立足整体结构感悟运算本质——新课标视角下整数运算教学分析

○李静

数学知识具有整体性、结构化和一致性的特征。《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称《课标（2022年版）》）在课程内容中提出：要通过数学学习，感悟运算以及运算之间的关系，体会数的运算本质上的一致性，发展运算能力和推理意识。课标明确了数学运算在学生数学思维发展中的意义和价值，并分别在三个学段目标中分层次提出了探索数的运算的一致性，发展学生的数感、符号意识、运算能力和推理意识等目标要求。

小学阶段的数学运算主要是有理数的四则运算、简单的代数式变形和数据的简单处理。然而这些恰恰是日常生活中最为广泛的数学应用，也是学生后续数学学习的必备能力。在有理数、实数乃至复数域内，标准运算法则最终都可以分解为“每一步都只涉及一位数的计算”。因此，整数四则运算是整个数学运算体系的基石。

整数四则运算的课程内容集中安排在第一、第二学段。《课标（2022年版）》在课程内容组织上特别强调，重点是对内容进行结构化整合，探索发展学生核心素养的路径。如何通过整数运算的学习，感悟运算本质的一致性，感受数学知识整体性、结构化的特征，发展学生的数学核心素养呢？

一、整体设计，构建基于核心概念的知识体系

依托核心概念构建关于整数运算的知识体系，可以帮助学生更好地把握运算的本质。整数运算部分涉及的数学概念很多，教学中应围绕哪些概念，引导学生“提纲挈领”构建整数四则运算的知识体系呢？

1.围绕四则运算的意义，构建对整数运算的整体认识。

作为核心概念的四则运算的意义是一个相互关联的整体：把两个数合并成一个数的运算叫加法；求几个相同加数和的简便运算叫乘法；减法和除法分别是加法和乘法的另一种等价的表达方式。这样，学生便建立了以加法为基础的四则运算意义的整体认识。

2.依托十进制计数法构建对运算算理和算法的整体认识。

十进制计数法的两个核心概念“位值概念”和“十进概念”，是整数四则运算的核心概念。下面多位数加法的竖式和横式，基于位值原则和十进原则分别呈现了多位数加法的算法和算理。

标准运算法则最终都可以分解为“每一步只涉及一位数的计算”，其根本原因就是整数采用了如上所示十进位值制的计数方法。因此，教师要引导学生依托十进制计数法、四则运算的意义等核心概念，建立对整数运算“一致性”的理解。即通过拆分和组合，计算一共有多少个一、十、百、千等十进制的计数单位。

3.对整数四则运算的整体认识，也可以迁移到对分数、小数四则运算的学习中。

《课标（2022年版）》在第三学段的学段目标中提出：能进行小数和分数的四则运算，探索数运算的一致性。基于对整数四则运算的理解，学生可以继续构建小数、分数四则运算的知识。小数是整数十进制计数方式的反向延伸，因此小数与整数的运算算理相同，都是计算一共有多少个十进制的计数单位。分数单位间的进率不是十进制的，但运用分数的基本性质转换成等价分数后，仍然是求相同分数单位个数累加的结果。综上，对整数运算本质的理解是学生继续构建分数、小数四则运算知识的基础。

二、发展推理能力，落实核心素养发展的课程目标

《课标（2022年版）》将学生核心素养的发展作为数学课程目标的终极体现，培养学生会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界。

1.运算能力的表现及内涵。

数学思维在小学阶段主要表现为运算能力和推理意识。《课标（2022年版）》对运算能力的表现和内涵作了如下表述：运算能力主要指根据法则和运算律进行正确运算的能力。能够明晰运算的对象和意义，理解算法与算理之间的关系；能够理解运算的问题，选择合理简洁的运算策略解决问题；能够通过运算促进数学推理能力的发展。运算能力有助于学生形成规范化思考问题的品质，养成一丝不苟、严谨求实的科学态度。较之2011年版课标，《课标（2022年版）》特别强调了对运算程序背后的算理的理解，以理驭法，提出通过数学运算促进数学推理能力的发展。

2.多角度解释算理，发展推理意识。

按照长时记忆的类型分，算理知识属于陈述性记忆，算法知识属于程序性记忆。这两种记忆存储在不同的脑区，即便不理解算理，学生依然能根据算法规则进行机械的数学运算。但是，这样做无益于学生推理意识的发展。熟能生巧，熟也能生厌，没有意义支撑的枯燥运算训练，不仅不利于学生把握运算的本质，甚至会导致学生对数学学习的厌恶。史宁中教授多次强调在运算教学中要重视横式，因为横式（算理）是对竖式（算法）的解释，是运算法则的推理过程。

教学中，教师应采用不同的模型，从不同角度解释算理，帮助学生建立算理与算法之间的关系，让运算过程有意义、有价值，进而促进学生推理意识的发展。

如：三年级上册学习多位数乘一位数（图1）。

图1

三个学具从不同角度解释了算理（横式），侧重点各不相同。小棒图凸显了整数的十进原则（10 根凑成1 捆），点子图将乘法与面积模型建立了联系，而计数器则易于理解位值的原则。这样可以将多位数乘一位数的算理与整数十进制计数法、表内乘法、整数加法、分配律等多个知识点建立联系。多维度地建立知识之间的联系是理解新知，将新知纳入长时记忆的必要条件。建立的联系越多，理解越深刻，记忆也越牢固，越有利于迁移。教师还要鼓励学生个性化地设计算法，在对算理内化并个性化设计运算程序的基础上，再引导学生优化运算方法，总结设计简洁的算法，感受“标准”算法的意义和优势。

三、数形结合，构建整数运算的几何模型

数学是研究数量关系和空间形式的一门科学。《课标（2022年版）》提出了发展学生几何直观的要求，强调要建立形与数的联系，构建数学问题的直观模型。现行小学数学教材非常重视用图形解释数量关系，给抽象的数赋予了直观的意义。如二年级上册用数轴模型解释“8 的表内乘法”，六年级上册用面积模型解释分数乘法等。但是这些图形的引入缺乏系统性和延续性，学生不容易将图形与运算建立关联，形成构建数学问题直观模型的自觉。

1.利用数轴模型、面积模型解释四则运算。

我们可以参考一些数学专著中的做法。如：伍鸿熙教授在《数学家讲解小学数学》一书中给出的加法和乘法的模型（图2）：从0 到1 的线段记作[0,1]，称为单位线段，数1 称作数轴的单位。整数4+5 表示线段[0，4]的长度和[0，5]长度拼接而成的线段的长度。乘法建立面积模型，边长为1的正方形为单位正方形，矩形每行有5 个单位正方形，那么3 行这样的单位正方形面积等于3×5，一共有15 个单位正方形。

图2

R·柯朗在《什么是数学》一书中对加法和乘法给出了下面的几何模型（图3）。

图3

如何将图形一以贯之地引入整数运算教学，帮助学生感受数运算的一致性及数形结合的结构美呢？教师可以根据学生年龄特点，从自然数的认识开始，建立基于学生认识水平的几何模型体系：第一学段用较直观的数线图（数轴）、点子图；第二学段在学生认识了面积和面积单位之后，用较为抽象的矩形模型。

2.面积模型在乘法教学中的应用。

将两个数的积解释为矩形面积有着悠久的历史，欧几里得在《几何原本》中想表述两个数的乘积的想法时便直接表述为矩形面积（三个数的乘积表述为体积）。因此，利用面积模型解释乘法的意义、法则等是发展几何直观的有效途径。下面举例说明。

（1）点子图解释乘法的意义及乘法交换律。

二年级上册表内乘法第一课时教学“乘法的认识”。教材呈现了这样的问题情境，“小朋友们坐过山车，每排坐2 人，共有7 排，过山车里一共有多少人？”在列出乘法算式后，教师便直接告诉学生可以用2×7 或7×2 两个算式解决上述问题，但并没有解释为什么。如果将小朋友的座位图抽象成直观的面积模型——点子图（图4），学生可以通过变换观察角度，横着看或竖着看，直观地理解乘法的意义及“为什么2×7=7×2”。

图4

三年级上册教学“两位数乘一位数”，借助点子图直观地解释竖式的算法（图5），特别是十进制和位值制在竖式写法中的体现。

（2）矩形面积解释分配律和多位数乘法算理。

在四年级教学乘法分配律时，可以将点子图进一步抽象成矩形图（图6），对乘法分配律进行更加直观、一般化的表达。

图6

面积模型还可以辅助教学数量更大、更复杂的多位数乘多位数。例如，计算26×14 =4×6+4×20+10×6+10×20，可以让学生在下面的面积模型中找到竖式计算的每一步对应的矩形面积（图7）。

图7

几何模型可以给运算的意义、步骤、算理、规律等以直观的解释。因此，教师应系统地引导学生运用几何模型解释运算，感悟运算的一致性和本质，发展几何直观和推理能力。

资料存盘

1.课程标准对整数四则运算的要求。

学段目标：第一学段能进行简单的整数四则运算，形成初步的数感、符号意识和运算能力。第二学段能进行稍复杂的整数四则运算，理解运算律；形成数感、运算能力和初步的推理意识。第三学段探索数运算的一致性；形成符号意识、运算能力、推理意识。

课程内容：数是对数量的抽象，数的运算重点在于理解算理、掌握算法，数与运算之间有密切的关联。经历算理和算法的探索过程，理解算理，掌握算法。感悟数的运算以及运算之间的关系，体会数的运算本质上的一致性，形成运算能力和推理意识。

2.整数十进位值制的发展史。

公元前3世纪，印度-阿拉伯数字体系由印度人创造，后来经由阿拉伯地区传入欧洲。文艺复兴时期,印度-阿拉伯数字体系的写法与现在的写法几近一致，并在随后的数世纪传遍世界，成为今日世界通用的数字体系。

印度-阿拉伯数字是一种十进位值制的数字体系。0～9 十个数字符号不但有绝对的值，而且有位置的值，数字符号在不同的“位”表示基数不同的量，这样用十个记号就可以表示无穷无尽的数。