同向同行 美美与共

摘  要：以发展学生核心素养为导向，有效落实《义务教育数学课程标准（2011年版）》基本理念，是教学与评价的共同目标. 2021年全国各地中考数学试题“数与式”相关内容的命题，更加关注用字母表述代数式及代数式的运算，强调字母可以像数一样进行运算和推理，突出通过字母运算和推理所获得的结论具有一般性的特征，进一步体现了基于“数系扩充”和“用字母表示数”之后运算法则的一致性.研究“数式通性”，体会“字母”是数学表达和进行数学思考的重要形式，是数学抽象能力、运算能力、推理能力的集中反映，并将这一最具数学特色的思维方式融入中考试题“数与式”专题命题之中，是评价育人效果的重要方面.

关键词：数式通性;中考试题;核心素养

以发展学生核心素养为导向，有效落实《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《标准》）基本理念，是教学与评价的共同目标. 2021年全国各地中考试题“数与式”相关内容的设计，更加关注用字母表述代数式及代数式的运算，强调字母可以像数一样进行运算和推理，突出通过字母运算和推理所获得的结论具有一般性的特征，进一步体现了基于“数系扩充”和“用字母表示数”之后运算法则的一致性. 现围绕“数与式”，结合《标准》的要求，在对全国各地相关中考试题设计整体分析的基础上，主要从命题的基本指向“理解概念的数学表达”“掌握运算的基本规则”“养成良好的思维习惯”，以及“弘扬中国的优秀文化”四个方面，针对典型试题的命题思路进行分析，并提供模拟试题.

一、试题设计整体分析

数与代数是数学知识体系的基础之一，是学生认知数量关系、探索数学规律、建立数学模型的基石;可以帮助学生从数量关系的角度，清晰准确地认识、理解和表达现实世界.《标准》将“数与代数”课程内容分为三部分：数与式、方程与不等式、函数. 其中，“数与式”是代数的基本语言，包括有理数、实数和代数式.

从2021年全国各地中考试题来看，各地普遍从不同侧面、不同角度对“数与式”知识内容进行了比较全面、系统的考查. 可以看到，大部分试题考查了对负数、有理数和实数的理解，以体现数系的扩充;考查了实数与数轴上的点一一对应，以初步感受数形结合的研究方法;考查了对整式、分式、二次根式的理解，以体现用字母或符号表达数量及其关系的过程;考查了代数式的运算，以及对运算对象和算理的理解水平和程度，整体考查了学生的抽象能力、运算能力和推理能力. 当然，还有许多综合性的问题，在数与式的基础上，进一步涉及方程、不等式、函数等相关内容，均不在本文讨论的范围之内.

数与式，作为“数与代数”课程内容的基础，在2021年全国约130套中考数学试卷中，所占比例适中，绝大多数试卷中占总分值的15%左右，北京卷、广东卷、浙江金华卷、江苏苏州卷、湖南邵阳卷、福建宁德卷、甘肃定西（武威）卷等试卷所占总分值的比例较高，河北卷、湖北武汉卷等试卷所占总分值的比例较低. 题型方面，主要是选择题和填空题，或者解答题的前两小题;题量方面，大多数试卷设计5道题目左右，浙江宁波卷、江苏南京卷和盐城卷、广西玉林卷、湖北恩施卷、湖南常德卷和衡阳卷、四川广元卷和达州卷等试卷均设计了6道或6道以上题目;难度方面，以基础题为主，难题很少，重庆卷（A卷、B卷）和四川凉山州卷，题目的设计有一定的难度，以倒数第2题的形式呈现.

二、试题设计思路分析

2021年全国各地中考试题，在立足基础强化数与式之间的内在联系、注重类比体现共同的运算规则、数式通性呈现一致性地解决问题的思维方式三个方面，均呈现了很好的设计效果. 同时，试题背景或素材的选取根植于中国的优秀文化，将课程育人的内容自然融入，有效彰显了数学学科的教育价值.

1. 立足基础，理解概念的数学表达，强化联系

（1）理解“数”的意义及数学表达形式.

通过对负数、有理数和实数的认识，感悟数是对数量的抽象，知道绝对值是对数量大小和线段长度的表达，进而体会实数与数轴上的点一一对应的数形结合的意义，是理解“数”的意义及数学表达的基础.

例1 （四川·乐山卷）如果规定收入为正，那么支出为负，收入2元记作+2元，支出5元记作（    ）.

（A）5元 （B）[-]5元

（C）[-]3元 （D）7元

设计思路分析：负数是对从现实世界到数学研究对象的提炼的结果，本质上体现了数学抽象的过程. 此题规定“收入为正”，有“收入2元记作 + 2元”，这里的“+”表示数的性质. 这样“支出为负”时，用“[-]”表示数的性质，“支出5元”就可以记作“[-]5元”. 故选B.

此题依托学生现实生活的经验，考查对负数概念的理解，是命制与负数概念相关的试题时常用的方法.

例2 （海南卷）实数-5的相反数是（    ）.

（A）5 （B）-5

（C）±5 （D） [15]

设计思路分析：此题主要考查“相反数”的概念，在任意一个数前面添上“[-]”，新的数就表示原数的相反数，即-（-5） = +5，故选A.

相反数和绝对值是继负数之后，借助“数轴”这個工具，从数形结合观点出发进行研究的. 类似地，直接设计为“求一个数的相反数”的试题，还有重庆卷、江西卷、山东临沂卷、江苏连云港卷、浙江衢州卷、湖北随州卷和武汉卷、四川泸州卷和眉山卷等试卷，且均作为第1题，需要熟知“一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数”.

直接设计为“求一个数的绝对值”的试题，有河南卷、江苏盐城卷、浙江湖州卷和宁波卷、四川遂宁卷和凉山州卷等试卷中，也均作为第1题，主要考查了“一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数”.

例3 （北京卷）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图1所示，下列结论中正确的是（    ）.

（A）a > -2 （B） [a]> b

（C）a + b > 0 （D）b[-]a < 0

设计思路分析：借助数轴，可以比较两个数的大小. 由实数a，b在数轴上的对应点的位置，可以得到“对应点”与原点的距离，显然负数a与原点的距离大于正数b与原点的距离，结合绝对值的概念，选项B正确.

将负数、相反数、绝对值的概念与数轴的概念联系起来，在理解概念的基础上，借助数轴的直观表达方式，考查比较两个数大小的方法，是命制这类问题的一个重要方面.

类似地，还有青海卷第1题考查负数[-213]在数轴上对应点的位置. 另外，福建宁德卷第6题设计的[5-1]、四川达州卷第3题设计的[2+1]，均讨论了在数轴上对应点的位置问题，体现了实数与数轴上的点一一对应的特征.

（2）理解“式”是用字母表示数的结果.

用字母可以表示数. 用含有字母的式子所表示的问题中的数量关系，较数与数之间的关系，更具有一般性.

例4 （青海卷）一个两位数，它的十位数字是x，个位数字是y，那么这个两位数是（    ）.

（A）x + y （B）10xy

（C）10（x + y） （D）10x + y

设计思路分析：用字母x表示十位数字，用字母y表示个位数字，按照两位数的特点，得到这个数是10x + y，故选D.

这里，考查能够合理运用“用字母表示数”这种符号化的表达方式是命题的重点，式子10x + y具有两位数的一般特点.

例5 （上海卷）下列单项式中，a2b3的同类项是（    ）.

（A）a3b2 （B）3a2b3

（C）a2b （D）ab3

设计思路分析：关于“式”的讨论，单项式、同类项都是重要的概念，对单项式中所含有的“字母”及其次数的理解，是判断是否为同类项的关键. 这里，单项式a2b3中，a的指数是2，b的指数是3，与选项B中的单项式3a2b3是一致的，故选B.

同类项的概念，为后续研究代数式的运算奠定了基础，是命制这类问题经常用到的.

2. 注重类比，掌握运算的基本规则，同向同行

（1）明确“运算”的基本规则具有一致性的特点.

在数与代数领域，有理数及其运算是一切运算系统的基础，将其他运算的对象和数做类比，我们就可以得到很多方法上的启示. 数有整数、分数、指数幂等，与之相对应，式就有整式、分式、根式等，也正是由于式与数有着类似的形式，它们才具有类似的性质和运算. 考查与“式”有关的运算问题，其中重要的一个方面就是“式在运算中的不变性”.

例6 （山西卷）计算-2 + 8的结果是（    ）.

（A）-6 （B）6

（C）-10 （D）10

设计思路分析：引入一种新的数，就要研究相应的运算. 引入负数，将数系扩充为有理数，需要学生明确其运算法则和运算律，体会原有的运算律在新的数系中得以保持. 其核心就是将与负数有关的運算，借助绝对值转化为正数之间的运算.

类似地，陕西卷的第1题是关于有理数的乘法运算，浙江温州卷的第1题是关于有理数的乘方运算，甘肃武威卷的第3题是关于实数的加、减、乘、除的运算等.

例7 （新疆兵团卷）计算：[2-10+-3-273+][-12 021].

设计思路分析：数系扩充之后，还需要解决更多运算问题，如乘方、开方运算，二次根式的加、减、乘、除运算，等等. 此题考查了有理数的乘方、零指数幂、开三次方和绝对值的性质，理解相关概念的意义是关键.

类似地，还有上海卷第19题、福建卷第17题、江西卷第13题、四川自贡卷第19题、江苏连云港卷第17题和盐城卷第17题. 与特殊角的三角函数值相结合，设计为综合运算问题的，有云南卷第15题、湖北黄冈卷第17题、湖南怀化卷第17题、江苏无锡卷第19题、四川泸州卷第17题、浙江金华卷第17题、广西玉林卷第19题等.

例8 （广西·玉林卷）下列计算正确的是（    ）.

（A） [a5+a5=a10] （B） [-3a-b=-3a-3b]

（C） [mn-3=mn-3] （D） [a6÷a2=a4]

设计思路分析：“式”中的字母表示数，这使得式的运算与数的运算具有一致性特点，式的运算更具有一般性. 因此，命制关于式的运算问题，对于理解运算和运算律具有更加普遍的意义. 此题涉及整式加、减运算的合并同类项和去括号的法则，涉及积的乘方、负整数指数幂运算法则和同底数幂的除法法则，理解相关概念及运算法则是关键.

考查这类问题，在2021年全国各地中考试卷中是很多的，如安徽卷第3题和浙江丽水卷第2题考查同底数幂的乘法法则，重庆A卷第2题和上海卷第7题考查同底数幂的除法法则. 类似地，还有陕西卷第3题、四川资阳卷第2题、湖南衡阳卷第4题、浙江台州卷第4题和山东临沂卷第3题等.

例9 （广东卷）设6[-][10]的整数部分为a，小数部分为b，则[2a+10b]的值是（    ）.

（A）6 （B） [210]

（C）12 （D） [910]

设计思路分析：此题将用有理数估计一个无理数的大致范围、用字母表示数、数的运算及式的运算完美结合起来. 由[3<10<4]，得a = 2，b =[4-10]. 于是[2a+10b][=4+104-10=6]. 这里的“估算”起到了重要的作用，估算是运算能力的特征之一，估算的科学、合理及是否符合逻辑，估算的结果是否最接近于实际情形，均是解决相关问题的重点. 此题所设计的从估算[10]的大小到确定a，b的值，从式的运算到数的运算，在全国各地众多中考试题中，成为考查数与式运算的亮点.

（2）明确利用“运算”可简化代数式和代数关系.

根据一定的数学概念、法则和定理，由一些已知量通过计算得出确定结果的过程，称为运算. 运算的结果使原有的代数式和代数关系的呈现更加简捷.在实施运算的过程中，由于式子中含有多个“数量”或“表示数量的字母”，各量之间相互联系，相互制约，又相辅相成，需要有不同的处理路径和方法，需要比较，并择优选用.

例10 （江苏·苏州卷）先化简，再求值：[1+1x-1 · x2-1x]，其中[x=3-1].

设计思路分析：此题涉及分式的概念、基本性质、约分与通分等，与分数的概念、基本性质、约分与通分等相对应，因此解决分式的有关问题，同样需要类比分数的方法获得.显然，这里赋予字母[x]的值较为复杂，直接将[x=3-1]代入原式，关于数的运算非常烦琐. 如果先对式子进行化简，将含有字母[x]的关系简化为[x+1]，再代入数值，运算得以优化.

类似地，考查“先化简，再求值”的还有青海卷第21题、江苏盐城卷第19题、浙江金华卷第18题、福建宁德卷第19题、山东聊城卷第18题、湖南怀化卷第18題、湖南长沙卷第18题、甘肃武威卷第20题、新疆兵团卷第17题、四川成都卷第16题和广安卷第18题等.

另外，同样属于“先化简，再求值”，山东菏泽卷第16题，要求化简的式子是[1+m-nm-2n÷n2-m2m2-4mn+4n2，]

其中含有两个字母m，n满足[m3=-n2]，解决的关键仍是先利用分式的约分和通分，将式子化简为[3nm+n]，再将m，n所满足的式子变形为[m=-32n]，代入即可. 可见，在简化式子各量之间关系的过程中，运算起到了重要作用.

例11 （福建卷）已知非0实数x，y满足[y=xx+1]，则[x-y+3xyxy]的值等于      .

设计思路分析：此题没有给出字母x，y所代表的具体的数值，而是以满足[y=xx+1]的形式予以呈现，要求[x-y+3xyxy]的值. 如果将含有字母x表示y的式子[y=xx+1]直接代入，得到[x-xx+1+3x · xx+1x · xx+1]，运算将非常烦琐. 考虑先将[x-y+3xyxy]化简，可得[x-yxy+3];再将[y=xx+1]变形，得[xy=x-y]，即[x-yxy=1];最后代入时，则非常简捷.

像这样，通过适当的变形，建立式子之间的联系，选择合理的运算方法，也是命制关于代数式化简的中考试题时经常用到的.

类似地，有江苏苏州卷第15题、四川自贡卷第7题和南充卷第14题等.

例12 （浙江·丽水卷）如图2，数学活动课上，小云和小王在讨论张老师出示的一道代数式求值问题：

结合他们的对话，试解答下列问题：

（1）当a = b时，a的值是       .

（2）当a≠b时，代数式[ba+ab]的值是       .

设计思路分析：此题设置了数学活动课上的一个问题情境，讨论关于代数式求值的问题. 字母可以表示数，不同的字母也可以表示同一个数，情境中的问题很好地考查了对字母含义的理解.

第（1）小题，实数a，b表示同一个数时，显然容易得出结果;第（2）小题，当a ≠ b时，需要考虑实数a，b满足的其他条件，这里设置了“a2 + 2a = b + 2，b2 + 2b = a + 2”，两式相减，化简后，可得[a+b ·][a-b=][-3a-b]. 进而得到实数a，b之间的关系，代入即可. 这里，通过适当的运算，合理简化实数a，b之间的代数关系是关键.

类似地，还有浙江台州卷第8题、四川凉山州卷第19题.

另外，四川乐山卷第19题，需要将式子[Ax-1-][B2-x=2x-6x-1x-2]进行变形，但对运算能力的要求较高，不仅需要熟练地运用分式、整式的运算对式子进行化简，还需要结合二元一次方程组的知识，以及对式子中字母的含义、分式的意义的理解. 将数与式的相关问题，同数与代数学习领域的内容相结合，共同处理含有字母的式子，运算方法的选择尤为重要.

3. 数式通性，养成良好的思维习惯，培育素养

（1）知道“数与式”能够表达问题中的数量关系.

数与式，是对现实生活中的量及其关系的数学表达，是通过符号运算和形式推理表达现实世界中事物的本质、关系与规律的重要载体.

例13 （天津卷）据2021年5月12日《天津日报》报道，第七次全国人口普查数据公布，普查结果显示，全国人口共[141 178]万人.将[141 178]用科学记数法表示应为（    ）.

（A） [0.141 178×106] （B） [1.411 78×105]

（C） [14.117 8×104] （D） [141.178×103]

设计思路分析：用科学记数法表示数值较大的数，不仅能让学生体会数学的简约之美，也让学生感受数学知识广泛应用于社会生产和日常生活的各个方面，激发学生学习数学的兴趣和积极性，增强学好数学的信心和决心. 科学记数法的表示形式为a × 10n，其中的关键是确定a，n的值，应满足1 ≤[a]< 10，n为整数.

类似地，以“第七次全国人口普查数据”为素材的，还有青海卷第10题、江西卷第7题、浙江温州卷第3题、湖北恩施卷第2题、湖南长沙卷第2题等.

另外，2021年全国各地的中考试题，众多地区涉及了科学记数法的表示方法，数据所依托的背景，均紧跟时代发展步伐，反映新时代中国特色社会主义建设新成就，积极宣扬了我国各领域所取得的科技新成果. 例如，北京卷第10题的“教育扶贫专项补助资金”、福建宁德卷第3题的“脱贫攻坚”、湖南邵阳卷第6题的“倡导节约用水”、黑龙江龙东卷第11题的“中国铁路营业里程”等. 又如，以“天问一号探测器成功着陆火星”为背景，选取地球到火星的最近距离的数据作为考查对象的，有山东临沂卷第2题、四川成都卷第3题、湖北黄冈卷第2题、江苏无锡卷第12题、浙江嘉兴卷第1题等.

例14 （湖南·怀化卷）观察等式：2 + 22 = 23 - 2，2 + 22 + 23 = 24 - 2，2 + 22 + 23 + 24 = 25 - 2，…，已知按一定规律排列的一组数：2100，2101，2102，…，2199，若2100 = m，用含m的代数式表示这组数的和是       .

设计思路分析：此题需要观察已知等式中数量之间的关系，并探求所形成的数量之和的规律. 考虑这组数：2100，2101，2102，…，2199的和，可以写成（2 + 22 + 23 + … + 2199） - （2 + 22 + 23 + … + 299），按照已知的系列等式形成的规律，得2 + 22 + 23 + … + 2199 = 2200 - 2，2 + 22 + 23 + … + 299 = 2100 - 2，这里的2200与2100相关，只要附加2100 = m，原式即可表示为含有m的式子m2 - m.

寻求合理的方式，构建已知与未知数量之间的联系，并用含有字母的式子表达已知数量之间所存在的規律，是解决这类问题的关键. 例如，云南卷第6题，通过观察单项式a2，4a3，9a4，16a5，25a6，…所形成的规律，要求写出第n个单项式;浙江嘉兴卷第13题，通过观察系列等式：1 = 12 - 02，3 = 22 - 12，5 = 32 - 22，…，要求写出按此规律的第n个等式2n - 1的式子n2 - （n - 1）2. 类似地，还有青海卷第20题和四川眉山卷第17题.

另外，通过观察某些图形所形成的特点，按照具体图形之间的联系，得出运算规律，进而解决与图形有关的问题，有江苏扬州卷第18题的“黑色圆点的个数”、湖北恩施卷第16题的“五边形数”和四川凉山州卷第17题的“火柴棍拼图”等.

（2）知道“数与式”能够解决新定义的数学问题.

面对新定义的数学问题，能够从中概括出一般的结论，在数与式、特殊与一般之间相互转化，共同形成解决问题的方法与策略，受到越来越多命题者的青睐.

例15 （湖南·常德卷）阅读理解：如果一个正整数m能表示为两个正整数a，b的平方和，即m = a2 + b2，那么称m为广义勾股数，则下面的四个结论：① 7不是广义勾股数;② 13是广义勾股数;③ 两个广义勾股数的和是广义勾股数;④ 两个广义勾股数的积是广义勾股数. 依次正确的是（  ）.

（A）②④ （B）①②④

（C）①② （D）①④

设计思路分析：此题将满足条件m = a2 + b2的正整数m定义为广义勾股数，要求在新定义的条件下进行相关结论的判断. 结论①和结论②涉及具体的数值，由于7不能写成两个正整数的平方和，13可以写成22 + 32，满足广义勾股数的定义，结论②正确;结论③和结论④，需要借助表示数值的字母，设两个广义勾股数为m = a2 + b2，n = c2 + d2，则m + n = a2 + b2 + c2 + d2，显然不一定是广义勾股数，结论③错误，因为m[∙]n = （a2 + b2）（c2 + d2） = a2c2 + b2c2 + a2d2 + b2d2 = （ac + bd）2 + （ad[-]bc）2，满足广义勾股数的定义，结论④正确.

这里，借助数及用字母表示的式子，将新定义的广义勾股数进行表达，再借助数与式的运算进行必要的推理，体现了数与式之间彼此交融、息息相关的本质特征.

例16 （四川·凉山州卷）阅读以下材料，苏格兰数学家纳皮尔（J.Npler，1550-1617）是对数的创始人，他发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（Euler，1707-1783）才发现指数与对数之间的联系.

对数的定义：一般地，若[ax=N]（[a>0]，且[a≠1]），那么x叫做以a为底N的对数，记作[x=logaN]. 例如，指数式[24=16]可以转化为对数式[4=log216]，对数式[2=log39]可以转化为指数式[32=9]. 我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：

[logaM ⋅ N=logaM+logaNa>0，a≠1，M>0，N>0.]

理由如下：

设[logaM=m，logaN=n]，则[M=am，N=an].

所以[M ∙ N=am ∙ an=am+n].

由对数的定义，得[m+n=logaM∙N].

又因为[m+n=logaM+logaN]，

所以[logaM ∙ N=logaM+logaN].

根据上述材料，结合你所学的知识，解答下列问题：

（1）填空：①[log232=]___________;②[log327=]_______;③[log7l =]________.

（2）求证：[logaMN=logaM-logaN][a>0，a≠1，][M>0，N>0].

（3）拓展运用：计算[log5125+log56-log530.]

设计思路分析：此题设置了阅读材料，基于“指数”给出新的定义“对数”，并讨论了对数的性质及其应用.

第（1）小题根据新的定义，可以模仿阅读材料中“对数式”与“指数式”之间的相互转化，由[25=32，]得[log232=5]. 同理得[log327=3]，[log7l =0]. 体会新定义中的字母可以表示任意数. 第（2）小题根据新定义所得到的两数相乘的对数的性质及推理过程，完成两数相除的对数的性质及推理，能够运用对数的定义，结合同底数幂的除法，用字母表达“对数式”与“指数式”的关系，并合理选用运算法则对式子进行化简是解决问题的关键. 第（3）小题是对数性质的应用，从对数运算的字母表达，转化为具体数值的对数运算的问题，可以将loga（M · N） = logaM + logaN和loga[MN]= logaM - logaN逆用，所求式子表示为[log5125×630]即可.

此题，从新定义的“对数”出发，参照两数相乘的对数性质的推导过程得出两数相除的对数性质，到综合运用对数的定义和性质解决相关的运算问题，理解其中的字母与数值、指数与对数、特殊与一般之间的关系及其相互转化，尤为重要.

例17 （重庆A卷）如果一个自然数[M]的个位数字不为[0]，且能分解成[A×B]，其中A与[B]都是两位数，A与[B]的十位数字相同，个位数字之和为[10]，则称数[M]为“合和数”，并把数[M]分解成[M=A×B]的过程，称为“合分解”.

例如，因为[609=21×29]，[21]和[29]的十位数字相同，个位数字之和为[10]，所以[609]是“合和数”.

又如，因为[234=18×13]，18和13的十位数相同，但个位数字之和不等于[10]，所以[234]不是“合和数”.

（1）判断[168]，[621]是否是“合和数”？并说明理由.

（2）把一个四位“合和数”[M]进行“合分解”，即[M=A×B.] A的各个数位数字之和与[B]的各个数位数字之和的和记为[PM];A的各个数位数字之和与[B]的各个数位数字之和的差的绝对值记为[QM]. 令[GM=][PMQM]，当[GM]能被[4]整除时，求出所有满足条件的[M].

设计思路分析：此题定义了新数“合和数”，赋予字母[M]，A，[B]新的含义. 可使用字母表达这样的含义，即[M=A×B，] [A=10m+n，] [B=10m+10-n，] [m，] [n]为自然数，且[1≤m≤9，] [1≤n≤9]. 题设条件中给出“例如”，以举例子的方式，呈现文字所描述的“合和数”的特点，有利于对新数的理解.

第（1）小题可直接依据“合和数”的定义，由[168=12×14]，这里[2+4≠10]，所以[168]不是“合和数”，由[621=23×27]，23与27的十位数字相同，且个位数字3 + 7 = 10，[621]是“合和数”. 事实上，对于[M=A×B=10m+n10m+10-n]，可得对于任意1至9的自然數[m，] [n，] 所构成的新数[100mm+1+n10-n]一定是“合和数”，于是当[m]= 2，[n]= 3时，得到的数621即为“合和数”，按照这个特点，可命制出许多符合条件的“合和数”. 可见，用字母可以表达符合某种特定条件的一系列的数，再借助用字母表达的式子的运算，能得到一般性的结论.

第（2）小题对学生的能力要求较高，应基于字母M，A，B的含义，用含有m，n的式子将[PM]，[QM，][GM]表达出来，得[PM=2m+10，] [QM=2n-10]. 于是[GM=m+5n-5]. 这里，只要讨论m，n所对应的自然数满足运算的结果能被4整除就可以了，显然[m]= 3或7，再对应得出[n]的值. 所以，满足条件的[M]有四个：[1 224]，[1 221]，[5 624]，[5 616].

此题涉及新定义的数学问题，理解“合和数”的定义，用字母表达新数及其构成的规律，并综合运用数与式的运算予以解决，进一步揭示了数式通性，运算具有一致性的代数特征.类似地，以新定义的方式，重庆B卷第24题设置了“共生数”，甘肃武威卷第9题设置了“相随数对”，同样需要在新定义情境下，运用相关运算解决问题.能够根据题目条件寻求正确的运算途径，是分析、解决这类问题的关键.

4. 立德树人，弘扬中华优秀文化，美美与共

（1）根植于中华优秀文化.

中国古代数学达到了很高的造诣. 例如，三国时期的刘徽，所著的《九章算术注》和《海岛算经》是中国古代最为宝贵的数学宝藏;南北朝时期的祖冲之继刘徽之后，将圆周率成功推算至小数点后七位，这个计算结果比欧洲早一千多年;等等. 以此作为中考命题的素材，在考查数与式相关内容的基础上，可有效激发学生的爱国情怀，增强民族自信心和自豪感.根植于中国古代的优秀文化，传承优秀的数学教育思想，呈现基于数的运算及其规律的探究，为众多命题者所采用.

例18 （江西卷）图3在我国宋朝数学家杨辉1261年的著作《详解九章算法》中提到过，因而人们把这个表叫做杨辉三角，试根据杨辉三角的规律补全表第四行空缺的数字是        .

设计思路分析：此题选取我国宋朝数学家杨辉1261年的著作《详解九章算法》中的“杨辉三角”为素材，观察发现，图中的数字排列成一个大三角形，位于两腰上的数字均是1，其余数字均等于它上面两数字之和，观察、发现、应用是此题设计的出发点，也是思考数学问题的重要方面.

事实上，这个大三角形还可以用来开方和解方程，而且与组合、高阶等差级数等数学知识有密切的关系，极大地丰富了我国古代数学宝库，为数学科学做出了卓越的贡献.

例19 （湖北·随州卷）2021年5月7日，《科学》杂志发布了我国成功研制出可编程超导量子计算机“祖冲之”号的相关研究成果. 祖冲之是我国南北朝时期杰出的数学家，他是第一个将圆周率π精确到小数点后第七位的人，他给出π的两个分数形式：[227]（约率）和[355113]（密率）.同时期，数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数x的不足近似值和过剩近似值分别为[ba]和[dc]（即有[ba]< x <[dc]，其中a，b，c，d为正整数），则[b+da+c]是x的更为精确的近似值. 例如，已知[15750]< π <[227]，则利用一次“调日法”后可得到π的一个更为精确的近似分数为[157+2250+7=17957];由于[17957]≈ 3.140 4 < π，再由[17957]< π <[227]，可以再次使用“调日法”得到π的更为精确的近似分数……现已知[75]<[2]<[32]，则使用两次“调日法”可得到[2]的近似分数为         .

设计思路分析：此题依托经典，通过介绍利用“调日法”得到π的更为精确的近似分数的方法，给出[2]的不足近似值和过剩近似值分别为[75]和[32]，要求使用两次“调日法”求[2]的近似分数.

此题源于中国古代研究的成就，用含有字母的式子表示程序化寻求精确分数来表示数值的算法“调日法”，从[ba]< x <[dc]，到[b+da+c]能表示x的更为精确的近似值，到可以再次使用“调日法”，实现逐步接近x的更为精确的近似值的效果，完美呈现了中国古代数学家的研究方法与智慧，成为这类试题设计的亮点.

此外，江苏盐城卷第22题，也是选取圆周率π作为题目的素材，指出：历史上，祖冲之、刘徽、韦达、欧拉等数学家都对π有过深入的研究. 目前，超级计算机已计算出π的小数部分超过31.4万亿位. 所不同的是，题目进一步设计为与概率内容相结合的綜合性问题.

（2）落实立德树人根本任务.

通过数学学科内容的教学与评价，落实立德树人根本任务，是命制中考试题必须遵循的重要指导思想. 需要以数学学科内容为载体，体现作为一门科学的数学所表现出来的文化特征及应用价值，帮助学生感受到数学的美好，形成解决数学问题的一般策略和方法.

例20 （湖北·黄冈卷）人们把[5-12]这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚的优选法中的[0.618]法就应用了黄金分割数. 设[a=5-12]，[b=5+12]，得[ab=1]. 记[S1=11+a+11+b]，[S2=11+a2+11+b2]，…，

[S10=11+a10+11+b10]. 则[S1+S2+…+S10=]_________.

设计思路分析：黄金分割是几何中的一个著名问题. 此题以我国著名数学家华罗庚的优选法中的[0.618]法应用了黄金分割数作为背景，将人们熟知的黄金分割数[5-12]作为切入点，赋予了字母a，b的含义及关系，进而通过构造一系列有规律的含有a，b的式子，讨论这些式子的和. 这里，[S1]，[S2]，…，[S10]所含有的a，b的式子具有相同的结构，由[S1=11+a+11+b]，根据分式运算法则，得[11+a+11+b=1+b+1+a1+a1+b=][2+a+b1+a+b+ab]. 又由[ab=1]，易得[S1=1]. 注意到，在保持[ab=1]的情况下，运算过程中a，b的指数对于运算结果并没有产生影响，即[11+ai+11+bi=1+bi+1+ai1+ai1+bi=][2+ai+bi1+ai+bi+abi]，i可以是任意数，因此[Si=1]恒成立. 此题仅要求[S1]至[S10]的和，所以[S1+S2+…+ S10=10].

解决此题的关键，是根据式子构成的特点，且算且看，不盲目陷入式子的繁杂运算之中，这需要仔细的观察、有逻辑的思考，以及合理使用题目中的已知条件. 同时，题目冠以极具美感的黄金分割数，在代数运算中，感受式子的简约、对称、相似之美，体会运算结果与初始条件的本质关联，将有助于学生养成良好的思考、分析问题的习惯，有助于数学素养的形成和发展.

三、模拟题

1. 2021年5月15日7时18分，天问一号着陆巡视器成功着陆于火星，我国首次火星探测任务着陆火星取得圆满成功. 探测器距离地球约3.2亿千米. 将3.2亿用科学记数法表示应为（    ）.

（A） [32×106] （B） [32×107]

（C） [3.2×107] （D） [3.2×108]

答案：D.

【提示】先将3.2亿写成[320 000 000]，再用科学记数法表示为形如a × 10n的式子，其中a，n的值应满足1 ≤ [a]< 10，n为整数.

2. 在数轴上表示实数a，b的点的位置如图4所示，有以下结论：①[a+b<0;] ②[a-b<0;] ③[ab>0;]④[ab<1]. 则正确结论的个数是（    ）.

（A）1个 （B）2个

（C）3个 （D）4个

答案：C.

【提示】观察数轴，得[a<b<0]. 显然，结论①②③正确. 取[a=-2]，[b=-1]，则[ab=2]，与[ab<1]矛盾，结论④不正确.

3. 已知[M=b+ca]，[N=a+cb]，[P=a+bc]，其中a，b，c满足[a>0>b>c]，且[a+b+c=1]，则M，N，P的大小关系是（    ）.

（A） [M<N<P] （B） [N<P<M]

（C） [M<P<N] （D） [P<N<M]

答案：B.

【提示】观察式子的特点，有[M+1=a+b+ca]，[N+1=a+b+cb]，[P+1=a+b+cc]. 因为[a>0>b>c]，得[1b<1c<1a]. 结合[a+b+c=1]，即可得解.

4. 定义新运算：对于任意实数a，b（其中[a≠0]），都有[a⊗b=a-ba-1a]，等式右边是通常的加法、减法及除法运算. 例如，[2⊗3=2-32-12=-1]. 则[-2⊗3]的值为        .

答案：3.

【提示】依据新定义的运算规则，有[-2⊗3=][-2-3-2-1-2=52+12=3].

5. 如图5，用[n]个边长为2a和a的小平行四边形拼成一个大平行四边形，若[n=2 022]，则用含有a的式子表示所拼成的一个大平行四边形的周长为      .

答案：8 090a.

【提示】按照图5，拼成一个大平行四边形的方法，所拼成的一个大平行四边形的周长[ln]与a有关. 当[n=1]时，周长[l1=6a];当[n=2]时，周长[l2=10a];当[n=3]时，周长[l3=14a];当[n=4]时，周长[l4=18a];…. 可得周长[ln=4n+2a]，代入[n=2 022]即可.

6. 先化简，再求值：[m-32m-4÷5m-2-m-2]，其中[m=6-3].

答案：[-612].

【提示】此题应先进行分式的化简，将括号内的式子通分，经过因式分解、约分后，得原式 =[-12m+3]，再代入[m=6-3].

7. 数学活动课上，一位同学发现：[0×1×2×3+][1=1，] [1×2×3×4+1=25=52，] [2×3×4×5+1=121=112，]

[3×4×5×6+1=361=192]，…. 由此猜想：任意四个连续自然数的积加上1，一定是一个正整数的平方. 你认为他的猜想正确吗？说明理由.

答案：正确.

【提示】根据题意，设[n]为任意自然数，则四个连续自然数的积可表示为[nn+1n+2n+3]. 化简含有[n]的式子[nn+1n+2n+3+1]，可得[n2+3n+12].

综上，基于对2021年中考数学试题“数与式”专题的命题分析，可以看到数系扩充和用字母表示数是研究数与式的重要内容，感受到數与式是对现实世界中事物抽象的结果，是数学思考和数学表达的重要形式，是数学抽象能力、运算能力、推理能力的集中反映，将其有效融入命题之中，是评价育人效果的重要方面. 可以体会到，同向同行，数式通性，才会把握要领;各美其美，相辅相成，方能美美与共，真正契合代数发展的内在规律.

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部制定. 义务教育数学课程标准（2011年版）[M]. 北京：北京师范大学出版社，2012.

[2]教育部基础教育课程教材专家工作委员会.《义务教育数学课程标准（2011年版）》解读[M]. 北京：北京师范大学出版社，2012.

[3]刘金英. 聚焦核心  行稳致远：2020年中考数学试题“图形的性质”专题命题分析[J]. 中国数学教育（初中版），2021（1 / 2）：57-66.

[4]刘金英. 初中数学教学与评价的研究[M]. 沈阳：辽宁教育出版社，2020.