利用向量方法解决平面几何问题

■彭明清

向量既是几何对象也是代数对象，因而成为数形结合的桥梁，也成为沟通代数与几何的有力工具。利用向量解决平面几何问题，可以从向量的两种运算——基底运算和坐标运算入手，建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题，然后通过向量的运算，研究几何元素间的关系。下面从多个角度分析平面几何中的向量方法。

一、垂直问题

例1求证:三角形的三条高线交于一点。

证明：如图1，在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，AD与BE交于点H，连接CH。下面只需证明CH⊥AB即可。

图1

评析：平面几何中的两条线段的垂直问题，可转化为平面向量中的两个向量的数量积为0来解决。在证明过程中，可利用向量加法的三角形法则（首尾衔接法），将所求向量进行转化。

二、平行问题

例2已知直角坐标平面上的四个点A（1，0），B（4，3），C（2，4），D（0，2），求证四边形ABCD是等腰梯形。

评析：线段平行问题可转化为对应的向量共线问题来解决。通过向量的运算，寻求两个向量的共线（平行）关系。

三、长度问题

例3如图2，在平行四边形ABCD中，AB＝2，AD＝4，∠BAD＝60°，E是BC的中点，F是AE的中点，则向量的模长是____。

图2

评析：利用向量的基底运算，将线段的长度问题转化为向量的数量积问题来解决。

四、分点问题

例4如图3，过△ABC的中线AD的中点E作直线PQ分别交AB，AC于P，Q两点，若＝（ ）。

图3

评析：利用平面向量基本定理和向量的线性运算是解答本题的关键。

五、夹角问题

例5已知三个点A（2，1），B（3，2），D（－1，4）。若四边形ABCD为矩形，求点C的坐标及矩形ABCD两条对角线所成锐角的余弦值。

评析：解答与角有关的向量问题，要有意识地建立向量的数量积关系，再将向量的数量积转化成向量的模与向量夹角的余弦关系，这样可进一步研究角的有关问题。

感悟与提高

1.已知三点A（1，2），B（2，3），C（－2，5），则△ABC的形状是______。

2.在四边形ABCD中，已知A（0，0），B（4，0），C（3，2），D（1，2）。