基础中关注素养 综合中凸显能力

周泽军 周静

摘  要：方程与不等式是“数与代数”的核心知识，是刻画现实世界数量关系的有效模型，在实际问题的解决中起着极其重要的“工具”作用. 结合2021年全国部分地区中考试卷中“方程与不等式”专题的相关内容，从试题分析、解法分析、解法赏析、思考启示四个方面进行解题分析.

关键词：方程与不等式;解题分析;中考数学;数学素养

方程与不等式是“数与代数”的核心知识，是刻画现实世界数量关系的有效模型，在实际问题的解决中起着极其重要的“工具”作用，一直是中考数学考查的重要内容. 2021年全国各地中考数学关于方程与不等式的试题很好地体现了立足“四基”“四能”的考查，关注在新的问题情境下，合理构建方程或不等式模型解决实际问题的能力和水平的考查. 符合《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《标准》）的基本理念与要求，指明了数学育人的发展方向. 现围绕“方程与不等式”专题，从试题分析、解法分析、解法赏析、思考启示四个方面进行解题分析.

一、试题分析

综观2021年全国各地中考数学“方程与不等式”的试题命制，遵循《标准》的要求，以“解”和“列”为支点，撬动对“四基”的考查;以“实际问题背景题”为支撑，促进数学思想与数学素养的提升，突出了试题的基础性、时代性和发展性.

1. 立足核心知识，注重基础考查

（1）考查基础知识与基本技能.

例1 （山东·聊城卷）关于x的方程x2 + 4kx + 2k2 = 4的一个解是-2，则k值为（    ）.

（A）2或4 （B）0或4

（C）-2或0 （D）-2或2

解析：此题考查了方程解的概念，能使方程左右两边相等的未知数的值是方程的解.

把x = -2代入方程x2 + 4kx + 2k2 = 4，得

4 - 8k + 2k2 = 4.

解得k1 = 0，k2 = 4.

故选B.

例2 （湖南·常德卷）若a > b，下列不等式不一定成立的是（  ）.

（A）a - 5 &gt; b - 5 （B）-5a < -5b

（C）[ac]>[bc] （D）a + c > b + c

解析：此题考查了不等式的性质，熟记不等式的三条性质是解题的关键.

选项A，由不等式的性质1，可知a - 5 > b - 5. 故选项A不符合题意.

选项B，由不等式的性质3，可知-5a < -5b. 故选项B不符合题意.

选项C，由不等式的性质2、性质3，可知当c > 0时，[ac>bc];当c < 0时，[ac<bc];当c = 0时，式子不成立. 故选项C符合题意.

选项D，由不等式的性质1，可知a + c > b + c. 故选项D不符合题意.

故选C.

例3 （湖南·怀化卷）对于一元二次方程2x2 - 3x + 4 = 0，则它的根的情况为（    ）.

（A）没有实数根

（B）两根之和是3

（C）两根之积是-2

（D）有两个不相等的实数根

解析：此题考查了一元二次方程根的判别式及根与系数的关系. 应注意：只有在一元二次方程有实数根的前提条件下，才能研究方程的根与系数的关系.

因为Δ = b2 - 4ac = -23 < 0，

所以一元二次方程2x2 - 3x + 4 = 0没有实数根.

故选A.

例4 （重庆B卷）不等式x > 5的解集在数轴上表示正确的是（  ）.

解析：此题考查了不等式的解集在数轴上的表示.

不等式x > 5的解集在数轴上表示為5右边的部分，不包括5.

故选A.

例5 （四川·泸州卷）关于x的不等式组[2x-3>0，x-2a<3]恰好有2个整数解，则实数a的取值范围是        .

解析：此题考查一元一次不等式组的整数解. 解题的关键是熟练掌握解不等式组，并根据不等式组的整数解个数得出关于a的不等式组.

解不等式组，得1.5 < x < 2a + 3.

根据“不等式组恰好有2个整数解”，可得

3 < 2a + 3 ≤ 4.

解得0 < a ≤ 0.5.

故填0 < a ≤ 0.5.

例6 （黑龙江·齐齐哈尔卷）若关于x的分式方程[3xx-1=m1-x+2]的解为正数，则m的取值范围是

.

解析：此题考查了解分式方程和解一元一次不等式. 需要注意的是，分式方程的解应使得分母不为0.

将原分式方程去分母，得3x = -m + 2（x - 1）.

去括号、移项、合并同类项，得x = -m - 2.

根据方程的解为正数，可得

-m - 2 > 0，且-m - 2 ≠ 1.

解得m < -2，且m ≠ -3.

故填m < -2，且m ≠ -3.

例7 （江苏·扬州卷）已知方程组[2x+y=7，x=y-1] 的解是关于x，y的方程ax + y = 4的一个解，求a的值.

解析：此题考查了二元一次方程组的解及二元一次方程的解的概念，方程组的解即为能使方程组中每个方程都成立的未知数的值.

解方程组，得[x=2，y=3.]

代入方程ax + y = 4，得2a + 3 = 4.

解得a =[12].

例8 （贵州·贵阳卷）有三个不等式2x + 3 < -1，

-5x > 15，3（x - 1） > 6，试在其中任选两个不等式，组成一个不等式组，并求出它的解集.

解析：此题考查了解一元一次不等式组，确定不等式组的解集可遵循的规律是：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小没有解.

第一种组合[2x+3<-1，-5x>15，] 解得x < -3.

第二种组合[2x+3<-1，3x-1>6，] 不等式組无解.

第三种组合[-5x>15，3x-1>6，] 不等式组无解.

答案不唯一，任选其中一种组合即可.

【评析】对方程与不等式的基础知识和基本技能的考查，主要涉及方程与不等式的概念、性质及解法，基本上是以直接考查为主要方式，各地中考试卷中以填空题或选择题出现居多，这种考法体现了对数学基础知识和基本技能的关注. 大多数试卷对这些考点是单独命题，如例2、例4、例5、例8，也有一些试卷将几个考点综合起来进行命题，如例1、例3、例6、例7，既有对方程与不等式多个概念、性质的考查，也有将概念、性质与解法结合起来进行考查. 各地中考试卷中对方程与不等式解法的直接考查还体现在计算题中，这一考查形式与往年相同，为常规基础题，难度与教材中的例题和习题相当. 由此可见，立足《标准》和教材，关注核心概念仍是中考命题的重点，对运算技能的考查必然要以基本概念和性质的理解为前提，在此基础上还应注意加强对运算过程的规范性书写，以及对运算方法的比较和选择.

（2）考查基本思想.

例9 （山东·菏泽卷）关于x的方程（k - 1）2x2 +（2k + 1）x + 1 = 0有实数根，则k的取值范围是（    ）.

（A）k >[14]，且k ≠ 1 （B）k ≥[14]，且k ≠ 1

（C）k >[14] （D）k ≥[14]

解析：此题的方程是一个含参数方程，二次项和一次项的系数都含有参数，参数的取值决定方程的类型，故有必要对k进行分类讨论.

当k - 1 ≠ 0，即k ≠ 1时，此方程为一元二次方程.

根据Δ ≥ 0，解得k ≥[14];

当k - 1 = 0，即k = 1时，此方程为一元一次方程3x + 1 = 0，显然有解.

综上，k的取值范围是k ≥[14].

故选D.

例10 （四川·宜宾卷）若m，n是一元二次方程x2 + 3x - 9 = 0的两个根，则m2 + 4m + n的值是（    ）.

（A）4       （B）5

（C）6 （D）12

解析：根据方程根的定义，得到m2 + 3m = 9.

再利用根与系数的关系，得到m + n = -3.

然后用整体代入的方法，可得m2 + 4m + n = 6.

解答此题的关键是将代数式m2 + 4m + n转化为式子m2 + 3m与m + n的和，实现知识之间的转化，考查了化归思想，以及整体代换的思想.

例11 （湖北·鄂州卷）数形结合是解决数学问题常用的思想方法. 如图1，直线y = 2x - 1与直线y =kx + b（k ≠ 0）相交于点P（2，3）. 根据图象可知，关于x的不等式2x - 1 > kx + b的解集是（    ）.

[图1][O][x][y][y = kx + b][y = 2x - 1][P（2，3）]

（A）x < 2 （B）x < 3

（C）x > 2 （D）x > 3

解析：此题主要考查数形结合思想.

以两个函数图象的交点分界，观察图象可知，当直线y = kx + b（k ≠ 0）在直线y = 2x - 1下方时，即2x - 1 > kx + b，x的取值范围是x > 2.

故选C.

例12 （山东·临沂卷）某工厂生产A，B两种型号的扫地机器人. B型机器人比A型机器人每小时的清扫面积多50%;清扫100 m2所用的时间A型机器人比B型机器人多用40分钟. 两种型号的扫地机器人每小时分别清扫多少面积？若设A型扫地机器人每小时清扫面积为x m2，根据题意可列方程为（    ）.

（A） [1000.5x=100x+23] （B） [1000.5x+23=100x]

（C） [100x+23=1001.5x] （D） [100x=1001.5x+23]

解析：若设A型扫地机器人每小时清扫面积为x m2，

则B型扫地机器人每小时清扫面积为（1 + 50%）x m2.

根据“清扫100 m2所用的时间A型机器人比B型机器人多用40分钟”可列方程[100x=1001.5x+23].

故选D.

此题主要考查由实际问题抽象出分式方程，体现了数学建模思想.

例13 （山西卷）2021年7月1日是建党100周年纪念日，在本月日历表上可以用一个方框圈出4个数（如图2），若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为65，求这个最小数（试用方程知识解答）.

解析：设这个最小数为x，

则最大数为（x + 8）.

根据“最小数与最大数的乘积为65”，

可得方程x（x + 8） = 65.

解得x1 = 5，x2 = -13.

取两个解中的正值，这个最小数为5.

此题考查了数学建模思想和方程思想.

【评析】方程与不等式涉及的数学思想主要有两个：一个是由实际问题抽象为方程或不等式这一过程中蕴含的数学建模思想;另一个是解方程或解不等式（组）的过程中蕴含的化归思想. 这两大数学思想是中考命题的考查重点，在各地中考试卷中所占比重较大.例如，例12、例13主要考查的就是数学建模的思想，在从实际问题抽象出数学模型时，应从分析问题中的数量关系入手，适当设定未知数，再利用数学语言将已知条件转化为数学模型——方程或不等式. 此外，中考试题对方程与不等式的考查还体现了一些其他数学思想. 例如，例9考查分类讨论的思想，例10在求代数式的值时涉及整体代换和化归的思想，例11考查数形结合的思想. 与上述例题类似的试题在各地中考试卷中出现频次较高.

（3）考查基本活动经验.

例14 （浙江·丽水卷）如图3，数学活动课上，小云和小王在讨论张老师出示的一道代数式求值问题：

[    已知实数a，b同时满足a2 + 2a = b + 2，b2 + 2b = a + 2，求代数式[ba+ab]的值. ]

<C：＼Users＼Administrator＼Desktop＼中数1-x＼Image＼a8899ebc7630623efff0a546f8e7fc9.png>[图3][    哈哈！a = b，结果为2][a，b不一定相等哦][小云][小王]

结合他们的对话，解答下列问题：

（1）当a = b时，a的值是______.

（2）当a ≠ b时，代数式[ba+ab]的值是______.

解析：（1）当a = b时，a2 + 2a = a + 2.

解得a = -2或a = 1.

（2）联立方程组[a2+2a=b+2，①b2+2b=a+2，②]

可得a + b = -3，a2 + b2 = 7，ab = 1.

故[ba+ab=b2+a2ab]= 7.

例15 （山西卷）（1）计算：[-14×-8+-23×][122].

（2）下面是小明同学解不等式的过程，认真阅读并完成相应任务.

[2x-13>3x-22-1].

解：2（2x - 1） > 3（3x - 2） - 6 ……第一步

4x - 2 > 9x - 6 - 6 ……第二步

4x - 9x > -6 - 6 + 2 ……第三步

-5x > -10 ……第四步

x > 2 ……第五步

任务1：填空：① 以上解题过程中，第二步是依据              （运算律）进行变形的;

② 第     步开始出现错误，这一步错误的原因是                         ;

任务2：直接写出该不等式的正确解集.

解析：（1）略.

（2）此题主要考查解一元一次不等式.

第二步是依据乘法分配律（运算律）进行变形的.

第五步开始出现错误，这一步错误的原因是不等式两边都除以-5，不等号的方向没有改变.

该不等式的正确解集是x < 2.

例16 （浙江·嘉兴卷）小敏与小霞两位同学解方程3（x - 3） = （x - 3）2的过程如下框：

[小敏：

两边同除以[x-3]，得

[3=x-3].

则[x=6]. 小霞：

移项，得

[3x-3-x-32=0].

提取公因式，得

[x-33-x-3=0].

则[x-3=0]或[3-x-3=0].

解得[x1=3]， [x2=0]. ]

你认为他们的解法是否正确？若正确，在框内打“√”;若错误，在框内打“×”，并写出你的解答过程.

解析：小敏：×;小霞：×. 正确的解答过程如下：

移项，得3（x - 3） - （x - 3）2 = 0.

提取公因式，得（x - 3）（3 - x + 3） = 0.

则x - 3 = 0或3 - x + 3 = 0.

解得x1 = 3，x2 = 6.

例17 （湖南·永州卷）若x1，x2是关于x的一元二次方程ax2 + bx + c = 0的两个根，则x1 + x2 =[-ba]，x1·x2 =[ca]. 现已知一元二次方程px2 + 2x + q = 0的两根分別为m，n.

（1）若m = 2，n = -4，求p，q的值;

（2）若p = 3，q = -1，求m + mn + n的值.

解析：（1）根据题意，得[2-4=-2p]，[2×-4=qp].

所以p = 1，q = -8.

（2）因为[m+n=-2p=-23]，[mn=qp=-13]，

所以[m+mn+n=m+n+mn=-23-13=-1].

【评析】上述例题通过数学问题引导学生在学习过程中感悟数学思想，积累数学活动经验. 例14模拟数学课堂场景，考查学生分析问题和解决问题的能力，通过小云、小王的对话提示学生分析问题时应注意思维的严密性，并结合第（1）小题和第（2）小题帮助学生理清思路. 例15、例16通过对“解答过程的纠错”考查学生的思辨思维. 通过此类问题的解答能反映出学生在日常学习中是否具有良好的纠错习惯和反思意识. 例17通过题干信息给出一元二次方程的根与系数的关系，再将这一知识应用到不同的问题解答中，考查学生对文字信息的阅读理解能力，以及对知识的迁移能力. 这些试题的考查形式让学生仿佛置身于真实的数学课堂，参与到真正的数学探究活动之中，联系到以往的活动经验，既考查了学生的能力、态度和习惯，又减轻了考试的压力.

2. 关注综合应用，聚焦关键能力

例18 （山东·日照卷）如图4，在矩形ABCD中，AB = 8 cm，AD = 12 cm，点P从点B出发，以2 cm / s的速度沿BC边向点C运动，到达点C停止. 同时，点Q从点C出发，以v cm / s的速度沿CD邊向点D运动，到达点D停止，规定其中一个动点停止运动时，另一个动点也随之停止运动. 当v为         时，△ABP与△PCQ全等.

[图4][B][A][C][D][Q][P]

解析：此题主要考查全等三角形的判定及方程思想.

设点P，Q的运动时间为t s，

△ABP与△PCQ全等可分为两种情况.

① △ABP ≌ △PCQ.

则需BP = CQ，AB = PC，可得方程2t = 4.

解得t = 2.

进而得到v = 2.

② △ABP ≌ △QCP.

则需BA = CQ，PB = PC，可得方程2t = 6.

解得t = 3.

进而得到v =[83].

综上，v = 2或v =[83].

故填2或[83].

例19 （江苏·扬州卷）如图5，在平面直角坐标系中，二次函数y = x2 + bx + c的图象与x轴交于点A（-1，0），B（3，0），与y轴交于点C.

（1）b =         ，c =         ;

（2）若点D在该二次函数的图象上，且S△ABD = 2S△ABC，求点D的坐标;

（3）若点P是该二次函数图象上位于x轴上方的一点，且S△APC = S△APB，直接写出点P的坐标.

解析：此题为二次函数与几何的综合题，考查了二次函数的图象及性质，以及图形与几何的相关知识，在三个问题的解答中都体现了方程思想.

第（1）小题是应用方程思想求解函数解析式，可得b = -2，c = -3.

第（2）小题先求出△ABC的面积，设点D的坐标为D（m，m2 - 2m - 3），再根据S△ABD = 2S△ABC列出方程，求得m = 1 +[10]或m = 1 -[10]. 进而得到点D的坐标为D（1 +[10]，6）或D（1 -[10]，6）.

第（3）小题分两种情况：点P在点A左侧，点P在点A右侧，再结合平行线之间的距离，可求得点P的坐标为P（4，5）.

【评析】数学学科的系统逻辑性决定了知识之间具有网状联系. 近年来各地中考常在知识的交会点处命题，考查学生理性思维的深度和广度，以及运用数学知识和思想方法解决问题的素养与能力. 例如，例18是方程思想在几何中的应用，例19是方程思想在函数中的应用. 类似地，还有方程思想在统计、概率中的应用等在各地中考试题中也多次出现. 由此可见，在日常教学中尤其是中考的复习备考中要注重数学知识网络的构建，多设计综合性问题，拓宽学生的思维，培养学生的阅读能力，以及分析问题和解决问题的能力.

3. 创新问题形式，发展学科素养

例20 （陕西卷）幻方，最早源于我国，古人称之为纵横图. 如图6所示的幻方中，各行、各列及各条对角线上的三个数字之和均相等，则图中a的值为      .

解析：此题以幻方为问题情境，考查一元一次方程的应用及求解.

根据“各行、各列及各条对角线上的三个数字之和均相等”，

可列方程-1 - 6 + 1 = 0 + a - 4，

解得a = -2.

故填-2.

例21 （湖北·十堰卷）对于任意实数a，b，定义一种运算：[a⊗b=a2+b2-ab]，若[x⊗x-1=3]，则x的值为________.

解析：此题为新定义题.

根据新定义的运算规则，将方程转化为常规方程x2 + （x - 1）2 - x（x - 1） = 3，

整理，得x2 - x - 2 = 0.

解得x1 = -1，x2 = 2.

故答案为-1或2.

例22 （四川·南充卷）已知关于x的一元二次方程x2 - （2k + 1）x + k2 + k = 0.

（1）求证：无论k取何值，方程都有两个不相等的实数根.

（2）如果方程的两个实数根为x1，x2，且k与[x1x2]都为整数，求k所有可能的值.

解析：此题考查一元二次方程根的判别式、解一元二次方程.

第（1）小题为常规题，可得Δ = 1 > 0.

进而可证出方程有两个不相等的实数根.

第（2）小题是一道探究题，需求出k的所有可能的整数值.

解答此题的关键是将[x1x2]转化为用k表示，转化的方法是求解方程，得两根分别为k和k + 1.

则[x1x2=1+1k]或[x1x2=1-1k+1].

根据“k与[x1x2]都为整数”，

可得整数k的所有可能值为±1，0，-2.

例23 （台湾卷）碳足迹标签是一种碳排放量的标示方式，让大众了解某一产品或服务所产生的碳排放量多寡，如图7所示.碳足迹标签的数据标示有其

规定，以碳排放量大于20公克，且不超过40公克为例，此范围内的碳足迹数据标示只有20，22，24，…，38，40公克等11个偶数;碳足迹数据标示决定于碳排放量与这11个偶数之中的哪一个差距最小，两者对应标示的范例如表1所示.

根据上述资讯，回答下列问题，并详细解释或完整写出你的解题过程.

（1）若有一个产品的碳足迹数据标示为38公克，则它可能的碳排放量之最小值与最大值分别为多少？

（2）承（1），当此产品的碳排放量减少为原本的90%时，试求出此产品碳足迹数据标示的所有可能情形.

解析：此题是一道开放性试题，考查了不等式的相关知识，将现实生活中的情境与数学思想联系起来，需要理解题目所给的信息，并分析出各个数量之间的关系.

第（1）小题根据题干中关键语句“碳足迹数据标示决定于碳排放量与这11个偶数之中的哪一个差距最小”，可得碳排放量之最小值与最大值分别为37.0公克和39.0公克.

第（2）小题由第（1）小题的最大值和最小值乘以90%，分别得到33.3公克和35.1公克. 进而求出此产品碳足迹数据标示的所有可能情形为34公克，36公克.

【评析】上述试题的设计不同于常规试题，它们大多创设一定情境，主要考查学生的数学应用能力，问题的情境可能是数学内部情境，如例20、例21、例22;也可能是实际生活情境，如例23. 此外，例22、例23開放式的问题设计打破了传统命题思维的束缚，需要学生自己探索解决问题的方法，相比封闭式问题而言，对学生的思维品质和学科能力有更高的要求.解答此类题的关键是仔细分析题目的文字信息，从问题情境中抽象出数学问题，根据关键语句建立数学模型，然后再求解即可.

二、解法分析

中考命题一般注重考查初中数学主干知识、核心内容. 在考查学生的数学基础知识与基本技能的同时，注重对数学思想方法和学科素养的渗透与提升. 2021年中考数学方程与不等式的命题很好地遵循了这一原则，这就要求教师在中考复习中要注重基础知识的巩固，帮助学生构建知识网络;立足基本技能的训练，凸显解题技能的培养;着眼数学素养的提升，强化综合运用的能力.

1. 夯实基础，强化技能

例24 （广东卷）二元一次方程组[x+2y=-2，2x+y=2] 的解为       .

解：[x+2y=-2 ，①2x+y=2   .      ②]

（方法1）由①，得[x=-2-2y]. ③

将③代入②，解得[y=-2].

把[y=-2]代入③，解得[x=2].

则方程组的解为[x=2 ，y=-2. ]

（方法2）由②，得[y=2-2x]. ③

将③代入①，解得[x=2].

把[x=2]代入③，解得[y=-2].

则方程组的解为[x=2， y=-2 .]

（方法3）① × 2，得[2x+4y=-4]. ③

③ - ②，解得[y=-2].

把[y=-2]代入①，解得[x=2].

则方程组的解为[x=2， y=-2. ]

（方法4）② × 2，得[4x+2y=4]. ③

③ - ①，解得[x=2].

把[x=2]代入②，解得[y=-2].

则方程组的解为[x=2， y=-2. ]

【评析】此题是中考试题中较为常见的基础计算题，解二元一次方程组的关键是灵活运用“代入消元”或“加减消元”的方法将二元一次方程组转化为一元一次方程求解. 数学运算能力是中考重点考查的能力之一，在日常教学中，教师可以通过“一题多法”的训练，帮助学生在理解算理的基础上提高运算能力.

例25 （重庆A卷）某工厂有甲、乙两个车间，甲车间生产A产品，乙车间生产B产品，去年两个车间生产产品的数量相同，且全部售出. 已知A产品的销售单价比B产品的销售单价高100元，1件A产品与1件B产品售价和为500元.

（1）A，B两种产品的销售单价分别是多少？

（2）随着5G时代的到来，工业互联网进入了快速发展时期. 今年，该工厂计划依托工业互联网将乙车间改造为专供用户定制B产品的生产车间. 预计A产品在售价不变的情况下产量将在去年的基础上增加a%;B产品产量将在去年的基础上减少a%，但B产品的销售单价将提高3a%. 则今年A，B两种产品全部售出后总销售额将在去年的基础上增加[2925a%.] 求a的值.

解析：（1）设B产品的销售单价为x元，则A产品的销售单价为（x + 100）元.

依题意，得x + 100 + x = 500.

解得x = 200.

所以x + 100 = 300.

答：A产品的销售单价为300元，B产品的销售单价为200元.

（2）设去年每个车间生产产品的数量为t件，

依題意，得300（1 + a%）t + 200（1 + 3a%）（1 - a%）t = 500t[1+2925a%].

设a% = m，则原方程可化简为5m2 - m = 0.

解得m1 =[15]，m2 = 0（不合题意，舍去）.

所以a = 20.

答：a的值为20.

【评析】此题考查一元一次方程和一元二次方程的实际应用，其中第（2）小题涉及增长率的计算，所列方程形式复杂，计算难度较大.近年来，各地中考试题都出现了类似的应用题，由于未知数带有百分号，化简时有一定的难度，因此求解比较困难.解此类方程的关键是先将“a%”进行换元，再将方程化简，求解换元之后的方程，进而求出a的值.在中考复习时，可以让学生进行一些相应的训练，掌握化简方程的方法，提高运算能力.

2. 着眼本质，理解概念

例26 （四川·雅安卷）若关于x的分式方程[2-1-kx-2=12-x]的解是正数，则k的取值范围是   .

解析：原方程去分母，得[2x-2-1-k=-1].

解得[x=4-k2].

因为分式方程的解为正数，且x ≠ 2，

所以[4-k2>0]，且[4-k2≠2].

解得k < 4，且k ≠ 0.

故答案为k < 4，且k ≠ 0.

【评析】此题主要考查解分式方程，以及分式方程的解的概念，解题时需要注意两个关键点：一是解分式方程就是运用化归思想，通过去分母，将分式方程转化为整式方程来求解;二是求出整式方程的解后，一定要检验最简公分母是否为0.在实际解题时，学生往往会忘记验根，导致结果错误.

例27 （湖北·荆门卷）已知关于x的一元二次方程x2 - 6x + 2m - 1 = 0有x1，x2两实数根.

（1）若x1 = 1，求x2及m的值;

（2）是否存在实数m，满足（x1 - 1）（x2 - 1） =[6m-5]？若存在，求出实数m的值;若不存在，说明理由.

解析：（1）根据题意，得Δ = （-6）2 - 4（2m - 1） ≥ 0.

解得m ≤ 5.

由根与系数关系，可得x1 + x2 = 6，x1x2 = 2m - 1.

因为x1 = 1，所以1 + x2 = 6，x2 = 2m - 1.

解得x2 = 5，m = 3.

（2）存在.

因为（x1 - 1）（x2 - 1） =[6m-5]，

所以x1x2 - （x1 + x2） + 1 =[6m-5]，

即2m - 1 - 6 + 1 =[6m-5].

整理，得m2 - 8m + 12 = 0.

解得m1 = 2，m2 = 6.

经检验，m1 = 2，m2 = 6是原方程的解.

又因为m ≤ 5，且m ≠ 5，所以m = 2.

【评析】此题主要考查根与系数的关系，还综合一元二次方程有实数根的概念，以及分式方程的解的概念，是多个概念的综合应用，在解题时应深刻认识各个概念的内涵，尤其是概念适用的条件. 例如，在应用一元二次方程根与系数的关系时，必须基于方程有实数根的前提条件，在求出参数m的值后，应综合考虑m需满足的所有限定条件，既要满足第（1）小题中所求出的m的范围，还应满足第（2）小题中的分式方程的分母不能为0，学生只有在领悟概念本质的基础上才能正确解答.

例28 （北京卷）已知关于x的一元二次方程x2 - 4mx + 3m2 = 0.

（1）求证：该方程总有两个实数根;

（2）若m > 0，且该方程的两个实数根的差为2，求m的值.

解析：（1）因为Δ = （-4m）2 - 4 × 1 × 3m2 =4m2 ≥ 0，

所以该方程总有两个实数根.

（2）（方法1）因为x2 - 4mx + 3m2 = 0，

即（x - m）（x - 3m） = 0，

所以x1 = m，x2 = 3m.

因为m > 0，且该方程的两个实数根的差为2，

所以3m - m = 2.

解得m = 1.

（方法2）因为该方程的两个实数根的差为2，

不妨设方程的两根分别为x1，x2，且x1 > x2，

所以x1 - x2 = 2.

所以（x1 - x2）2 = 4.

所以（x1 + x2）2 - 4x1x2 = 4.

因为x1 + x2 = 4m，x1x2 = 3m2，

所以16m2 - 12m2 = 4.

解得m = 1或m = -1.

因为m > 0，所以m = 1.

【评析】此题第（2）小题考查的是根据方程两根的数量关系求参数m的值，方法2是大多数学生容易想到的方法，运用等式（x1 - x2）2 = （x1 + x2）2 - 4x1x2将方程两根的差转化为两根之和及两根之积，再运用根与系数的关系即可求解. 实际上，此题用因式分解的方法求出方程的根，直接代入条件之中，同样是用化归的方法，但计算更为简便. 可见，在解题时应避免形成固定的思维模式，鼓励学生运用多种方法解题，通过对比感受不同解法的特点，在反思提炼中对数学思想方法产生更深的理解.

三、解法赏析

中考试题除了具备考查、选拔的功能外，还为学生提供了展示思维与能力的平台. 2021年全国各地中考试题在重视数学基础的同时，关注学生的学科素养和关键能力，在试题命制上不断推陈出新，很好地体现了能力立意、素养导向的科学评价观.

例29 （重庆A卷）某销售商五月份销售A，B，C三种饮料的数量之比为3∶2∶4，A，B，C三种饮料的单价之比为1∶2∶1. 六月份该销售商加大了宣传力度，并根据季节对三种饮料的价格做了适当的调整，预计六月份三种饮料的销售总额将比五月份有所增加，A饮料增加的销售额占六月份销售总额的[115]，B，C饮料增加的销售额之比为2∶1. 六月份A饮料单价上调20%，且A饮料的销售额与B饮料的销售额之比为2∶3，则A饮料五月份的销售数量与六月份预计的销售数量之比为______.

解析：由题意，可设五月份A，B，C三种饮料的销售量为3a，2a，4a，单价为b，2b，b，六月份A的销售量为x，

所以A饮料六月份销售额为b（1 + 20%）x = 1.2bx，

B饮料六月份销售额为1.2bx ÷ 2 × 3 = 1.8bx.

所以A，B饮料增加的销售额分别为1.2bx - 3ab，1.8bx - 4ab.

又因为B，C饮料增加的销售额之比为2∶1，

所以C饮料增加的销售额为（1.8bx - 4ab） ÷ 2 = 0.9bx - 2ab.

所以C饮料六月份销售额为0.9bx - 2ab + 4ab =0.9bx + 2ab.

因为A饮料增加的销售额占六月份销售总额的[115]，

所以（1.2bx - 3ab） ÷[115]= 1.2bx + 1.8bx + 0.9bx + 2ab.

所以18bx - 45ab = 3.9bx + 2ab.

因为b ≠ 0，所以18x - 45a = 3.9x + 2a.

化简，得14.1x = 47a.

所以[ax=310].

则[3ax=910]，

即A饮料五月份的销售数量与六月份预计的销售数量之比为9∶10.

【评析】此题考查的是二元一次方程的应用，条件中没有给出具体的数量，而是给出若干个数量关系. 解题的关键就在于选取合适的量设未知数，然后用代数式表示出所有的量，再列出方程进行计算. 此题解答的亮点在于根据三种饮料的数量比、单价比，将五月份A，B，C三种饮料的销售数量和单价分别表示为3a，2a，4a;b，2b，b. 再设六月份A的销售量为x，对这些量设而不求，而是运用化归的思想消去参数b，再运用整体思想求出[ax]的值. 此题很好地考查了学生在建立方程模型时是否具有必备的符号意识，以及能否熟练进行代数运算.

例30 （湖南·衡阳卷）在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标相等，则称该点为“雁点”. 例如，（1，1），（2 021，2 021），…都是“雁点”.

（1）求函数y =[4x]图象上的“雁点”坐标.

（2）若抛物线y = ax2 + 5x + c上有且只有一个“雁点”E，该抛物线与x轴交于M，N两点（点M在点N的左侧）. 当a > 1时，① 求c的取值范围;② 求∠EMN的度数.

（3）略.

解析：（1）由题意，得x =[4x]. 解得x = ±2.

所以y = ±2.

故“雁点”坐标为（2，2）或（-2，-2）.

（2）① 因為抛物线y = ax2 + 5x + c上有且只有一个“雁点”E，

所以ax2 + 5x + c = x.

所以Δ = 16 - 4ac = 0，即ac = 4.

因为a > 1，故0 < c < 4.

② 由ac = 4，得c =[4a].

代入方程ax2 + 5x + c = 0中，解得x =[-4a]或x =[-1a].

则点M的坐标为[-4a，0].

再将c =[4a]代入方程ax2 + 5x + c = x中，

解得x =[-2a].

则点E的坐标为[-2a，-2a].

过点E作EH⊥Ox于点H（如图8），

则HE =[2a]，MH =[2a]= HE.

故∠EMN的度数为45°.

[图8][E][M][H][O][N][x][y]

【评析】此题是一道二次函数压轴题，解答此题的关键是根据题目所给的条件建立方程模型求解，充分体现了方程思想在解答函数问题时的重要性. 此题的亮点在于构造了一个与“雁点”有关的问题情境，解答时先将“雁点”的坐标所具有的特殊关系代入到函数关系式中，即可得到一元二次方程，再根据“抛物线y = ax2 + 5x + c上有且只有一个‘雁点’E”，得到一元二次方程有两个相同的实数根，从而得到a，c的关系式. 通过此题的解答，能很好地考查出学生在方程的学习中是否真正掌握了建模的思想，能否灵活运用方程思想解答一些数学综合题.

四、思考启示

方程与不等式在初中代数中具有承上启下的作用，既是数与式的延续，又是后续学习函数知识与方法的基础，也是中考的重要考查内容，所以在平时的教学与复习中，应该理解教材、《标准》，夯基础构网络;关注应用创新，重思想提素养，让方程与不等式的“桥梁”作用得到真正体现.

1. 理解教材、《标准》，夯基础构网络

《标准》是中考命题的依据与“航向标”，教材是学生获取知识的“根”，也是最好的题“源”. 教师只有认真研读教材与《标准》，重视教材上例题、习题的挖掘与变式，才能明确目标，把握方向，掌控深度与难度. 更有利于学生夯实数学基础知识，构建知识网络，熟悉基本方法，以不变应万变的能力迎接学习与挑战.

2. 关注应用创新，重思想提素养

数学源于生活，又服务于生活.《标准》中指出，有意识地利用方程与不等式模型解释现实世界中的问题;认识到现实生活中蕴含着大量与数量相关的问题，可以抽象成方程与不等式问题，在用方程与不等式的思想方法解决问题的过程中积累发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的经验，体会方程与不等式的工具性作用，发展学生的思维能力、实践创新能力和解决实际问题的能力，达成学以致用、提升素养的目的.

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部制定. 义务教育数学课程标准（2011年版）[M]. 北京：北京师范大学出版社，2012.

[2]张晋华，张革. 玩转方程与不等式，轻松中考不失分：2017年中考“方程与不等式”专题解题分析[J]. 中国数学教育（初中版），2018（1 / 2）：47-56.

[3]郭福生，刘金英. 问渠那得清如许，为有源头活水来：2018年中考“方程与不等式”专题解题分析[J]. 中国数学教育（初中版），2019（1 / 2）：39-46.

[4]易爱华，孙延洲. 重视通性通法  发展核心素养：2019年中考“方程与不等式”专题解题分析[J]. 中国数学教育（初中版），2020（1 / 2）：50-56.

[5]董健，杨开学. 依标据本夯实基础  学以致用提升素养：2020年中考“方程与不等式”专题解题分析[J]. 中国数学教育（初中版），2021（1 / 2）：34-40，56.