图3

评注：借助辅助线CO，使得图形中隐藏的边角关系变得明朗.事实上，我们确定了含有边CD的一个三角形△BCD中的一边BC的长度，并可以确定CD与BC各自的对角.因此，还可以利用正弦定理得到解法6.

评注：本解法充分利用了图形中的角之间的关系.当然，在△CDM中使用正弦定理也可以给出一个类似的解答.事实上，利用图中的角与长度，还可以进一步确定一些边长，比如AP和BP，且不难发现BDM是△ACP的一条截线.

图4