数形结合——小学数学教学的一把金钥匙

【摘要】对学生而言，掌握抽象的数学知识并不容易，因此教师可以在教学方法上进行更多的尝试和改变，以此来降低数学学习的难度，激发学生学习数学知识的兴趣，提高教学质量。基于此，文章分析了数形结合思想在小学数学学科教学过程中的实际应用。

【关键词】数形结合；小学数学；教学应用

作者简介：苏丽（1973—），女，江苏省镇江市宜城小学。

抽象的数学知识很容易使小学生出现学习困难而使学习进度停滞不前，影响学生的数学学习信心和积极性。当抽象的数学知识碰上小学生以形象思维为主这一特质，就需要小学数学教师转变教学理念，在教育教学方法上做更多思考和改变，不仅要向学生系统传授基础知识，还要努力培养和不断加强学生的逻辑思维能力和实践能力。小学数学教师可在教学中结合数形结合思想，提高数学教学效率，促进学生的整体发展。

一、借用数形结合思想，寻找解题思路

在实际数学课堂教学中，教师可巧妙借用数形结合思想帮助学生找到解题思路，使学生更好地掌握解决问题的方法。

例如，“鸡兔同笼”问题是小学常见的数学问题，这种类型的题目相对来说较为抽象，学生解决此类问题时通常会存在一定困难，常常无从下手，没有思路，难得其法，甚至是畏难退缩，选择逃避。

对此，教师可以通过使用数形结合的思维模式来更有效地帮助学生理清思维，借助画图形来帮助学生寻找解题的思路。比如，“兔和鸡共9个头，26只脚，问：兔和鸡各是多少只？”解题时，可以先画9个圆圈，一个圆圈表示一个头，再在圆圈下画线，一条线表示一只脚，假设它们都是鸡，每个圆圈下画两条线表示两只脚，这样就能画出18只脚（见右上图）。

但是，题干中有26只脚，那么可以再从后往前给圆圈添上“2只脚”，使它们成为“兔”，这样每个圆圈添补两只脚直到刚好有26只脚，此时通过图就能直观数出到底有几只鸡、几只兔了（见下图）。

由此，教师可让学生感受到图形对于数学学习的帮助，引导学生借助图形找到其中的规律，帮助学生找到解决问题的方法思路，并能够举一反三，找到解决其他同类题型的思路，以此提高数学学习效率。

再比如这道题目：“三轮车和自行车一共有10辆，数一数，他们的轮子共有27个。三轮车有多少辆？自行车有多少辆？”解题思路如下图。

二、借助数形结合思想，降低理解难度

在解决实际问题的过程中，借助图形能使隐藏的数量关系变得更加显而易见。因此，教师在课堂教学中可以借助画图来帮助学生理解题目的实际意义，降低学生的理解难度，使学生更好地掌握数学规律，快速解决数学问题。

比如，行程问题中经常出现这样的题目类型：两辆不同的车子从两地同时相向而行，在经过若干时间之后快车会在超过中点多少千米的地方与另外的车相遇，已知相遇时某辆车行驶的路程，求另一辆车的路程。

此类行程问题比较抽象，难理解，容易出错的地方在于学生会误以为快车多行的路就是相遇点离中点的距离。对此，教师可以借助图形表示出其中的条件，帮助学生理解。

先画一条线段表示一段路，插一杆小旗标在中点位置，再标出快车超过中点处与另一辆车的相遇地点，借助图能明显看出各车走的是哪一段路，谁走得多谁走得少。如果用手挡住图上中点与相遇地点的距离，就会发现快车走的路比一个中点与相遇地点的距离还要多，这样观察就比较容易看出，原来两辆车相差的路程是两个相遇点离中点的距离。

画图能够有效降低学生的理解难度，如题目：“客车和货车从两地同时相向而行，4小时后客车在超过中点16千米的地方与货车相遇，已知相遇时客车行了164千米，货车行了多少千米？”

借助画图就能清楚地看出客车和货车行驶的路程相差了两个16千米，用164千米减去两个16千米，就能得到货车行驶的路程是132千米。

同理，已知行程问题里任意两个量，求另外的量，都可以借助画图降低理解难度，帮助学生理解。比如题目：“一辆客车和一辆货车分别从相距568千米的甲、乙两地同时出发，相向而行，2小时后两车还相距108千米，已知客车每小时行驶120千米，求货车行驶的速度。”通过在图上进行标示，学生能够看出总路程568千米是由客车和货车2小时总共走的路程和108千米组成的，从而可以列出方程式：2（120＋x）＋108=568，求出货车的速度。画图大大降低了问题理解的难度，方便学生找到正确的解题思路。

通过数形结合思想解决比较复杂的题目，往往能够直观、清晰地看出其中暗藏的对应数量之间的关系，从而顺利解决实际问题，提高解题正确率。

三、借助数形结合思想，突破教学难点

对于一些抽象的、学生较难理解的知识点，借助数形结合思想直观地展示往往能有效突破教学难点，起到将数学知识深植于学生脑中的作用，也能使学生思维更灵活，从而达到训练思维能力的目的。

对于几种几何图形周长相等、比较面积，以及面积相等、比较周长这样的问题，学生在五年级学了平行四边形和圆的知识点之后就经常会碰到，此类题型目的在于巩固基础知识的同时训练学生的思维能力。但如果学生未深入理解的话，不仅不容易掌握这部分知识点，反而会混淆题目。

比如，长方形和平行四边形在周长相等的情况下，谁的面积大？长方形和平行四边形面积相等的情况下，又是谁的周长长呢？笔者是这样让学生利用数形结合思想去理解的，让学生用手势比划出动态图形—双手大拇指和食指配合摆出一个长方形图，然后慢慢把面积挤压，手指自然倾斜，形成了一个平行四边形（如下图）。

在此过程中，学生感受到手指的长短显然是不会变化的，也就是两个图形周长相等，那面积自然是长方形的面積大，因为在把长方形变成平行四边形的过程中，学生通过动态变化图就能观察到，面积受到了挤压，再压下去平行四边形的面积会越来越小，甚至挤压成一道缝了。

这样学生就能够通过动态图形直观地得到结论：两个图形周长相等时，长方形的面积大。同时，他们还能通过图形的动态变化追问思考：“要想平行四边形的面积变得和长方形面积一样大，要做怎样的努力？”学生很快就知道周长要变长。教师引导学生把双手的食指和拇指适当分开做扩大平行四边形面积的动作，学生就能得到结论：面积相等时，平行四边形的周长长。整个过程中，学生依靠动态图形完成对知识的理解，能够对知识印象深刻。

学习与方向有关的知识时，这部分内容对学生来说是学习难点，教师可以借助图形将原来抽象的数学知识变得直观清晰，从而突破教学难点。

如这道“认识方向”的题目：当你放学回家面朝太阳时，你的后面是（ ）面，你的左面是（ ）面。

这道题目可以通过画图来解决（如P34左上图）：画一个“斜十字”，为了与图上方向（上北下南左西右东）区别，把一条竖线画成斜竖线，三角符号表示人在横竖交叉处。先确定前方，根据题意“放学回家面朝太阳”，得出前方为“西”，接着按东、南、西、北的方向顺序，依顺时针方向标出其他三个方向，就可根据图得出答案：“你的后面是（东），你的左面是（南）。”

四、借助数形结合思想，帮助辨析记忆

数学学习过程中，有些概念“长得”实在是太像了，很多学生难以分辨，学生理解时就容易产生混淆，此时借助数形结合思想，就能够达到明确辨别的效果。

比如，学习“圆的认识”这部分内容时，辨别“圆周长的一半”和“半圆的周长”这两个概念时，教师就可以借助画图帮助学生辨析并记忆。

笔者是这样指导学生的。

先画出一个整圆，然后擦掉一半周长，就剩下上图的样子，就是圆周长的一半，它的实质也就是一段弧了。通过这番操作，学生脑海中已经深植圆周长的一半这一概念。对于 “半圆的周长”，笔者让学生先把一个圆形纸片对折，得到一个半圆，然后沿着这个半圆的边描出它的周长，就得到右图的样子，也就是半圆的周长。

借助图形生成的过程来比较这两幅图的差别，学生就能直观体会到圆周长的一半比半圆的周长少一条直径。在图形的生成和对比过程中，学生就能够清楚辨析较易混淆的数学概念。

五、运用数形结合思想，培养思维能力

教师可将数形结合思想引入学生的实际学习活动和具体数学问题的解决中来，使用针对性教学方式，使抽象和复杂的数学问题变成简单而具体的数学知识，让学生更好地参与学习和深入理解，培养提高学生的逻辑思维能力和空间想象力，让学生在学习中体验到乐趣，这样不仅可以充分提升学生课堂学习的主动性和积极性，同时还能充分培养学生的学习自主性和学习思维能力［1］。

例如，学生要用转化策略计算这道题目：“++++++等于多少？”这里每个分数加数之间存在一定的关系，它们都是分数单位，分母从2开始，后面依次每一个分母是前一个分母的2倍。

对于这道题目，学生可以用通分的方法解题，但是利用数形结合思想，依靠画图的方式，能够一步得出答案，同时也能解决更多同类型的题目，拓展学生的思维。

教师可以引导学生先画一个正方形并且把它看作单位“1”，然后依次平均分这个单位为“1”的正方形，在图形中找到算式中的分数并标注出来，学生借助图形可以发现，上面所有的分数加起来的和就比单位“1”这个正方形少了最后的一小块，也就是最后一个加数的大小，只要用1减去最后一个加数就能得出这道加法算式的答案（见下图）。

借助图形可以将这么复杂的一道分数连加算式转化成一步得出结果的减法算式，学生自然会收获学习的成就感，逻辑思维能力也能够得到拓展。

数形结合思想还可以帮助学生记忆，例如将单位之间的换算通过网络图表的形式表示出来，就能够记住它们之间的进率（如下图）。

【参考文献】

［1］中华人民共和國教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）［M］.北京：北京师范大学出版社，2012.