圆周运动临界问题的分析与求解

■胡勋合 刘 艳

物体由一种物理状态转变为另一种物理状态所处的过渡状态被称为临界状态，此时物体需要恰好满足的物理条件被称为临界条件，解答临界问题的关键是确定临界状态，找到临界条件。下面我们就一起来研究圆周运动临界问题的分析思路和求解策略吧！

一、水平面内圆周运动的临界问题

物体在水平面内做圆周运动，若只由摩擦力提供向心力，则恰好不发生（恰好发生）相对滑动的临界条件是物体受到的静摩擦力达到最大值；若由摩擦力与其他外力的合力提供向心力，则其临界情况要根据题设条件具体分析判断。

图1

例1如图1 所示，a、b、c三个小物 体放置在匀速转动的大圆盘上，其中物体a的质量最大，物体b、c的质量相等，物体c距离圆盘中心O最远，物体a、b距离圆盘中心O一样远，三个物体与盘面间的动摩擦因数相等。当圆盘转速增大时，三个物体就会自动滑向圆盘边缘。假设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则下列说法中正确的是（ ）。

A.随着圆盘转速的逐渐增大，三个物体同时开始滑动

B.随着圆盘转速的逐渐增大，物体b先开始滑动

C.随着圆盘转速的逐渐增大，物体a、c先同时开始滑动

D.随着圆盘转速的逐渐增大，物体c先开始滑动

解析

三个物体随圆盘一起转动，静摩擦力提供向心力。当物体受到的最大静摩擦力小于物体做圆周运动所需的向心力时，物体开始滑动。设转盘的角速度为ω，则物体做圆周运动所需的向心力F＝mω2R，物体受到的最大静摩擦力f＝μmg，当mω2R＞μmg，即ω2R＞μg时，物体开始滑动。当圆盘转速增大时，角速度ω增大，因为物体c做圆周运动的半径最大，所以物体c先开始滑动，之后随着圆盘转速继续增大，a、b两物体同时开始滑动。

答案：D

例2如图2 所示，一根不可伸长的轻绳一端系在质量为m的小球A上，另一端系在一根竖直杆上的B点，小球的半径r＝，B点到球心的距离为l。竖直杆以自己为轴转动并达到稳定，当竖直杆的角速度ω为多大时，小球恰好离开竖直杆？

图2

解析

当小球恰好离开竖直杆时，小球与竖直杆间的作用力为零，小球在水平面内以半径r做匀速圆周运动，小球受到的重力和轻绳的拉力的合力提供小球做圆周运动所需的向心力。设小球恰好离开竖直杆时轻绳与竖直杆间的夹角为α，根据几何关系得sinα＝，沿半径方向有Tsinα＝mω2r，沿垂直于半径方向有Tcosα＝mg，解得ω＝。

求解水平面内圆周运动临界问题的思路：（1）审清题意，确定研究对象；（2）找到研究对象做圆周运动的平面；（3）分析研究对象的运动情况，确定其做圆周运动的圆心、半径、线速度、角速度、周期等物理量；（4）分析研究对象的受力情况，画出受力分析示意图，确定向心力的来源；（5）确定临界状态下研究对象的受力情况；（6）根据牛顿第二定律和圆周运动公式列式求解。

二、竖直平面内圆周运动的临界问题

物体在竖直平面内做圆周运动，在中学阶段一般只研究物体在最高点和最低点的运动情况，若连接物体的是轻绳（物体沿竖直平面内圆环轨道内侧运动），则物体受到的重力和轻绳拉力（轨道支持力）的合力提供其做圆周运动所需的向心力，轻绳拉力（轨道支持力）等于0是物体能过最高点的临界条件；若连接物体的是轻杆（物体沿竖直平面内圆管轨道运动），则物体受到的重力和轻杆的拉力或支持力（圆管外侧或内侧的支持力）的合力提供其做圆周运动所需的向心力，轻杆表现出的拉力突变为支持力（圆管表现出的指向圆心的支持力突变为背向圆心的支持力）是物体的临界条件。

图3

例3如图3 所示，一光滑的圆形轨道固定在竖直平面内，轨道半径为R，A、B两点分别为轨道的最低点和最高点。一个可视为质点的小球沿轨道内侧做圆周运动。已知小球的质量为m，重力加速度为g，下列说法中正确的是（ ）。

A.小球经过最低点A时一定受到轨道对它竖直向上的支持力作用

B.若小球经过最高点B时的速度v＝，则轨道对小球的作用力为零

C.若小球经过最高点B时的速度v＜，则轨道对小球的作用力竖直向下

D.若小球经过最高点B时的速度v＞，则轨道对小球的作用力可能等于0

解析

小球沿光滑的圆形轨道内侧做圆周运动，小球经过最低点A时，所需的向心力方向竖直向上，受到的重力方向竖直向下，根据受力分析可知，必定受到轨道对它竖直向上的支持力作用，选项A正确。小球刚好能过最高点B的临界条件是受到轨道对它的作用力等于0，重力提供向心力，根据牛顿第二定律和向心加速度公式得mg＝man，an＝，解得v＝，选项B正确。当v＜时，小球不能到达最高点B，选项C错误。当小球经过最高点B时的速度v＞时，轨道对小球的作用力一定竖直向下，不可能等于0，选项D 错误。

答案：AB

例4如图4 甲所示，长度为R的轻杆一端固定在O点，另一端固定一小球，在竖直平面内绕O点转动。小球运动到最高点时，轻杆与小球间的弹力大小为N，小球在最高点的速度大小为v，N-v2图像如图4乙所示。下列说法中正确的是（ ）。

图4

A.当地的重力加速度大小为B.小球的质量为

C.当v2＝c时，轻杆对小球的弹力方向向上

D.若v2＝2b，则轻杆对小球的弹力大小为mg

解析

轻杆对小球既可以产生拉力，也可以产生支持力。当小球运动到最高点时，若v＝0，则N＝a＝mg；若N＝0，则mg＝。联立以上各式解得g＝，选项A正确，B错误。根据N-v2图像可知，当v2＜b时，轻杆对小球的弹力方向向上，当v2＞b时，轻杆对小球的弹力方向向下。因此当v2＝c时，轻杆对小球的弹力方向向下，选项C 错误。若v2＝2b，则N＋mg＝，解得N＝a＝mg，选项D 正确。

答案：AD

求解竖直平面内圆周运动临界问题的思路：（1）确定研究模型是轻绳模型还是轻杆模型；（2）分析研究对象的运动情况，确定研究对象的临界状态；（3）分析研究对象的受力情况，画出临界状态下研究对象的受力分析示意图；（4）根据牛顿第二定律和圆周运动公式列式求解。

感悟与提高

图5

1.如图5所示，一根长度l＝1m 的细线一端拴一质量m＝1kg的小球（可视为质点），另一端固定在一光滑锥体顶端，锥体侧面与竖直方向间的夹角θ＝37°，取g＝10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。当小球在水平面内绕锥体的轴做匀速圆周运动时，若要小球离开锥面，则小球的角速度至少应为（ ）。

图6

2.如图6 所示，在粗糙木板上放一个物块，使木板和物块一起在竖直平面内沿逆时针方向做匀速圆周运动。ab为水平直径，cd为竖直直径，在运动过程中木板始终保持水平，物块相对木板始终静止，下列说法中正确的是（ ）。

A.物块始终受到三个力作用

B.只有在a、b、c、d四点，物块受到的合外力才指向圆心

C.从a点到b点，物块受到的摩擦力先增大后减小

D.从b点到a点，物块处于失重状态

参考答案：1.A 2.D